角巩固练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知∠A＝30°45'，∠B＝30.45°，则∠A（ ）∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”）
A．＞
B．＜
C．＝
D．无法确定
【分析】首先把30.45°化成30°27′，再比较即可．
【解答】解：30.45°＝30°+0.45×60′＝30°27′，
∵30°45′＞30°27′，
∴30°45'＞30.45°，
∴∠A＞∠B，
故选：A．
【点评】此题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握1°＝60′，1′＝60″．
2．下列说法正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．一个有理数，不是正数就是负数
C．平角是一条直线
D．整数和分数统称为有理数
【分析】根据线段的性质，角的概念，有理数的定义，有理数可分为整数和分数等知识解答即可．
【解答】解：A、两点之间线段最短，原说法错误，故本选项不符合题意；
B、一个有理数，不是正数就是负数或零，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、平角的两边在一条直线上，原说法错误，故本选项不符合题意；
D、整数和分数统称为有理数，原说法正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了线段的性质，角的概念，有理数的定义．解题的关键是掌握线段的性质，角的概念，有理数的定义，明确有理数可分为整数和分数．
3．如图，射线OA表示的方向是（ ）
A．北偏东65°
B．北偏西35°
C．南偏东65°
D．南偏西35°
【分析】根据图中OA的位置，方向角的表示方法可得答案．
【解答】解：射线OA表示的方向是南偏东65°，
故选：C．
【点评】本题考查了方向角，用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
4．11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（ ）
A．140°
B．130°
C．120°
D．110°
【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【解答】解：11点40分时针与分针相距3+＝（份），
30°×＝110°，
故选：D．
【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题的关键．
5．若∠A＝20°18′，∠B＝20°15″，∠C＝20.25°，则有（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C
B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠A＞∠C＞∠B
D．∠C＞∠A＞∠B
【分析】根据度分秒之间的换算，先把∠C的度数化成度、分、秒的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝20°18′，∠B＝20°15″，
∴∠A＞∠B，
∵∠C＝20.25°＝20°15′，
∴∠B＜∠C＜∠A，
∴∠A＞∠C＞∠B．
故选：C．
【点评】此题考查了角的大小比较，先把∠C的度数化成度、分、秒的形式，再进行比较是本题的关键．
6．如图，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（ ）
A．20°
B．30°
C．35°
D．45°
【分析】由∠AOB：∠BOC＝2：3，可得∠AOB＝∠AOC进而求出答案，做出选择．
【解答】解：∵∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，
∴∠AOB＝∠AOC＝×75°＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查角的有关计算，按比例分配转化为∠AOB＝∠AOC是解答的关键．
7．如图，∠AOD＝84°，∠AOB＝18°，OB平分∠AOC，则∠COD的度数是（ ）
A．48°
B．42°
C．36°
D．33°
【分析】首先根据角平分线的定义得出∠AOC＝2∠AOB，求出∠AOC的度数，然后根据角的和差运算得出∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，得出结果．
【解答】解：∵OB平分∠AOC，∠AOB＝18°，
∴∠AOC＝2∠AOB＝36°，
又∵∠AOD＝84°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝84°﹣36°＝48°．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
8．一个钝角减去一个锐角所得的差是（ ）
A．直角
B．锐角
C．钝角
D．以上三种都有可能
【分析】根据直角、锐角、钝角的定义解答即可．
【解答】解：一个钝角减去一个锐角所得的差可能是直角、也可能是锐角或钝角．
故选：D．
【点评】本题考查了直角、锐角、钝角．解题的关键是明确等于90°的角是直角，大于0°小于直角的角是锐角，大于直角小于平角的角是钝角．
9．如图，∠AOC＝∠BOD＝80°，如果∠AOD＝138°，那么∠BOC等于（ ）
A．22°
B．32°
C．42°
D．52°
【分析】先求出∠COD的度数，然后根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝80°，∠AOD＝138°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝58°，
∵∠BOD＝80°，
∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝80°﹣58°＝22°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了角的计算能力，熟练掌握角相互间的和差关系是关键．
