第三章实数期末专项练习
一．选择题（共14小题）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．﹣2
2．在3.14159，4，1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），4.，π，中，无理数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．化简的结果是（ ）
A．3
B．﹣3
C．±3
D．±
4．下列说法正确的是（ ）
A．7的算术平方根是49
B．平方根等于它本身的数是1和0
C．有理数与无理数的乘积一定是无理数
D．若ab＞0，则点（a，b）在第一象限或第三象限
5．关于的叙述，错误的是（ ）
A．是有理数
B．面积为10的正方形边长是
C．是无限不循环小数
D．在数轴上可以找到表示的点
6．下列是无理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．3.
7．已知k＜＜k+1，k为整数，则k和k+1分别为（ ）
A．1，2
B．2，3
C．3，4
D．4，5
8．下列正方形中，边长为无理数的是（ ）
A．面积为0.25的正方形
B．面积为2的正方形
C．面积为
的正方形
D．面积为16的正方形
9．下列说法正确的是（ ）
A．2的平方根是
B．（﹣4）2的算术平方根是4
C．近似数35万精确到个位
D．无理数的整数部分是5
10．下列说法中，其中不正确的有（ ）
（1）任何数都有平方根，
（2）一个数的算术平方根一定是正数，
（3）a2的算术平方根是a，
（4）一个数的算术平方根不可能是负数．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
11．下列各数中，无理数有（ ）个．
3.14159，，﹣，，0，，0.2525525552…（相邻两个2之间5的个数逐次加1）．
A．4
B．3
C．2
D．1
12．介于与之间的整数一共有（ ）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
13．若|a|＝4，，且a+b＜0，则a﹣b的值是（ ）
A．1，7
B．﹣1，7
C．1，﹣7
D．﹣1，﹣7
14．下列语句中正确的是（ ）
A．16的算术平方根是±4
B．任何数都有两个平方根
C．∵3的平方是9，∴9的平方根是3
D．﹣1是1的平方根
二．填空题（共10小题）
15．若的整数部分为a，小数部分为b，求的值
．
16．已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，e是的整数部分，f是的小数部分，求代数式﹣+e﹣f＝
．
17．已知x为整数，且x＜﹣1＜x+1，则x的值为
．
18．在实数中：①﹣，②﹣3，③，④﹣，⑤0.8080080080…（相邻两个8之间0的个数逐次加1），⑥﹣，无理数是
（只填序号）．
19．计算﹣12020+﹣|﹣|＝
．
20．（1）的平方根是
；
（2）比较大小：3
2．
21．比较大小，用“＞”或“＜”或“＝”填空．
，π
3.14；
若a＜b＜0，则
．
22．的算术平方根是
．
23．对于任意两个正数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝，按照此法则计算3※4＝
．
24．我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．
（1）＝
；
（2）若，则x的取值范围是
．
三．解答题（共6小题）
25．a、b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．
（1）a+b
0，ab
0；（请用“＜”、“＞”填空）
（2）用“＜”将a、﹣a、b、﹣b连接起来
；
（3）求|a+1|+2|a﹣b|﹣3|2﹣b+a|的值．
26．已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式（b﹣）a﹣1的平方根．
27．计算（）2+﹣．
28．计算：
（1）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷|﹣|；
（2）﹣12020+|﹣3|+﹣；
（3）3×（﹣）+2×（﹣×+）；
（4）|﹣|+|﹣1|﹣|3﹣|．
29．若|x+1|+（y﹣5）2＝0，求2y+x的算术平方根．
30．计算下列各小题．
（1）﹣9+53﹣32；
（2）（﹣+3）÷；
（3）32×（﹣）3﹣|﹣2|；
（4）﹣22++（﹣1）2013×÷．第三章实数期末专项练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．﹣2
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是无理数；
B、，是整数，属于有理数；
C、是分数，属于有理数；
D、﹣2是整数，属于有理数；
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．在3.14159，4，1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），4.，π，中，无理数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：3.14159是有限小数，属于有理数；
4是整数，属于有理数；
4.是循环小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有1.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1），π共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．化简的结果是（ ）
A．3
B．﹣3
C．±3
D．±
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：＝3．
故选：A．
【点评】此题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的定义．
4．下列说法正确的是（ ）
A．7的算术平方根是49
B．平方根等于它本身的数是1和0
C．有理数与无理数的乘积一定是无理数
D．若ab＞0，则点（a，b）在第一象限或第三象限
【分析】利用实数的定义，算术平方根，以及平方根性质判断即可．
【解答】解：A、7的算术平方根是，不符合题意；
B、平方根等于它本身的数是0，不符合题意；
C、有理数与无理数的乘积不一定是无理数，不符合题意；
D、若ab＞0，即a与b同号，则点（a，b）在第一象限或第三象限，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了实数的运算，弄清各自的性质是解本题的关键．
5．关于的叙述，错误的是（ ）
A．是有理数
B．面积为10的正方形边长是
C．是无限不循环小数
D．在数轴上可以找到表示的点
【分析】根据无理数的定义、无理数的估算、算术平方根、实数与数轴的知识进行判断．
【解答】解：A、是无理数，原说法错误；
B、面积为10的正方形边长是，原说法正确；
C、是无理数，是无限不循环小数，原说法正确；
D、在数轴上可以找到对应的点，原说法正确；
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的定义、数轴及平方根的定义及表示．
6．下列是无理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．3.
