第一章有理数期末专项练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．大于﹣2.5，小于3.5的整数共有（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【分析】由题意可知：大于﹣2.5而小于3.5的整数共有﹣2，﹣1，0，1，2，3，共6个．
【解答】解：大于﹣2.5小于3.5的整数共有：
﹣2，﹣1，0，1，2，3；
所以，一共有6个．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，其方法如下：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小．
2．下列各数：﹣8，﹣|﹣5|，﹣（﹣4），﹣（+9），|0|，﹣0.618中，负数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据正、负数的定义对各数进行判断即可得解．
【解答】解：﹣|﹣5|＝﹣5，﹣（﹣4）＝4，﹣（+9）＝﹣9，|0|＝0，
故负数有﹣8，﹣|﹣5|，﹣（+9），﹣0.618共4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正数和负数，涉及相反数、绝对值，熟练掌握有理数的这些相关运算方法是解题的关键．
3．如果一个物体向右移动1m记作移动+1m，那么﹣1m表示（ ）
A．向左移动1m
B．向左移动﹣1m
C．向前移动1m
D．向后移动1m
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“如果一个物体向右移动1m记作移动+1m，那么﹣1m表示向左移动1m．
故选：A．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
4．下列说法中正确的个数有（ ）
①﹣4.2是负分数；②3.7不是整数；③非负有理数不包括零；④正有理数、负有理数统称为有理数；⑤0是最小的有理数
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】结合有理数的分类分析即可．
【解答】解：①﹣4.2是负分数是正确的；
②3.7不是整数是正确的；
③非负有理数包括零，原来的说法错误；
④正有理数、0、负有理数统称为有理数，原来的说法错误；
⑤没有最小的有理数，原来的说法错误．
故说法中正确的个数有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数，涉及的知识点：非负有理数包括正有理数和0；整数包括正整数、负整数和0；没有最小的有理数．此题是基础知识题，需要熟练掌握．
5．某工厂加工一种精密零件，图纸上对其直径的要求标注为“40±0.05mm”，则下列零件不合格的是（ ）
A．40mm
B．39.95mm
C．40.15mm
D．40.02mm
【分析】根据正负数的意义，求得合格零件的直径的范围，再进一步分析．
【解答】解：|±0.05|＝0.05，
A、|40﹣40|＝0＜0.05，所以该零件合格，故本选项不合题意；
B、|39.95﹣40|＝0.05，所以该零件合格，故本选项不合题意；
C、|40.15﹣40|＝0.15＞0.05，所以该零件不合格，故本选项符合题意；
D、|40.02﹣40|＝0.02＜0.05，所以该零件合格，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了正、负数在实际生活中的意义，±0.05mm表示和标准相比，超过或不足0.05mm．
6．表示x、y两数的点在数轴上的位置如图所示，则|1﹣x|+|x﹣y|等于（ ）
A．y﹣1
B．2x﹣y﹣1
C．1+y﹣2x
D．1﹣y﹣2x
【分析】利用数轴确定x＜0，y＞0，进而可得x﹣y＜0，1﹣x＞0，再利用绝对值的性质进行计算即可．
【解答】解：由数轴可得：x＜0，y＞0，
∴x﹣y＜0，1﹣x＞0，
则|1﹣x|+|x﹣y|＝1﹣x+（﹣x+y）＝1﹣x﹣x+y＝1﹣2x+y，
故选：C．
【点评】此题主要考查了数轴，以及绝对值的性质，关键是掌握正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．
7．数轴上A、B、C三点表示的数分别是a、b、c，若|a﹣c|﹣|a﹣b|＝|c﹣b|．则下列选项中，表示A、B、C三点在数轴上的位置关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由A、B、C在数轴上的位置判断出a、b、c的大小关系，根据绝对值性质去绝对值符号，判断左右两边是否相等即可．
【解答】解：A、当a＜c＜b时，|a﹣c|﹣|a﹣b|＝c﹣a﹣（b﹣a）＝c﹣a﹣b+a＝c﹣b，不此选项不合题意；
B、当c＜b＜a时，|a﹣c|﹣|a﹣b|＝a﹣c﹣（a﹣b）＝a﹣c﹣a+b＝b﹣c＝|c﹣b|，此选项符合题意；
C、当b＜a＜c时，|a﹣c|﹣|a﹣b|＝c﹣a﹣（a﹣b）＝c﹣a﹣a+b＝b+c﹣2a，不此选项不合题意；
D、当b＜＜c＜a时，|a﹣c|﹣|a﹣b|＝a﹣c﹣（a﹣b）＝a﹣c﹣c+b＝a+b﹣2c，不此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查绝对值性质：正数绝对值等于本身，0的绝对值是0，负数绝对值等于其相反数．
8．如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示连续的五个整数a，b，c，d，e，且a+e＝0，则下列说法：
①点C表示的数字是0；②b+d＝0；③e＝﹣2；④a+b+c+d+e＝0．
正确的有（ ）
A．①②③④
B．①③
C．①②③
D．①②④
【分析】由a，b，c，d，e表示连续的五个整数，且a+e＝0，由他们在数轴上的位置可知，a＝﹣2，b＝﹣1，c＝0，d＝1，e＝2，然后进行判断即可．
【解答】解：∵a，b，c，d，e表示连续的五个整数，且a+e＝0，
∴a＝﹣2，b＝﹣1，c＝0，d＝1，e＝2，
于是①②④正确，而③不正确，