10．下列语句错误的个数是（ ）
①一个角的补角不是锐角就是钝角；
②角是由两条射线组成的图形；
③如果点C是线段AB的中点，那么AB＝2AC＝2BC；
④连接两点之间的线段叫做两点的距离．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【分析】①分别根据补角的定义以及角的分类判断即可；
②根据角的定义判断即可；
③根据线段的中点的定义判断即可；
④根据两点的距离的定义判断即可．
【解答】解：①直角的补角是直角，故原说法错误；
②角是由有公共的端点的两条射线组成的图形，故原说法错误；
③如果点C是线段AB的中点，那么AB＝2AC＝2BC，说法正确；
④连接两点之间的线段的长度叫做两点的距离，故原说法错误．
故错误的个数有①②④共3个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了余角和补角，两点间的距离，线段的中点，熟记相关定义是解答本题的关键．
11．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝146°，则∠BOC的度数为（ ）
A．43°
B．34°
C．56°
D．50°
【分析】根据周角的定义，1周角＝360°，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝146°则∠BOC＝360°﹣2×90°﹣146°＝34°．
【解答】解：∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝146°
则∠BOC＝360°﹣2×90°﹣146°＝34°
则∠BOC＝34°．
故选：B．
【点评】本题主要考查角的比较与运算，基础题，比较简单．
12．下列语句中，正确的个数是（ ）
①直线AB和直线BA是两条直线；②射线AB和射线BA是两条射线；③若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余；④一个角的余角比这个角的补角小；⑤一条射线就是一个周角；⑥两点之间，线段最短．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据射线、直线的定义，余角与补角，周角的定义，以及线段的性质即可求解．
【解答】解：①直线AB和直线BA是一条直线，原来的说法是错误的；
②射线AB和射线BA是两条射线是正确的；
③互余是指的两个角的关系，原来的说法是错误的；
④一个角的余角比这个角的补角小是正确的；
⑤周角的特点是两条边重合成射线．但不能说成周角是一条射线，原来的说法是错误的；
⑥两点之间，线段最短是正确的．
故正确的个数是3个．
故选：C．
【点评】本题考查了射线、直线的定义，余角与补角，周角的定义，以及线段的性质，是基础题，熟记相关概念与性质是解题的关键．
二．填空题（共12小题）
13．计算：18°13′×5＝ 91°5′． ．
【分析】根据度分秒的进制单位是60进行解答．
【解答】解：原式＝90°+65′＝91°5′．
故答案是：91°5′．
【点评】本题考查了度分秒的换算，度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
14．1.25°＝ 75 分，5400″＝ 1.5 度．
【分析】利用1°＝60′，1′＝60″进行计算即可．
【解答】解：1.25°＝1×60′+0.25×60′＝60′+15′＝75′，
5400″＝（5400÷60）′＝90′＝（90÷60）°＝1.5°，
故答案为：75；1.5．
【点评】此题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握度、分、秒之间是60进制．
15．钟表上的时间是3时20分，则此时时针与分针所成的夹角是 20 度．
【分析】根据钟表有12个大格，每个大格是30°，时间为13时20分，分针指在4处，时针在1到2之间，从而可以解答本题．
【解答】解：∵钟表上的时间指示为3点20分，
∴时针与分针所成的角是：30°×＝10°，30°﹣10°＝20°．
故答案是：20．
【点评】本题考查钟面角，解题的关键是明确钟面上每个大格之间的角是30°，时针和分针是同时转动的，分针转12个大格，时针转动1个大格．
16．35.48°＝ 35 度 28 分 48 秒．
【分析】根据大单位化小单位乘以进率，先把0.48°化成分，再把0.8′化成秒，即可得出答案．
【解答】解：0.48°＝（0.48×60）′＝28.8′，
0.8′＝（0.8×60）″＝48″，
所以35.48°＝35°28′48″．
故答案为：35，28，48．
【点评】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率，小单位华大单位除以进率是解题关键．度分秒之间的换算要注意：1°＝60′，1′＝60″．
17．计算：65°19′48″+35°17′6″＝ 100.615° （将计算结果换算成度）．
【分析】根据度、分、秒间的进制是60进行解答．
【解答】解：65°19′48″+35°17′6″
＝100°36′54″，
∵54÷60＝0.9，（36+0.9）÷60＝0.615，100+0.615＝100.615，
∴100°36′54″＝100.615°．
故答案是：100.615°．
【点评】本题考查了角度的计算和度分秒的换算，单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
18．如图，在甲，乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东55°，若同时开工，则在乙地公路按南偏西 55 度的走向施工，才能使公路准确接通．
【分析】先求出∠COD，然后根据方向角的知识即可得出答案．
【解答】解：如图：
∵AD∥OC，
∴∠COD＝∠ADO＝55°，
即乙地公路走向应按南偏西55度的走向施工，才能使公路准确接通．
故答案为：55．
【点评】此题考查了方向角的知识，解答本题的关键是求出∠COD的度数，另外要熟练方向角的表示方法．
