第三章
实数巩固练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在实数，0，0.2，，，3.1415926中，无理数的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：0，，是整数，属于有理数；
0.2，3.1415926，是有限小数，属于有理数；
无理数有，，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．下列说法：①所有无理数都能用数轴上的点表示；②带根号的数都是无理数；③任何实数都有立方根；④的平方根是±4，﹣6是36的一个平方根；⑤一个数的算术平方根是正数；⑥是无理数；⑦﹣1的相反数是﹣﹣1．其中正确的个数为（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【分析】根据实数的有关概念分别进行判断．
【解答】解：①所有无理数都能用数轴上的点表示是正确的；
②带根号的数不一定是无理数，如＝2，原来的说法错误；
③任何实数都有立方根是正确的；
④＝4的平方根是±2，﹣6是36的一个平方根，原来的说法错误；
⑤一个数的算术平方根不一定是正数，如0的算术平方根是0，原来的说法错误；
⑥＝4是有理数，原来的说法错误；
⑦﹣1的相反数是﹣+1，原来的说法错误．
故其中正确的个数为2个．
故选：A．
【点评】此题考查了实数的分类，以及数轴的特征，还有算术平方根、平方根和立方根的含义和求法的应用，要熟练掌握．同时考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．
3．下列说法错误的是（ ）
A．无理数的相反数还是无理数
B．无限小数都是无理数
C．有理数和无理数统称为实数
D．实数与数轴上的点一一对应
【分析】A、根据无理数的定义和相反数的定义即可判断；
B、根据无理数的定义进行判断；
C、根据实数的分类进行判断；
D、根据实数与数轴的关系进行判断．
【解答】解：A、无理数的相反数还是无理数是正确的，如的相反数是﹣也是无理数，π的相反数﹣π，也是无理数等，不符合题意；
B、无理数就是无限不循环小数，原来的说法是错误的，符合题意；
C、有理数和无理数统称为实数是正确的，不符合题意；
D、实数与数轴上的点一一对应是正确的，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了实数，无理数是指无限不循环小数，a的相反数是﹣a，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
4．如图，表示﹣的点落在（ ）
A．段①
B．段②
C．段③
D．段④
【分析】根据数的平方以及算术平方根的定义，即可解答．
【解答】解：2.62＝6.76，2.72＝7.29，
∵6.76＜7＜7.29，
∴2.6＜＜2.7，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根以及估算无理数的大小，解决本题的关键是计算出各数的平方．
5．下列说法正确的是（ ）
A．7的算术平方根是49
B．平方根等于它本身的数是1和0
C．有理数与无理数的乘积一定是无理数
D．若ab＞0，则点（a，b）在第一象限或第三象限
【分析】利用实数的定义，算术平方根，以及平方根性质判断即可．
【解答】解：A、7的算术平方根是，不符合题意；
B、平方根等于它本身的数是0，不符合题意；
C、有理数与无理数的乘积不一定是无理数，不符合题意；
D、若ab＞0，即a与b同号，则点（a，b）在第一象限或第三象限，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了实数的运算，弄清各自的性质是解本题的关键．
6．已知k＜＜k+1，k为整数，则k和k+1分别为（ ）
A．1，2
B．2，3
C．3，4
D．4，5
【分析】先估算的大小，即可求解k值，进而可求解．
【解答】解：∵3＜＜4，k＜＜k+1，
∴k＝3，k+1＝4，
故选：C．
【点评】本题主要考查估算无理数的大小，估算的大小是解题的关键．
7．满足的整数x有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】估算﹣和的值，再根据﹣＜x＜确定x的整数值即可，
【解答】解：∵1＜＜2，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，
又∵1＜＜2，﹣＜x＜，
∴整数x为﹣1，0，1，
故选：C．
【点评】本题考查无理数的估算，掌握算术平方根的意义是解决问题的关键．
8．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简后﹣|a+b|的结果为（ ）
A．2a﹣b
B．﹣2a+b
C．2a+b
D．b
【分析】直接利用二次根式的性质和绝对值的意义分别化简得出答案．
【解答】解：如图所示：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，|a|＞|b|，
则﹣|a+b|＝﹣a+（a+b）＝﹣a+a+b＝b．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
二．填空题（共8小题）
9．若对于实数x、y定义一种新运算：，则值为 6 ．
【分析】根据新定义的运算代入计算，先算的结果，再和后面的8进行计算即可．
【解答】解：＝，
，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了新定义的运算和二次根式的计算，将已知代入新定义的运算计算即可．
10．我们定义新运算；，例如：，那么（12?3）?6的值为 ．
【分析】根据所给例题进行计算即可．
【解答】解：12?3＝＝＝2，
2?6＝＝＝＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是理解解决问题的方法．
11．﹣2的绝对值是 2﹣ ，的立方根是 2 ．
【分析】直接利用绝对值的性质以及立方根的性质分别得出答案．
【解答】解：﹣2的绝对值是：2﹣，
＝8的立方根是：2．
故答案为：，2．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
12．比较大小，用“＞”或“＜”或“＝”填空．
＜ ，π ＞ 3.14；
若a＜b＜0，则 ＞ ．
【分析】利用实数比较大小的方法进行比较即可．