故选：D．
【点评】考查数轴表示数的意义，理解相反数、绝对值的意义和性质，是正确解答的前提．
9．有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②b＜b2＜；③|a|＜1﹣bc；④|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝a．其中正确的结论有（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】根据数轴上各数的位置得出a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，依此即可得出结论．
【解答】解：由数轴上a、b、c的位置关系可知：
①a＜0＜b＜c，
∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，
∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0，故①正确；
②∵0＜b＜1，
∴b2＜b，b＜，
∴b2＜b＜，故②错误；
③∵|a|＞1，1﹣bc＜1，
∴|a|＞1﹣bc；故③错误；
④∵a＜b，c＞a，c＞b，a＜0，
∴a﹣b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝b﹣a﹣（c﹣a）+（c﹣b）﹣（﹣a）＝b﹣a﹣c+a+c﹣b+a＝a．故④正确．
故正确的结论有①④，一共2个．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴、绝对值和有理数的大小比较；弄清数轴上各数的大小是解决问题的关键．
10．若|a|＝a，则a一定是（ ）
A．0
B．正数或0
C．负数或0
D．正数
【分析】由绝对值的意义知，a的绝对值是非负数，所以a≥0，则可得出结果．
【解答】解：∵a的绝对值是非负数，|a|＝a，
∴a是正数或0，
故选：B．
【点评】此题考查了绝对值的意义，绝对值为非负数，比较简单．
11．有10袋小麦称后记录如图所示（单位：kg），如果每袋小麦以90kg为标准，10袋小麦总计是超过（记作正数）或不足（记作负数）多少千克，其中正确答案是（ ）
A．5.3kg
B．5.4kg
C．﹣5.3
kg
D．﹣5.4
kg
【分析】计算各袋超过或不足的千克数，得到这10袋小麦总计超过或不足多少千克数．
【解答】解：91，91，91.5，89，91.2，91.3，88.7，88.8，91.8，91.1重新记录如下：
1、1、1.5、﹣1、1.2、1.3、﹣1.3、﹣1.2、1.8、1.1，
1+1+1.5﹣1+1.2+1.3﹣1.3﹣1.2+1.8+1.1＝5.4（千克），
即10袋小麦总计是超过5.4千克，
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确超出部分为正数，不足部分为负数．
12．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，满足|a|＜|b|＜|c|，则下列各式：①﹣b＞﹣a＞﹣c；②﹣＝0；③|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝﹣2b：④|b+c|＝|c|﹣|b|正确的个数有（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】根据数a、b、c在数轴上的位置和绝对值的意义，进行逐一计算即可判断．
【解答】解：∵|a|＜|b|＜|c|，
∴①﹣b＞﹣a＞﹣c，故①正确；
②﹣＝﹣＝﹣1﹣1＝﹣2，故②错误；
③|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝a﹣b﹣c﹣b+c﹣a＝﹣2b，故③正确：
④|b+c|＝b+c，|c|﹣|b|＝c+b，故④正确．
所以正确的个数有①③④，共3个．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴、绝对值，解决本题的关键是掌握数轴和绝对值．
13．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图，且|c|＞|a|＞|b|，则|a+b|﹣2|c﹣b|+|a+c|＝（ ）
A．c﹣b
B．0
C．3b﹣3c
D．2a+3b﹣c
【分析】由有理数a，b，c在数轴上的位置及|c|＞|a|＞|b|可得：c＜b＜0＜﹣b＜a＜﹣c，再按照绝对值的化简法则和有理数的加减运算法则计算即可．
【解答】解：由有理数a，b，c在数轴上的位置及|c|＞|a|＞|b|可得：
c＜b＜0＜﹣b＜a＜﹣c，
∴|a+b|﹣2|c﹣b|+|a+c|
＝a+b﹣2（b﹣c）﹣a﹣c
＝b﹣2b+2c﹣c
＝c﹣b．
故选：A．
【点评】本题考查了借助数轴进行的绝对值化简及有理数的加减运算，数形结合并熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14．已知a是一个正整数，记G（x）＝a﹣x+|x﹣a|．若G（1）+G（2）+G（3）+…+G（2019）+G（2020）＝90，则a的值为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
【分析】根据绝对值的意义，当x≥a时，|x﹣a|＝x﹣a，则G（x）＝0；当x＜a时，|x﹣a|＝﹣x+a，则G（x）＝a﹣x﹣x+a＝2a﹣2x，设第n个数时，即x＝n，G（x）开始为0，即x＝a＝n，所以G（1）+G（2）+G（3）+G（4）+…+G（2020）＝2n﹣2+2n﹣4+2n﹣6+…+2n﹣2n+0+0+…+0＝n2﹣n，然后解方程n2﹣n＝90即可．
【解答】解：当x≥a时，则|x﹣a|＝x﹣a，
∴G（x）＝a﹣x+x﹣a＝0；
当x＜a时，则|x﹣a|＝﹣（x﹣a）＝﹣x+a，
∴G（x）＝a﹣x﹣x+a＝2a﹣2x，
∵G（1）+G（2）+G（3）+G（4）+…+G（2020）＝90，
∴设第n个数时，即x＝n，G（x）开始为0，即x＝a＝n，