19．下列说法：
①连接两点间的线段叫这两点的距离；
②木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点之间，线段最短；
③若A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2CB，则C是线段AB的中点；
④若∠A＝20°18′，∠B＝20°28″，∠C＝20.25°，则有∠A＞∠C＞∠B．
其中一定正确的是 ④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【分析】依据两点间的距离，直线的性质以及度分秒的换算，即可得出结论．
【解答】解：①连接两点间的线段的长度叫这两点的距离，故①错误；
②木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点确定一条直线，故②错误；
③若A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2CB，则C不一定是线段AB的中点，故③错误；
④若∠A＝20°18′，∠B＝20°28″，∠C＝20.25°＝20°15′，则有∠A＞∠C＞∠B，故④正确．
故答案为：④．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，直线的性质，线段的性质以及度分秒的换算，解题时注意：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．
20．在同一平面内，已知∠AOB＝30°，∠BOC＝50°，则∠AOC＝ 80°或20° ．
【分析】本题是角的计算的多解问题，求解时要注意分情况讨论，可以根据OA在∠BOC的位置关系分为OA在∠BOC的内部和外部两种情况求解．
【解答】解：①如图1，当OA在∠BOC内部，
∵∠AOB＝30°，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝20°；
②如图2，当OA在∠BOC外部，
∵∠AOB＝30°，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝80°；
综上所述，∠AOC为20°或80°．
故答案为：20°或80．
【点评】本题考查了角的计算，本题只是说出了两个角的度数，而没有指出OC与∠AOB的位置关系，因此本题解题的关键是根据题意准确画出图形．
21．已知∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOC，则∠AOC的度数是 10°或20° ．
【分析】求出∠AOC的度数，分为两种情况：①OC在∠AOB内部时，②OC在∠AOB外部时，求出即可．
【解答】解：当OC在∠AOB内部时，如图1，
∵∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOC，
∴∠AOC＝；
当OC在∠AOB外部时，如图2，
∵∠BOC﹣∠AOC＝∠AOB，∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOC，
∴3∠AOC﹣∠AOC＝40°，
∴∠AOC＝20°．
综上，∠AOC＝10°或20°．
故答案为：10°或20°．
【点评】此题主要考查了角的计算，关键是注意此题分两种情况．
22．以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC＝5：4，若∠AOB＝18°，则∠AOC的度数是 10°或90° ．
【分析】分射线OC在∠AOB的内部和外部两种情况进行讨论求解即可．
【解答】解：如图1，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝18°，
解得：∠AOC＝18×＝10°；
如图2，当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠AOB＝18°，
∴5x＝18°+4x，
解得x＝18°，
∴∠AOC＝5x＝5×18°＝90°．
故∠AOC的度数是10°或90°．
故答案为：10°或90°．
【点评】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
23．若∠AOB＝75°，∠AOC＝27°，则∠BOC＝ 48°或102° ．
【分析】分情况应用角的和差计算出∠BOC的大小为48°或102°．
【解答】解：（1）射线OC在∠AOB的内部时，
如图1所示：
∵∠AOB＝75°，∠AOC＝27°，
∠AOB＝∠AOC+∠BOC，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝75°﹣27°＝48°；
（2）射线OC在∠AOB的外部时，
如图2所示：
∵∠AOB＝75°，∠AOC＝27°，
∠BOC＝∠AOB+∠AOC，
∴∠BOC＝75°+27°＝102°，
综合所述，∠BOC的度数为48°或102°，
故答案为48°或102°．
【点评】本题考查了角的和差，分类思想相关知识，重点掌握角的计算，难点就是角的另一边的位置可在已知角内部或角的外部．
24．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，OD是OB的反向延长线．
（1）射线OC的方向是 北偏东70° ；
（2）∠COD的度数是 70° ．
【分析】（1）先求∠AOB的度数，再求∠NOC得结论；
（2）利用平角和角的和差关系，计算得结论．
【解答】解：（1）由图知：∠AOB＝15°+40°＝55°，
∴∠AOC＝55°
∴∠NOC＝∠NOA+∠AOC
＝15°+55°＝70°
∴射线OC在北偏东70°方向上．
故答案为：北偏东70°
（2）∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC
＝55°×2＝110°，
∴∠COD＝180°﹣∠BOC
＝180°﹣110°
＝70°
故答案为：70°
【点评】本题考查了方向角、角的和差关系及平角等知识．掌握方向角及角的和差关系是解决本题的关键