【解答】解：﹣＝﹣，﹣＝﹣，
∵﹣＜﹣，
∴﹣＜﹣；
π＞3.14；
∵a＜b＜0，
∴＞，
故答案为：＜；＞；＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小比较，关键是掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
13．一个正数的两个平方根为a+2和a﹣6，则这个数为 16 ．
【分析】由于正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出a．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是a+2和a﹣6，
∴a+2+a﹣6＝0，
解得：a＝2，
故a+2＝2+2＝4，
则这个正数是：42＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了平方根的概念．解题的关键是掌握平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
14．＝ ．
【分析】直接利用立方根以及算术平方根、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝5﹣3+﹣2
＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
15．①12的平方根是 ±2 ；
②的立方根是 2 ；
③的倒数是 ．
【分析】①直接利用平方根的定义得出答案；
②直接利用算术平方根以及立方根的定义分析得出答案；
③直接利用倒数的定义以及二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：①12的平方根是：±＝±2；
②＝8的立方根是2；
③的倒数是：＝．
故答案为：①±2；②2；③．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
16．已知的整数部分为a，的小数部分为b，则＝ ．
【分析】由＜＜，可求a，b的值，代入可求解．
【解答】解：∵＜＜，
∴8＜5+＜9，1＜5﹣＜2，
∴a＝8，b＝5﹣﹣1＝4﹣，
∴＝＝，
故答案为．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是找出a＝8，b＝4﹣，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据无理数的大致范围找出代数式的整数和小数部分是关键．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）﹣20+23﹣（﹣7）；
（2）﹣18×；
（3）﹣24×3+8÷（﹣2）2；
（4）．
【分析】（1）首先写成省略括号的形式，然后再计算加减即可；
（2）利用乘法分配律进行计算即可；
（3）先算乘方，后算乘除，再算加减即可；
（4）首先利用算术平方根的定义、绝对值得性质、立方根的性质进行计算，然后再算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣20+23+7＝3+7＝10；
（2）原式＝﹣18×+18×+18×﹣18
＝﹣27+4+15﹣18
＝﹣26；
（3）原式＝﹣16×3+8÷4＝﹣48+2＝﹣46；
（4）原式＝2+3+3＝8．
【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
18．对于任意的正数m，n，定义新运算“※”为：m※n＝，请依据新运算计算：（3※2）×（8※12）．
【分析】利用新定义代入进行计算即可．
【解答】解：∵3＞2，8＜12，
∴（3※2）×（8※12）
＝（）×（）
＝（）×（）
＝2（）×（）
＝2．
【点评】此题主要考查了实数运算，关键是正确理解题意，根据例题列出算式．
19．（1）画出数轴，在数轴上表示下列有理数：﹣2，﹣2.5，0，，，3，并把这些数按从小到大用“＜”号连接；
（2）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣b|．
【分析】（1）先在数轴上表示出各个数，再比较即可；
（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
【解答】解：（1），
﹣2.5＜﹣2＜﹣＜0＜3＜；
（2）从数轴可知：a＜b＜0＜c，|a|＞|b|＞|c|，
所以|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝﹣a+（a+b）+（c﹣b）＝c．
【点评】本题考查了数轴，绝对值，整式的加减，相反数和实数的大小比较等知识点，能在数轴上表示出各个数是解（1）的关键，能正确去掉绝对值符号是解（2）的关键．
20．计算：
（1）（2﹣3）﹣（﹣4﹣1）；
（2）﹣5×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）；
（3）（﹣2）2+|﹣1|﹣；
（4）（﹣）×（﹣）÷（﹣2）．
【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接提取公因式﹣，进而计算得出答案；
（3）直接利用绝对值和立方根的性质分别化简得出答案；
（4）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）（2﹣3）﹣（﹣4﹣1）
＝﹣1+5
＝4；
（2）原式＝（﹣）×（﹣5+13﹣3）
＝﹣×5
＝﹣11；
（3）原式＝4+﹣1﹣3
＝；
（4）原式＝﹣××
＝﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
21．已知2x+1的算术平方根是0，＝4，z是﹣27的立方根，求2x+y+z的平方根．
【分析】先根据算术平方根的定义求得2x的值，再根据算术平方根的定义求出y，根据立方根的定义求z，然后代入要求的式子进行计算，最后根据平方根的定义即可得出答案．
【解答】解：∵2x+1的算术平方根是0，
∴2x+1＝0，
∴2x＝﹣1，
∵＝4，
∴y＝16，
∵z是﹣27的立方根，
∴z＝﹣3，
∴2x+y+z＝﹣1+16﹣3＝12，
∴2x+y+z的平方根是±＝±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根、立方根．