∴G（n）＝2n﹣2n＝0，
∴G（1）+G（2）+G（3）+G（4）+…+G（2020）
＝2n﹣2+2n﹣4+2n﹣6+…+2n﹣2n+0+0+…+0
＝2n×n﹣2（1+2+3+…+n）
＝2n2﹣2×
＝n2﹣n，
即n2﹣n＝90，解得n1＝10，n2＝﹣9（舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值：当a＞0，|a|＝a；当a＝0，|a|＝0；当a＜0，|a|＝﹣a．也考查了数字变化规律型问题的解决方法．
15．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（ ）
A．﹣7
B．﹣1
C．5
D．11
【分析】先确定第1次操作，a1＝|23+4|﹣10＝17；第2次操作，a2＝|17+4|﹣10＝11；第3次操作，a3＝|11+4|﹣10＝5；第4次操作，a4＝|5+4|﹣10＝﹣1；第5次操作，a5＝|﹣1+4|﹣10＝﹣7；第6次操作，a6＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7；…，后面的计算结果没有变化，据此解答即可．
【解答】解：第1次操作，a1＝|23+4|﹣10＝17；
第2次操作，a2＝|17+4|﹣10＝11；
第3次操作，a3＝|11+4|﹣10＝5；
第4次操作，a4＝|5+4|﹣10＝﹣1；
第5次操作，a5＝|﹣1+4|﹣10＝﹣7；
第6次操作，a6＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7；
第7次操作，a7＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7；
…
第2020次操作，a2020＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值和探索规律．解题的关键是先计算，再观察结果是按照什么规律变化的．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
16．数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A、B，C，D分别表示整数a，b，c，d，且a+b+c+d＝6，则点D表示的数为（ ）
A．﹣2
B．0
C．3
D．5
【分析】设出其中的一个数，根据各个数在数轴的位置，表示出其它的数，列方程求解即可．
【解答】解：设点D表示的数为x，则点C表示的数为x﹣3，点B表示的数为x﹣4，点A表示的数为x﹣7，
由题意得，x+（x﹣3）+（x﹣4）+（x﹣7）＝6，
解得，x＝5，
故选：D．
【点评】考查数轴表示数的意义，根据点在数轴上的位置得出所表示的数是正确解答的关键．
17．下列说法：
①﹣a＜0；②|﹣a|＝|a|；③相反数大于它本身的数一定是负数；④绝对值等于它本身的数一定是正数．
其中正确的序号为（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④
【分析】根据正负数、绝对值、相反数的意义，这个进行判断即可得出答案．
【解答】解：当a为负数时，﹣a＞0，因此①不正确；
无论a为何值，|﹣a|＝|a|，因此②正确；
只有负数的相反数大于它本身，因此③正确；
因为|0|＝0，0不是正数，也不是负数，因此④不正确；
故选：B．
【点评】考查正负数、绝对值、相反数的意义，掌握这些概念的意义是正确判断的前提．
18．如图，数轴上A、B两点分别表示有理数a、b，给出下列结论：
①|a﹣b|﹣|a+b|＝﹣2b
②＞0
③＜0
④+＝0
⑤＜＜0．
其中正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据数轴可知b＜﹣1＜0＜a＜1，|b|＞|a|，从而可以判断题目中的结论哪些是正确的，哪些是错误的，从而解答本题．
【解答】解：∵由数轴可知，b＜﹣1＜0＜a＜1，|b|＞|a|，
∴ab＜0，a﹣b＞0，a+b＜0，
∴|a﹣b|﹣|a+b|＝a﹣b﹣（﹣a﹣b）＝2a，
故①错误；
令a＝，b＝﹣，则＝2﹣＞0，﹣＝2+＞0，＝1﹣1＝0，＝4＞0，＞0，
故③⑤错误，②④正确．
故选：B．
【点评】本题考查数轴，解题的关键是利用特殊值法根据数轴可以明确a、b的符号和与原点的距离．
19．数轴上：原点左边有一点M，点M对应着数m，有如下说法：
①﹣m表示的数一定是正数：
②若|m|＝8，则m＝﹣8；
③在﹣m，，m2，m3中，最大的数是m2或﹣m；
④式子|m+|的最小值为2．
其中正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据点M在数轴上的位置，判断﹣m，，m2，m3的符号，求出当|m|＝8时m的值，从而对各个选项进行判断，得出答案即可．
【解答】解：数轴上点M对应着数m，在原点左边，因此m＜0，
∴﹣m＞0，即﹣m是正数，因此①正确；
若|m|＝8，则m＝±8；又m＜0，因此m＝﹣8，故②正确；
∵m＜0，
∵﹣m＞0，＜0，m2＞0，m3＜0，
当﹣1＜m＜0时，﹣m＞m2，当m≤﹣1时，﹣m≤m2，因此③正确；
∵|m+|≥2，即|m+|≥2，
∴|m+|的最小值为2，因此④正确；
故选：D．
【点评】考查数轴表示数的意义，相反数、不等式的意义，理解点M对应着数m的取值，得出相应代数式的符号或值是解决问题的前提．
20．已知三个数a+b+c＝0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据a+b+c＝0可判断三个数中一定有一个正数和一个负数，讨论：若第三个数为负数，根据绝对值的意义得到两负数表示的点到原点的距离等于正数到原点的距离；若第三个数为正数，则两正数表示的点到原点的距离等于负数到原点的距离，然后利用此特征对各选项进行判断．
【解答】解：已知a+b+c＝0，
A．由数轴可知，a＞0＞b＞c，当|a|＝|b|+|c|时，满足条件．
B．由数轴可知，a＞b＞0＞c，当|c|＝|a|+|b|时，满足条件．
C．由数轴可知，a＞c＞0＞b，当|b|＝|a|+|c|时，满足条件．