三．解答题（共6小题）
25．如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2km，OB＝3.5km，OP＝4km，点C为OP的中点，回答下列问题：
（1）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
（2）由图可知，公园在小明家东偏南30°方向2km处．请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置．
【分析】（1）由点C为OP的中点，可得出OC＝2km，结合OA＝2km，即可得出距小明家距离相同的是学校和公园；
（2）观察图形，根据OA，OB，OP的长度及图中各角度，即可得出结论．
【解答】解：（1）因为点C为OP的中点，
所以OC＝2km，
因为OA＝2km，
所以可得出距小明家距离相同的是学校和公园；
（2）由图可知，学校在小明家东偏北45°方向2km处，商场在小明家西偏北60°方向3.5km处，停车场在东偏南30°方向4km处．
【点评】本题考查了方向角，解题的关键是：（1）利用点C为OP的中点，找出OC＝OA；（2）观察图形，找出学校、商场、停车场相对于小明家的位置．
26．计算：
（1）131°28′﹣51°32′15″
（2）58°38′27″+47°42′40″
（3）34°25′×3+35°42′
【分析】（1）根据度分秒的减法法则计算即可求解；
（2）根据度分秒的加法法则计算即可求解；
（3）先算乘法，再算加法．
【解答】解：（1）131°28′﹣51°32′15″＝79°55′45″；
（2）58°38′27″+47°42′40″＝106°21′7″；
（3）34°25′×3+35°42′
＝103°15′+35°42′
＝138°57′．
【点评】考查了度分秒的换算，具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
27．对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT落在∠MON的内部或边OM、ON上，则称射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．
已知：如图2，在平面内，∠AOM＝10°，∠MON＝20°．
（1）若有两条射线OB1，OB2的位置如图3所示，且∠B1OM＝30°，∠B2OM＝15°，则在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是 OB2 ；
（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，设∠COM＝x°，求x的取值范围；
（3）如图4，∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t秒，且0＜t＜60．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）由∠MON内含对称的定义可求解；
（2）由∠MON内含对称的定义可得10°≤（x+10）°≤30°，可求解；
（3）分两种情况讨论，利用∠MON内含对称的定义列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOB1在∠MON的外部，
∴射线OA、OB1组成的∠AOB1的平分线在∠MON的外部，
∴OB1不是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，
∵∠B2OM＝15°，∠AOM＝10°，
∴∠AOB2＝25°，
∴射线OA、OB2组成的∠AOB2的平分线在∠MON的内部，
∴OB2是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，
故答案为：OB2；
（2）由（1）可知，当OC在直线OA的下方时，才有可能存在射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，
∵∠COM＝x°，∠AOM＝10°，∠MON＝20°，
∴∠AOC＝（x+10）°，∠AON＝30°，
∵射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，
∴10°≤（x+10）°≤30°，
∴10≤x≤50；
（3）∵∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，
∴∠HOM＝50°，∠HON＝70°，∠EOM＝30°，∠FOM＝40°，
若射线OE与射线OH关于∠MON内含对称，
∴50﹣t≤≤70﹣t，
∴20≤t≤30；
若射线OF与射线OH关于∠MON内含对称，
∴50﹣t≤≤70﹣t，
∴22.5≤t≤32.5，
综上所述：20≤t≤32.5．
【点评】本题是新定义题，考查了角平分线的性质，一元不等式的应用，理解新定义，运用新定义解决问题是本题的关键．
28．如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤60，单位秒）
（1）当t＝3时，求∠AOB的度数；
（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到72°时，求t的值；
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用∠AOB＝180°﹣∠AOM﹣∠BON，即可求出结论；
（2）利用∠AOM+∠BON＝180°+∠AOB，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）分0≤t≤18及18≤t≤60两种情况考虑，当0≤t≤18时，利用∠AOB＝180°﹣∠AOM﹣∠BON＝90°，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；当18≤t≤60时，利用∠AOM+∠BON＝180°+∠AOB（∠AOB＝90°或270°），即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．综上，此题得解．