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、是无理数，故本选项符合题意；
B、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是循环小，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
7．已知k＜＜k+1，k为整数，则k和k+1分别为（ ）
A．1，2
B．2，3
C．3，4
D．4，5
【分析】先估算的大小，即可求解k值，进而可求解．
【解答】解：∵3＜＜4，k＜＜k+1，
∴k＝3，k+1＝4，
故选：C．
【点评】本题主要考查估算无理数的大小，估算的大小是解题的关键．
8．下列正方形中，边长为无理数的是（ ）
A．面积为0.25的正方形
B．面积为2的正方形
C．面积为
的正方形
D．面积为16的正方形
【分析】根据正方形的面积公式以及无理数的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、面积为0.25的正方形，其边长为0.5，是有理数，故本选项不合题意；
B、面积为2的正方形，其边长为，是无理数，故本选项符合题意；
C、面积为
的正方形，其边长为，是有理数，故本选项不合题意；
D、面积为16的正方形，其边长为4，是有理数，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了正方形和算术平方根，无理数，有理数等知识点，注意：假如正方形的面积是S，则正方形的边长是，开方开不尽的根式是无理数．
9．下列说法正确的是（ ）
A．2的平方根是
B．（﹣4）2的算术平方根是4
C．近似数35万精确到个位
D．无理数的整数部分是5
【分析】根据平方根的定义，算术平方根的定义，近似数的定义及无理数的估算方法分别计算可判定求解．
【解答】解：A.2的平方根是±，故错误；
B．（﹣4）2的算术平方根是4，故正确；
C．近似数35万精确到万位，故错误；
D．∵4＜＜5，∴无理数的整数部分是4，故错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查平方根，算术平方根，近似数，无理数，掌握相关概念及性质是解题的关键．
10．下列说法中，其中不正确的有（ ）
（1）任何数都有平方根，
（2）一个数的算术平方根一定是正数，
（3）a2的算术平方根是a，
（4）一个数的算术平方根不可能是负数．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【分析】运用算术平方根和平方根的定义判定即可．
【解答】解：（1）因为负数没有平方根，所以原说法不正确；
（2）一个数的算术平方根不一定是正数，0的算术平方根是0，所以原说法不正确；
（3）当a≥0时，a2的算术平方根是a，当a＜0时，a2的算术平方根是﹣a，所以原说法不正确；
（4）一个数的算术平方根不可能是负数．正确．
不正确的有3个，
故选：D．
【点评】本题主要考查了算术平方根和平方根，解题的关键是熟记算术平方根和平方根的定义．
11．下列各数中，无理数有（ ）个．
3.14159，，﹣，，0，，0.2525525552…（相邻两个2之间5的个数逐次加1）．
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：3.14159是有限小数，属于有理数
是分数，属于有理数；
＝7，0，是整数，属于有理数；
无理数有，，0.2525525552…（相邻两个2之间5的个数逐次加1）共3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
12．介于与之间的整数一共有（ ）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
【分析】估算和的大小，进而得出答案．
【解答】解：∵1＜＜2，5＜＜6，
∴介于与之间的整数有2，3，4，5，共有4个，
故选：C．
【点评】本题考查无理数的估算，估计出一个无理数介在哪两个整数之间是解决问题的关键．
13．若|a|＝4，，且a+b＜0，则a﹣b的值是（ ）
A．1，7
B．﹣1，7
C．1，﹣7
D．﹣1，﹣7
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义及二次根式性质化简，确定出a与b的值，即可求出a﹣b的值．
【解答】解：∵|a|＝4，，且a+b＜0，
∴a＝﹣4，b＝﹣3或a＝﹣4，b＝3，
则a﹣b＝﹣1或﹣7．
故选：D．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．下列语句中正确的是（ ）
A．16的算术平方根是±4
B．任何数都有两个平方根
C．∵3的平方是9，∴9的平方根是3
D．﹣1是1的平方根
【分析】A、B、C、D根据算术平方根和平方根的定义分别分析即可判定；
【解答】解：A、16的算术平方根是4，故选项错误；
B、0的平方根是0，只有一个，故选项错误；
C、9的平方根是±3，故选项错误；
D、﹣1是1的平方根，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根和算术平方根概念的运用．如果x2＝a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫a的算术平方根；若a＝0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0；负数没有平方根．