D．由数轴可知，a＞0＞b＞c，且|a|＜|b|+|c|时，所以不可能满足条件．
故选：D．
【点评】考查了数轴．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
二．填空题（共10小题）
21．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数．如果向北走5步记作﹣5步，那么+7步表示 向南走7步 ．
【分析】根据正负数表示相反的意义可得答案．
【解答】解：如果向北走5步记作﹣5步，那么+7步表示向南走7步，
故答案为：向南走7步．
【点评】此题主要考查了正负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
22．数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则平移后点B表示的数是 4或﹣10 ．
【分析】数轴上点的平移：向左平移，表示的数减少，向右平移，表示的数增大，平移距离等于增加或减少的数，向右平移7个单位，即增加7，向左平移就减少7
【解答】如果向右平移：﹣3+7＝4
如果向左平移：﹣3﹣7＝﹣10
故填4或﹣10
【点评】考查数轴上的点平移法则，理解左减右增是关键
23．若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则化简：|a+c|+|a﹣b|﹣|c|＝ ﹣b ．
【分析】根据数轴先判断a+c、a﹣b、b+c、c与0的大小关系，然后即可进行化简．
【解答】解：由图可知：a+c＜0，a﹣b＞0，b＜0，
∴|a+c|+|a﹣b|﹣|c|
＝﹣a﹣c+a﹣b﹣（﹣c）
＝﹣a﹣c+a﹣b+c
＝﹣b．
故答案为：﹣b．
【点评】本题考查数轴，涉及绝对值的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．已知a、b两数在数轴上的位置如图所示，则|a+b|﹣|b+1|+|a﹣2|化简的结果是 2b+3 ．
【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值符号里代数式的值的符号，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据数轴得：﹣2＜b＜﹣1＜0＜1＜a＜2，且|b|＜a，
∴a+b＞0，b+1＜0，a﹣2＜0，
则原式＝a+b﹣（﹣b﹣1）+2﹣a＝a+b+b+1+2﹣a＝2b+3．
故答案为：2b+3．
【点评】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的1个单位长度为2cm），若刻度尺上1cm和3cm分别对应数轴上的1和0，则刻度尺上4.2cm对应数轴上的数为 ﹣0.6 ．
【分析】根据数轴上点的表示方法，直接判断即可．
【解答】解：刻度尺上1cm和3cm分别对应数轴上的1和0，
（3﹣1）÷（1﹣0）＝2，
则刻度尺上4.2cm对应数轴上的数为0﹣（4.2﹣3）÷2＝﹣0.6．
故答案为：﹣0.6．
【点评】本题主要考查数轴，解决此题的关键是掌握数轴上点的表示方法是关键．
26．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有 9 个．
【分析】根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可．
【解答】解：根据数轴的特点，﹣6.2到﹣1之间的整数有﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2共5个，
0到4.3之间的整数有1、2、3、4共4个，
所以被墨迹盖住的整数有5+4＝9个．
故答案为：9．
【点评】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．
27．如图，数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且3a+2b＝|b﹣a|，则8﹣2a﹣3b＝ 8 ．
【分析】根据题目所给图形可知，点b在原点的左侧，所以b＜0，点a在原点的右侧，所以a＞0，所以b﹣a＜0，根据绝对值的意义|b﹣a|＝﹣（b﹣a），可得3a+2b＝﹣（b﹣a），化简可得2a+3b＝0，代入8﹣2a﹣3b即可得出答案．
【解答】解：由图可知，b＜0＜a，
所以b﹣a＜0，|b﹣a|＝﹣（b﹣a），
因为3a+2b＝|b﹣a|，
所以3a+2b＝﹣（b﹣a），
即2a+3b＝0，
所以8﹣2a﹣3b＝8﹣（2a+3b）＝8﹣0＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了数轴上的点及它的意义及绝对值，合理应运概念进行计算是解决本题的关键．
28．A、B、C、D、E是数轴上的五个点，点A、B、C所表示的数分别为﹣、2、，将数轴沿着点D折叠后，点A与点E重合，此时点C到点E和点B的距离相等，那么点D所表示的数是 ．
【分析】设出点D所表示的数，表示出AD，进而表示点E所表示的数，根据折叠后点C到点E和点B的距离相等，列方程求出答案．
【解答】解：设点D所表示的数为x，则AD＝x+，
折叠后点A与点E重合，则AD＝DE，此时点E所表示的数为2x+，
由折叠后点C到点E和点B的距离相等得，
①当点E在点C的右侧时，即CB＝CE，
﹣2＝2x+﹣，
解得，x＝，
②当点E在点C的左侧时，∵CB＝CE，即点E与点B重合，不合题意，
所以点D所表示的数为，
故答案为．
【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的前提．
29．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|＝ 2b+2c﹣2a ．
【分析】去绝对值符号的关键是判断绝对值符号里面的数的符号，根据题意确定了符号，容易去绝对值符号．
【解答】解：根据图形，a﹣b＜0，b+c＞0，c﹣a＞0，所以|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|＝b﹣a+b+c+c﹣a＝2b+2c﹣2a．