【解答】解：（1）当t＝3时，∠AOB＝180°﹣4°×3﹣6°×3＝150°．
（2）依题意，得：4t+6t＝180+72，
解得：t＝．
答：当∠AOB第二次达到72°时，t的值为．
（3）当0≤t≤18时，180﹣4t﹣6t＝90，
解得：t＝9；
当18≤t≤60时，4t+6t＝180+90或4t+6t＝180+270，
解得：t＝27或t＝45．
答：在旋转过程中存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直，t的值为9、27或45．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
29．如图，已知∠AOB＝75°，OC是∠AOB内部的一条射线，过点O作射线OD，使得∠COD＝∠AOB．
（1）若∠AOD＝120°，则∠BOC＝ 30 °；
（2）若∠AOD＝5∠BOC，则∠BOD＝ 50 °；
（3）当∠COD绕着点O旋转时，∠AOD+∠BOC是否变化？若不变，求出其大小；若变化，说明理由．
【分析】（1）根据等式的性质可得AOC＝∠BOD，根据∠AOD＝120°，∠AOB＝75°，求出∠AOC＝∠BOD＝45°，进而求出∠BOC即可；
（2）设未知数，根据∠AOD＝5∠BOC列方程求解即可；
（3）由题意可得∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝2∠AOB．
【解答】解：（1）∵∠COD＝∠AOB．即∠AOC+∠BOC＝∠BOC+∠BOD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵∠AOD＝120°，∠AOB＝75°，
∴∠AOC＝∠BOD＝120°﹣75°＝45°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝75°﹣45°＝30°，
故答案为：30，
（2）设∠BOD＝x°，由（1）得∠AOC＝∠BOD＝x°，则∠BOC＝75°﹣x°
由∠AOD＝5∠BOC得，75+x＝5（75﹣x），
解得，x＝50，
即：∠BOD＝50°，
故答案为：50；
（3）不变；
∵∠COD＝∠AOB＝75°，∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝75°×2＝150°，
答：当∠COD绕着点O旋转时，∠AOD+∠BOC＝150°，其值不变．
【点评】考查角的相关计算，通过图形直观，得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键．
30．如图所示，∠AOC和∠BOD都是直角．
（1）填空：图中与∠BOC互余的角有 ∠AOB 和 ∠COD ；
（2）∠AOD与∠BOC互补吗？为什么？
（3）若∠AOB：∠AOD＝3：13，求∠BOC与∠AOD的度数
【分析】（1）根据∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，解答即可；
（2）求出∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOD，代入求出即可；
（3）设∠AOB＝3x，∠AOD＝13x，根据∠AOD﹣∠AOB＝90°得出方程13x﹣3x＝90°，求出即可．
【解答】解：（1）因为∠AOC和∠BOD都是直角，
所以∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，
所以∠BOC与∠AOB互余，∠BOC与∠COD互余，
故答案为：∠AOB、∠COD；
（2）∠AOD与∠BOC互补，理由如下：
因为∠AOC和∠BOD都是直角，
所以∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，
又因为∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD，
所以∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC＝180°，
所以∠AOD与∠BOC互补；
（3）设∠AOB＝3x°、则∠AOD＝13x°，
所以∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝13x﹣3x＝10x＝90，
即x＝9，
所以∠AOD＝13x＝117°，
由（2）可知∠AOD与∠BOC互补，
所以∠BOC＝180°﹣117°＝63°．
【点评】本题考查了角的有关计算．解题的关键是明确角的有关计算方法，以及能够根据图形进行计算，题目比较好，难度适中．角巩固练习
一．选择题（共12小题）
1．已知∠A＝30°45'，∠B＝30.45°，则∠A（ ）∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”）
A．＞
B．＜
C．＝
D．无法确定
2．下列说法正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．一个有理数，不是正数就是负数
C．平角是一条直线
D．整数和分数统称为有理数
3．如图，射线OA表示的方向是（ ）
A．北偏东65°
B．北偏西35°
C．南偏东65°
D．南偏西35°
4．11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（ ）
A．140°
B．130°
C．120°
D．110°
5．若∠A＝20°18′，∠B＝20°15″，∠C＝20.25°，则有（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C
B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠A＞∠C＞∠B
D．∠C＞∠A＞∠B
6．如图，已知∠AOB：∠BOC＝2：3，∠AOC＝75°，那么∠AOB＝（ ）
A．20°
B．30°
C．35°
D．45°