二．填空题（共10小题）
15．若的整数部分为a，小数部分为b，求的值 6 ．
【分析】求出a、b的值，代入计算即可．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
又∵的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝3，b＝﹣3，
∴a2+b﹣＝9+﹣3﹣＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查无理数的估算，表示出的整数部分和小数部分是正确计算的前提．
16．已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，e是的整数部分，f是的小数部分，求代数式﹣+e﹣f＝ 4﹣ ．
【分析】根据互为相反数、互为倒数、无理数的整数部分、小数部分的意义求解即可．
【解答】解：∵实数a、b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c、d互为倒数，
∴cd＝1，
∵3＜＜4，
∴的整数部分为3，e＝3，
∵2＜＜3，
∴的小数部分为﹣2，即f＝﹣2，
∴﹣+e﹣f＝﹣+3﹣（﹣2）＝0﹣1+3﹣+2＝4﹣，
故答案为：4﹣．
【点评】本题考查相反数、倒数、无理数的估算，掌握相反数、倒数的意义，以及无理数的整数部分、小数部分的表示方法是解决问题的关键．
17．已知x为整数，且x＜﹣1＜x+1，则x的值为 3 ．
【分析】根据题意首先求出x的取值范围，再利用估计无理数的方法得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵x＜﹣1＜x+1，
∴﹣2＜x＜﹣1，
∵4＜＜5，
∴3＜﹣1＜4，2＜﹣2＜3，
∴x＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了估计无理数的方法以及解不等式，根据题意得出的取值范围是解题关键．
18．在实数中：①﹣，②﹣3，③，④﹣，⑤0.8080080080…（相邻两个8之间0的个数逐次加1），⑥﹣，无理数是 ①，④，⑤ （只填序号）．
【分析】无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．
【解答】解：在实数中：①﹣，②﹣3，③，④﹣，⑤0.8080080080…（相邻两个8之间0的个数逐次加1），⑥﹣，无理数是①，④，⑤，
故答案为：①，④，⑤．
【点评】本题主要考查了无理数，关键是会判断无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
19．计算﹣12020+﹣|﹣|＝ ﹣5 ．
【分析】直接利用立方根以及算术平方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2﹣2
＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（1）的平方根是 ±2 ；
（2）比较大小：3 ＞ 2．
【分析】（1）首先化简然后再利用平方根的性质可得答案；
（2）利用二次根式的性质进行变形，然后再比较即可．
【解答】解：（1）＝4，4的平方根是±2，
故答案为：±2；
（2）3＝，2＝，
∵18＞12，
∴＞．
∴3＞2，
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，以及平方根，关键是掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
21．比较大小，用“＞”或“＜”或“＝”填空．
＜ ，π ＞ 3.14；
若a＜b＜0，则 ＞ ．
【分析】利用实数比较大小的方法进行比较即可．
【解答】解：﹣＝﹣，﹣＝﹣，
∵﹣＜﹣，
∴﹣＜﹣；
π＞3.14；
∵a＜b＜0，
∴＞，
故答案为：＜；＞；＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小比较，关键是掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
22．的算术平方根是 ．
【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴的算术平方根是：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握相关定义是解题关键．
23．对于任意两个正数a，b，定义一种运算※如下：a※b＝，按照此法则计算3※4＝ ．
【分析】原式利用已知的新定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：3※4＝＝．
故答案为：
【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
24．我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．
（1）＝ 1 ；
（2）若，则x的取值范围是 9≤x＜16 ．
【分析】（1）根据[m]表示不大于m的最大整数即可求解；
（2）根据[m]表示不大于m的最大整数，可得6≤3+＜7，解不等式即可求解．
【解答】解：（1）∵[m]表示不大于m的最大整数，
∴＝1；
（2）∵，
∴6≤3+＜7，
解得9≤x＜16．
故x的取值范围是9≤x＜16．
故答案为：1；9≤x＜16．