故答案是：2b+2c﹣2a．
【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
30．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是 1 ．
【分析】此题要分三种情况进行讨论：①当x，y中有二正；②当x，y中有一负一正；③当x，y中有二负；分别进行计算．
【解答】解：①当x，y中有二正，
＝1+1﹣1＝1；
②当x，y中有一负一正，
＝1﹣1+1＝1；
③当x，y中有二负，
＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
故代数式的最大值是1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了绝对值，以及有理数的除法，关键是要分清分几种情况，然后分别进行讨论计算．
三．解答题（共8小题）
31．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里：
﹣，12，﹣（﹣96），﹣|﹣3|，﹣4.5，0，|﹣2.5|，．
（1）正有理数集合{ 12，﹣（﹣96），|﹣2.5|， …}；
（2）非负整数集合{ 12，﹣（﹣96），0 …}；
（3）负分数集合{ ﹣，﹣4.5 …}．
【分析】正有理数包括正分数和正整数；非负整数包括0和正整数；负分数是小于0的分数，据此解答即可．
【解答】解：﹣（﹣96）＝96，﹣|﹣3|＝﹣3，|﹣2.5|＝2.5，
（1）正有理数集合{12，﹣（﹣96），|﹣2.5|，…}；
（2）非负整数集合{12，﹣（﹣96），0，|﹣2.5|…}；
（3）负分数集合{…}．
故答案为：12，﹣（﹣96），|﹣2.5|，；
12，﹣（﹣96），0；
﹣，﹣4.5．
【点评】本题考查有理数、绝对值，解答本题的关键是明确有理数的定义、会区分一个数属于哪一个集合．
32．某公司去年盈亏记录如下（记盈利额为正数）：
1～3月平均每月﹣1.5万元，4～6月平均每月+2万元，7～10月平均每月+1.7万元，11～12月平均每月﹣2.3万元．
（1）请通过计算说明这个公司去年是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少万元？
（2）去年上半年平均每月盈利多？还是下半年平均每月盈利多？多多少万元？
【分析】（1）规定亏损的为负数，盈利的为正数，列式计算即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）﹣1.5×3+2×3+1.7×4﹣2.3×2
＝﹣4.5+6+6.8﹣4.6
＝﹣9.1+12.8
＝3.7（万元）．
答：这个公司去年盈利3.7万元；
（2）去年上半年平均每月盈利为：（﹣1.5×3+2×3）÷6＝0.25（万元），
下半年平均每月盈利为：（1.7×4﹣2.3×2）÷6＝（万元），
（万元），
答：下半年平均每月盈利较多，多万元．
【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的意义，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
33．梦泽玩具厂本周计划生产某种型号的玩具1400件，平均每天生产200件，但由于工人轮休，每天上班人数不一定相等，实际每天生产量与计划量相比情况如表（超产记为正，减产记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+5
﹣2
﹣4
+13
+16
﹣9
﹣10
（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产玩具多少件？
（2）本周生产了多少件玩具？
（3）该厂实行每周计件工资制，每生产一件玩具可得20元，若超额完成任务，则超出部分每件另加30元，少生产一件扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
【分析】（1）用最多的星期五的量减去最少的星期日的量，根据有理数的减法运算计算即可；
（2）先把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；
（3）根据规定列出算式，然后根据有理数的混合运算方法进行计算即可求解．
【解答】解：（1）16﹣（﹣10）＝16+10＝26（件）
答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产玩具26件；
（2）+5+（﹣2）+（﹣4）+（+13）+（+16）+（﹣9）+（﹣10）＝9（件），
9+1400＝1409（件），
答：本周生产了1409件玩具；
（3）1409×20+9×30＝28450（元），
答：该厂工人这一周的工资总额是28450元．
【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．
34．如图，数轴上，点A、B分别表示数a+b、a﹣b．
（1）求A、B两点间的距离；
（2）直接写出数a、b的符号；
（3）判断|a|、|b|的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）用大数减去小数即可；
（2）根据（1）的结论可得b＜0，再根据a+b＜0＜a﹣b且|a+b|＜|a﹣b|可得a＞0；
（3）根据a+b＜0判断即可．
【解答】解：（1）A、B两点间的距离为：（a﹣b）﹣（a+b）＝a﹣b﹣a﹣b＝﹣2b；
（2）由（1）可知﹣2b＞0，
∴b＜0，
又∵a+b＜0＜a﹣b且|a+b|＜|a﹣b|，
∴a＞0；
（3）∵a＞0，b＜0，a+b＜0，
∴|a|＜|b|．
【点评】本题主要考查绝对值的性质：正数的绝对值等于本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于其相反数．
35．出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“+”，向西记作“﹣”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）