7．如图，∠AOD＝84°，∠AOB＝18°，OB平分∠AOC，则∠COD的度数是（ ）
A．48°
B．42°
C．36°
D．33°
8．一个钝角减去一个锐角所得的差是（ ）
A．直角
B．锐角
C．钝角
D．以上三种都有可能
9．如图，∠AOC＝∠BOD＝80°，如果∠AOD＝138°，那么∠BOC等于（ ）
A．22°
B．32°
C．42°
D．52°
10．下列语句错误的个数是（ ）
①一个角的补角不是锐角就是钝角；
②角是由两条射线组成的图形；
③如果点C是线段AB的中点，那么AB＝2AC＝2BC；
④连接两点之间的线段叫做两点的距离．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
11．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝146°，则∠BOC的度数为（ ）
A．43°
B．34°
C．56°
D．50°
12．下列语句中，正确的个数是（ ）
①直线AB和直线BA是两条直线；②射线AB和射线BA是两条射线；③若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余；④一个角的余角比这个角的补角小；⑤一条射线就是一个周角；⑥两点之间，线段最短．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共12小题）
13．计算：18°13′×5＝
．
14．1.25°＝
分，5400″＝
度．
15．钟表上的时间是3时20分，则此时时针与分针所成的夹角是
度．
16．35.48°＝
度
分
秒．
17．计算：65°19′48″+35°17′6″＝
（将计算结果换算成度）．
18．如图，在甲，乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东55°，若同时开工，则在乙地公路按南偏西
度的走向施工，才能使公路准确接通．
19．下列说法：
①连接两点间的线段叫这两点的距离；
②木匠师傅锯木料时，一般先在模板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，这样做的原理是：两点之间，线段最短；
③若A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2CB，则C是线段AB的中点；
④若∠A＝20°18′，∠B＝20°28″，∠C＝20.25°，则有∠A＞∠C＞∠B．
其中一定正确的是
．（把你认为正确结论的序号都填上）
20．在同一平面内，已知∠AOB＝30°，∠BOC＝50°，则∠AOC＝
．
21．已知∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOC，则∠AOC的度数是
．
22．以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC＝5：4，若∠AOB＝18°，则∠AOC的度数是
．
23．若∠AOB＝75°，∠AOC＝27°，则∠BOC＝
．
24．如图，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB＝∠AOC，OD是OB的反向延长线．
（1）射线OC的方向是
；
（2）∠COD的度数是
．
三．解答题（共6小题）
25．如图，是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2km，OB＝3.5km，OP＝4km，点C为OP的中点，回答下列问题：
（1）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
（2）由图可知，公园在小明家东偏南30°方向2km处．请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置．
26．计算：
（1）131°28′﹣51°32′15″
（2）58°38′27″+47°42′40″
（3）34°25′×3+35°42′
27．对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT落在∠MON的内部或边OM、ON上，则称射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．
已知：如图2，在平面内，∠AOM＝10°，∠MON＝20°．
（1）若有两条射线OB1，OB2的位置如图3所示，且∠B1OM＝30°，∠B2OM＝15°，则在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是
；
（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，设∠COM＝x°，求x的取值范围；
（3）如图4，∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t秒，且0＜t＜60．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．
28．如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤60，单位秒）
（1）当t＝3时，求∠AOB的度数；
（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到72°时，求t的值；
（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
29．如图，已知∠AOB＝75°，OC是∠AOB内部的一条射线，过点O作射线OD，使得∠COD＝∠AOB．
（1）若∠AOD＝120°，则∠BOC＝
°；
（2）若∠AOD＝5∠BOC，则∠BOD＝
°；
（3）当∠COD绕着点O旋转时，∠AOD+∠BOC是否变化？若不变，求出其大小；若变化，说明理由．
30．如图所示，∠AOC和∠BOD都是直角．
（1）填空：图中与∠BOC互余的角有
和
；
（2）∠AOD与∠BOC互补吗？为什么？
（3）若∠AOB：∠AOD＝3：13，求∠BOC与∠AOD的度数