【点评】本题结合新定义考查估算无理数的大小的知识，比较新颖，注意仔细地审题理解新定义的含义．
三．解答题（共6小题）
25．a、b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．
（1）a+b ＞ 0，ab ＜ 0；（请用“＜”、“＞”填空）
（2）用“＜”将a、﹣a、b、﹣b连接起来 ﹣b＜a＜﹣a＜b ；
（3）求|a+1|+2|a﹣b|﹣3|2﹣b+a|的值．
【分析】（1）根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置，得出a＜0，b＞0，进而解答即可；
（2）根据a＜0，b＞0，进而解答即可；
（3）根据绝对值、相反数的意义逐项解答即可．
【解答】解：（1）根据有理数a、b在数轴上的对应点的位置可知，a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，
∴a+b＞0，ab＜0；
（2）∵a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，
∴﹣b＜a＜﹣a＜b，
（3）∵a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，
∴a+1＞0，a﹣b＜0，2﹣b+a＜0，
∴|a+1|+2|a﹣b|﹣3|2﹣b+a|＝a+1﹣2a+2b+6﹣3b+3a＝2a﹣b+7；
故答案为：（1）＞；＜；（2）﹣b＜a＜﹣a＜b．
【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解绝对值、相反数的意义是正确解答的关键．
26．已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式（b﹣）a﹣1的平方根．
【分析】估算，确定a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
又∵a是的整数部分，b是的小数部分，
∴a＝3，b＝﹣3，
∴（b﹣）a﹣1＝（﹣3﹣）3﹣1＝（﹣3）2＝9，
∴9的平方根为±＝±3．
故代数式（b﹣）a﹣1的平方根±3．
【点评】本题考查无理数的估算、平方根的意义，确定a、b的值是解决问题的关键．
27．计算（）2+﹣．
【分析】直接利用立方根以及算术平方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝16﹣3﹣5
＝8．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
28．计算：
（1）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷|﹣|；
（2）﹣12020+|﹣3|+﹣；
（3）3×（﹣）+2×（﹣×+）；
（4）|﹣|+|﹣1|﹣|3﹣|．
【分析】（1）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案；
（2）直接利用立方根以及绝对值的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案；
（3）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；
（4）直接利用绝对值的性质化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷|﹣|
＝9﹣×﹣6×
＝9﹣﹣9
＝﹣；
（2）﹣12020+|﹣3|+﹣
＝﹣1+3﹣﹣4
＝﹣2；
（3）3×（﹣）+2×（﹣×+）
＝3﹣3﹣3+3
＝﹣3+3；
（4）|﹣|+|﹣1|﹣|3﹣|
＝﹣+﹣1﹣（3﹣）
＝﹣+﹣1﹣3+
＝2﹣4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
29．若|x+1|+（y﹣5）2＝0，求2y+x的算术平方根．
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，再利用算术平方根的定义得出答案．
【解答】解：∵|x+1|+（y﹣5）2＝0，
∴x+1＝0，y﹣5＝0，
解得：x＝﹣1，y＝5，
∴2y+x＝10﹣1＝9，
故2y+x的算术平方根是3．
【点评】此题主要考查了算术平方根、非负数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
30．计算下列各小题．
（1）﹣9+53﹣32；
（2）（﹣+3）÷；
（3）32×（﹣）3﹣|﹣2|；
（4）﹣22++（﹣1）2013×÷．
【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用乘法分配律计算得出答案；
（3）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案；
（4）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）﹣9+53﹣32
＝44﹣32
＝12；
（2）（﹣+3）÷
＝×6﹣×6+3×6
＝9﹣2+18
＝25；
（3）32×（﹣）3﹣|﹣2|
＝9×（﹣）﹣（2﹣）
＝﹣﹣2+
＝﹣2+；
（4）﹣22++（﹣1）2013×÷
＝﹣4+2﹣1××（﹣）
＝﹣4+2+
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