﹣2，+10，+1，﹣3，+2，﹣12，请回答：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？
（2）若小王的出租车每千米需油费0.4元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？
（3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？
【分析】（1）求出这些有理数的和即可判断．
（2）求出这些有理数的绝对值的和，乘以0.4，可得结论．
（3）根据收费标准，一一计算即可．
【解答】解：（1）﹣2+10+1﹣3+2﹣12＝﹣4（千米）．
所以小王在下午出车的出发地的正西方向，距下午出车的出发地4千米．
（2）（2+10+1+3+2+12）×0.4＝12（元），
答：小王这天下午共需要12元油费．
（3）10×4+10+2（10﹣3）+10+2（12﹣3）＝92（元）．
所以小王这天下午收到乘客所给车费共92元．
【点评】本题考查有理数的混合运算，正数与负数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
36．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4，表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：
若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（请依据此情境解决下列问题）
①则数轴上数4表示的点与数 ﹣6 表示的点重合．
②若点A到原点的距离是6个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B点表示的数是 4或﹣8 ．
③若数轴上M，N两点之间的距离为2020，并且M，N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是 1009 ，则N点表示的数是 ﹣1011 ．
【分析】①数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，4﹣（﹣1）＝5，而﹣1﹣5＝﹣6，可得数轴上数4表示的点与数﹣6表示的点重合；
②点A到原点的距离是6个单位长度，则点A表示的数为6或﹣6，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数是5或7；
③依据M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数是1007，N点表示的数是﹣1013．
【解答】解：①∵数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点关于点﹣1对称，
4﹣（﹣1）＝5，而﹣1﹣5＝﹣6，
∴数轴上数4表示的点与数﹣6表示的点重合；
故答案为：﹣6；
②点A到原点的距离是6个单位长度，则点A表示的数为6或﹣6，
∵A、B两点经折叠后重合，
∴当点A表示﹣6时，﹣1﹣（﹣6）＝5，﹣1+5＝4，
当点A表示6时，6﹣（﹣1）＝7，﹣1﹣7＝﹣8，
∴B点表示的数是4或﹣8；
故答案为：4或﹣8；
③M、N两点之间的距离为2020，并且M、N两点经折叠后重合，
∴﹣1+×2020＝1009，﹣1﹣×2020＝﹣1011，
又∵M点表示的数比N点表示的数大，
∴M点表示的数是1009，N点表示的数是﹣1011，
故答案为：1009，﹣1011．
【点评】本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键．
37．已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，2，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝ ﹣0.5 ；
（2）当x＝ 2.5或﹣3.5 时，点P到点A、点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是 ﹣3≤x≤2 ；
（4）若点P到点A，点B，点O的距离之和最小，则此距离之和最小为 5 ．
【分析】（1）点P到点A，点B的距离相等，即点P是AB的中点，根据中点求法可得答案；
（2）可列方程求解，也可分两种情况进行解答，即点P在点A的左侧，点P在点B的右侧；
（3）点P到点A，点B的距离之和最小，也就是点P在点A与点B之间即可，可得出x的取值范围；
（4）点P在点O时，点P到点A，点B，点O的距离之和最小，此时最小距离为AB的长．
【解答】解：（1）x＝＝﹣0.5，
故答案为：﹣0.5；
（2）由题意得，
|x+3|+|x﹣2|＝6，
解得，x＝2.5或x＝﹣3.5；
故答案为：x＝2.5或x＝﹣3.5；
（3）∵点P到点A，点B的距离之和最小，
∴点P在点A与点B之间，
因此﹣3≤x≤2，
故答案为：﹣3≤x≤2；
（4）∵点P到点A，点B，点O的距离之和最小，
∴点P在点O时，点P到点A，点B，点O的距离之和最小，
此时，这个最小距离为AB的长，即为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解绝对值和两点之间距离的计算方法是正确解答的前提．
38．已知某粮库已存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
进、出记录
+35
﹣20
﹣30
+25
﹣24
+50
﹣26
（1）通过计算，说明本周内哪天粮库剩余的粮食最多？
（2）若运进的粮食为购进的，购买价格为每吨2000元，运出的粮食为卖出的，卖出的价格为每吨2300元，则这一周的利润为多少？
（3）若每周平均进出的粮食大致相同，则再过几周粮库存的粮食可达到200吨？
【分析】（1）理解“+”表示进库“﹣”表示出库，求出每天的情况即可求解，
（2）这一周的利润＝卖出的钱数﹣购买的钱数，依此列式计算即可求解；