22．已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式（b﹣）a﹣1的平方根．
【分析】估算，确定a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
又∵a是的整数部分，b是的小数部分，
∴a＝3，b＝﹣3，
∴（b﹣）a﹣1＝（﹣3﹣）3﹣1＝（﹣3）2＝9，
∴9的平方根为±＝±3．
故代数式（b﹣）a﹣1的平方根±3．
【点评】本题考查无理数的估算、平方根的意义，确定a、b的值是解决问题的关键．
23．计算：
（1）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷|﹣|；
（2）﹣12020+|﹣3|+﹣；
（3）3×（﹣）+2×（﹣×+）；
（4）|﹣|+|﹣1|﹣|3﹣|．
【分析】（1）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案；
（2）直接利用立方根以及绝对值的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案；
（3）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；
（4）直接利用绝对值的性质化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷|﹣|
＝9﹣×﹣6×
＝9﹣﹣9
＝﹣；
（2）﹣12020+|﹣3|+﹣
＝﹣1+3﹣﹣4
＝﹣2；
（3）3×（﹣）+2×（﹣×+）
＝3﹣3﹣3+3
＝﹣3+3；
（4）|﹣|+|﹣1|﹣|3﹣|
＝﹣+﹣1﹣（3﹣）
＝﹣+﹣1﹣3+
＝2﹣4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
24．如图：
（1）在数轴上标出表示﹣a、﹣b的点；
（2）a ＞ 0；b ＜ 0；|a| ＜ |b|；a﹣b ＞ 0；
（3）用“＜”号把a、b、0、﹣a、﹣b连接起来．
（4）化简：|a|+|b|﹣|a﹣b|﹣|a+b|．
【分析】（1）利用相反数的意义可得答案；
（2）（3）利用数轴可得答案；
（4）利用绝对值的性质进行计算即可．
【解答】解：（1）如图所示：
；
（2）由数轴可得：a＞0，b＜0，|a|＜|b|，a﹣b＞0，
故答案为：＞；＜；＜；＞；
（3）由数轴可得：b＜﹣a＜0＜a＜﹣b；
（4）|a|+|b|﹣|a﹣b|﹣|a+b|＝a﹣b﹣（a﹣b）﹣（﹣a﹣b）＝a﹣b﹣a+b+a+b＝a+b．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，以及数轴和绝对值，关键是掌握在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧的小于零，原点右侧的大于零．第三章
实数巩固练习
一．选择题（共8小题）
1．在实数，0，0.2，，，3.1415926中，无理数的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．下列说法：①所有无理数都能用数轴上的点表示；②带根号的数都是无理数；③任何实数都有立方根；④的平方根是±4，﹣6是36的一个平方根；⑤一个数的算术平方根是正数；⑥是无理数；⑦﹣1的相反数是﹣﹣1．其中正确的个数为（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
3．下列说法错误的是（ ）
A．无理数的相反数还是无理数
B．无限小数都是无理数
C．有理数和无理数统称为实数
D．实数与数轴上的点一一对应
4．如图，表示﹣的点落在（ ）
A．段①
B．段②
C．段③
D．段④
5．下列说法正确的是（ ）
A．7的算术平方根是49
B．平方根等于它本身的数是1和0
C．有理数与无理数的乘积一定是无理数
D．若ab＞0，则点（a，b）在第一象限或第三象限
6．已知k＜＜k+1，k为整数，则k和k+1分别为（ ）
A．1，2
B．2，3
C．3，4
D．4，5
7．满足的整数x有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简后﹣|a+b|的结果为（ ）
A．2a﹣b
B．﹣2a+b
C．2a+b
D．b
二．填空题（共8小题）
9．若对于实数x、y定义一种新运算：，则值为
．
10．我们定义新运算；，例如：，那么（12?3）?6的值为
．
11．﹣2的绝对值是
，的立方根是
．
12．比较大小，用“＞”或“＜”或“＝”填空．
，π
3.14；
若a＜b＜0，则
．
13．一个正数的两个平方根为a+2和a﹣6，则这个数为
．
14．＝
．
15．①12的平方根是
；
②的立方根是
；
③的倒数是
．
16．已知的整数部分为a，的小数部分为b，则＝
．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
（1）﹣20+23﹣（﹣7）；
（2）﹣18×；
（3）﹣24×3+8÷（﹣2）2；
（4）．
18．对于任意的正数m，n，定义新运算“※”为：m※n＝，请依据新运算计算：（3※2）×（8※12）．
19．（1）画出数轴，在数轴上表示下列有理数：﹣2，﹣2.5，0，，，3，并把这些数按从小到大用“＜”号连接；
（2）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣b|．
20．计算：
（1）（2﹣3）﹣（﹣4﹣1）；
（2）﹣5×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）；
（3）（﹣2）2+|﹣1|﹣；
（4）（﹣）×（﹣）÷（﹣2）．
21．已知2x+1的算术平方根是0，＝4，z是﹣27的立方根，求2x+y+z的平方根．
22．已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式（b﹣）a﹣1的平方根．
23．计算：
（1）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷|﹣|；
（2）﹣12020+|﹣3|+﹣；
（3）3×（﹣）+2×（﹣×+）；
（4）|﹣|+|﹣1|﹣|3﹣|．
24．如图：
（1）在数轴上标出表示﹣a、﹣b的点；
（2）a
0；b
0；|a|
|b|；a﹣b
0；
（3）用“＜”号把a、b、0、﹣a、﹣b连接起来．
（4）化简：|a|+|b|﹣|a﹣b|﹣|a+b|．