（3）（200﹣一周前存有粮食吨数）÷每周平均进出的粮食数量﹣1，列式计算即可求解．
【解答】解：（1）星期一100+35＝135吨；
星期二135﹣20＝115吨；
星期三115﹣30＝85吨；
星期四85+25＝110吨；
星期五110﹣24＝86吨；
星期六86+50＝136吨；
星期日136﹣26＝110吨．
故星期六最多，是136吨；
（2）2300×（20+30+24+26）﹣2000×（35+25+50）
＝2300×100﹣2000×110
＝230000﹣220000
＝10000元；
（3）（200﹣100）÷（35+25+50﹣20﹣30﹣24﹣26）﹣1
＝100÷10﹣1
＝10﹣1
＝9周．
故再过9周粮库存粮食达到200吨．
【点评】此题主要考查了正数和负数的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确正数和负数的定义．第一章有理数期末专项练习
一．选择题（共20小题）
1．大于﹣2.5，小于3.5的整数共有（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
2．下列各数：﹣8，﹣|﹣5|，﹣（﹣4），﹣（+9），|0|，﹣0.618中，负数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．如果一个物体向右移动1m记作移动+1m，那么﹣1m表示（ ）
A．向左移动1m
B．向左移动﹣1m
C．向前移动1m
D．向后移动1m
4．下列说法中正确的个数有（ ）
①﹣4.2是负分数；②3.7不是整数；③非负有理数不包括零；④正有理数、负有理数统称为有理数；⑤0是最小的有理数
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．某工厂加工一种精密零件，图纸上对其直径的要求标注为“40±0.05mm”，则下列零件不合格的是（ ）
A．40mm
B．39.95mm
C．40.15mm
D．40.02mm
6．表示x、y两数的点在数轴上的位置如图所示，则|1﹣x|+|x﹣y|等于（ ）
A．y﹣1
B．2x﹣y﹣1
C．1+y﹣2x
D．1﹣y﹣2x
7．数轴上A、B、C三点表示的数分别是a、b、c，若|a﹣c|﹣|a﹣b|＝|c﹣b|．则下列选项中，表示A、B、C三点在数轴上的位置关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示连续的五个整数a，b，c，d，e，且a+e＝0，则下列说法：
①点C表示的数字是0；②b+d＝0；③e＝﹣2；④a+b+c+d+e＝0．
正确的有（ ）
A．①②③④
B．①③
C．①②③
D．①②④
9．有理数a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①（a+b）（b+c）（c+a）＞0；②b＜b2＜；③|a|＜1﹣bc；④|a﹣b|﹣|c﹣a|+|b﹣c|﹣|a|＝a．其中正确的结论有（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
10．若|a|＝a，则a一定是（ ）
A．0
B．正数或0
C．负数或0
D．正数
11．有10袋小麦称后记录如图所示（单位：kg），如果每袋小麦以90kg为标准，10袋小麦总计是超过（记作正数）或不足（记作负数）多少千克，其中正确答案是（ ）
A．5.3kg
B．5.4kg
C．﹣5.3
kg
D．﹣5.4
kg
12．已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，满足|a|＜|b|＜|c|，则下列各式：①﹣b＞﹣a＞﹣c；②﹣＝0；③|a﹣b|﹣|c+b|+|a﹣c|＝﹣2b：④|b+c|＝|c|﹣|b|正确的个数有（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
13．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图，且|c|＞|a|＞|b|，则|a+b|﹣2|c﹣b|+|a+c|＝（ ）
A．c﹣b
B．0
C．3b﹣3c
D．2a+3b﹣c
14．已知a是一个正整数，记G（x）＝a﹣x+|x﹣a|．若G（1）+G（2）+G（3）+…+G（2019）+G（2020）＝90，则a的值为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
15．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（ ）
A．﹣7
B．﹣1
C．5
D．11
16．数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A、B，C，D分别表示整数a，b，c，d，且a+b+c+d＝6，则点D表示的数为（ ）
A．﹣2
B．0
C．3
D．5
17．下列说法：
①﹣a＜0；②|﹣a|＝|a|；③相反数大于它本身的数一定是负数；④绝对值等于它本身的数一定是正数．
其中正确的序号为（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．③④
18．如图，数轴上A、B两点分别表示有理数a、b，给出下列结论：
①|a﹣b|﹣|a+b|＝﹣2b
②＞0
③＜0
④+＝0
⑤＜＜0．
其中正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
19．数轴上：原点左边有一点M，点M对应着数m，有如下说法：
①﹣m表示的数一定是正数：
②若|m|＝8，则m＝﹣8；
③在﹣m，，m2，m3中，最大的数是m2或﹣m；
④式子|m+|的最小值为2．
其中正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
20．已知三个数a+b+c＝0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共10小题）
21．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数．如果向北走5步记作﹣5步，那么+7步表示
．
22．数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则平移后点B表示的数是
．
23．若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则化简：|a+c|+|a﹣b|﹣|c|＝
．
24．已知a、b两数在数轴上的位置如图所示，则|a+b|﹣|b+1|+|a﹣2|化简的结果是
．
25．如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的1个单位长度为2cm），若刻度尺上1cm和3cm分别对应数轴上的1和0，则刻度尺上4.2cm对应数轴上的数为
．
26．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有
个．
27．如图，数轴上两点A、B对应的数分别为a、b，且3a+2b＝|b﹣a|，则8﹣2a﹣3b＝
．
28．A、B、C、D、E是数轴上的五个点，点A、B、C所表示的数分别为﹣、2、，将数轴沿着点D折叠后，点A与点E重合，此时点C到点E和点B的距离相等，那么点D所表示的数是
．
29．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|＝
．
30．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是
．
三．解答题（共8小题）
31．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里：
﹣，12，﹣（﹣96），﹣|﹣3|，﹣4.5，0，|﹣2.5|，．
（1）正有理数集合{
…}；
（2）非负整数集合{
…}；
（3）负分数集合{
…}．
32．某公司去年盈亏记录如下（记盈利额为正数）：
1～3月平均每月﹣1.5万元，4～6月平均每月+2万元，7～10月平均每月+1.7万元，11～12月平均每月﹣2.3万元．
（1）请通过计算说明这个公司去年是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少万元？
（2）去年上半年平均每月盈利多？还是下半年平均每月盈利多？多多少万元？
33．梦泽玩具厂本周计划生产某种型号的玩具1400件，平均每天生产200件，但由于工人轮休，每天上班人数不一定相等，实际每天生产量与计划量相比情况如表（超产记为正，减产记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+5
﹣2
﹣4
+13
+16
﹣9
﹣10
（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产玩具多少件？
（2）本周生产了多少件玩具？
（3）该厂实行每周计件工资制，每生产一件玩具可得20元，若超额完成任务，则超出部分每件另加30元，少生产一件扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
34．如图，数轴上，点A、B分别表示数a+b、a﹣b．
（1）求A、B两点间的距离；
（2）直接写出数a、b的符号；
（3）判断|a|、|b|的大小关系，并说明理由．
35．出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“+”，向西记作“﹣”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）
﹣2，+10，+1，﹣3，+2，﹣12，请回答：
（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在出发地的什么方向？距出发地多远？
（2）若小王的出租车每千米需油费0.4元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？
（3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？
36．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数﹣2表示的点重合，则数轴上数﹣4，表示的点与数4表示的点重合，根据你对例题的理解，解答下列问题：
若数轴上数﹣3表示的点与数1表示的点重合．（请依据此情境解决下列问题）
①则数轴上数4表示的点与数
表示的点重合．
②若点A到原点的距离是6个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B点表示的数是
．
③若数轴上M，N两点之间的距离为2020，并且M，N两点经折叠后重合，如果M点表示的数比N点表示的数大，则M点表示的数是
，则N点表示的数是
．
37．已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，2，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x．
（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x＝
；
（2）当x＝
时，点P到点A、点B的距离之和是6；
（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是
；
（4）若点P到点A，点B，点O的距离之和最小，则此距离之和最小为
．
38．已知某粮库已存有粮食100吨，本周内粮库进出粮食的记录如下（运进为正）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
进、出记录
+35
﹣20
﹣30
+25
﹣24
+50
﹣26
（1）通过计算，说明本周内哪天粮库剩余的粮食最多？
（2）若运进的粮食为购进的，购买价格为每吨2000元，运出的粮食为卖出的，卖出的价格为每吨2300元，则这一周的利润为多少？
（3）若每周平均进出的粮食大致相同，则再过几周粮库存的粮食可达到200吨？
