浙教版 九年级数学上学期 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理 同步练习（Word版 含解析）

3.3
垂径定理
一．选择题
1．如图，⊙O的弦AB⊥OC，且OD＝2DC，AB＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．9
2．抛一个铁球，在泥地上砸了一个直径8cm，深2cm的坑，这个铁球的直径是（　　）
A．12cm
B．10cm
C．8cm
D．6cm
3．圆O的半径为6cm，P是圆O内一点，OP＝2cm，那么过点P的最短弦的长等于（　　）
A．cm
B．8
C．6cm
D．12cm
4．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为（　　）
A．2
B．
C．4
D．
5．如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（　　）
A．AD＝2OB
B．CE＝EO
C．∠OCE＝40°
D．∠BOC＝2∠BAD
7．半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．下列判断中正确的是（　　）
A．平分弦的直线垂直于弦
B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
二．填空题
9．如图，有一座石拱桥，上部拱顶部分是圆弧形，跨度BC＝10m，拱高为（10﹣5）m，那么弧BC所在圆的半径等于　
　．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（2，0），直线y＝x+与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长为　
　．
11．如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片，为求其外圆半径，小林在外圆上任取一点A，然后过点A作AB与残片的内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝15cm，AB＝60cm，则这个摆件的外圆半径是　
　cm．
12．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为　
　米．
13．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为　
　．
14．如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB＝BC＝12，则OC＝　
　．
15．如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12m，拱高CD＝4m，则拱桥的直径为　
　m．
三．解答题
16．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）求证：E是OB的中点；
（2）若AB＝16，求CD的长．
17．如图，已知⊙O的直径d＝10，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，且AB＝6，求弦CD的长．
18．如图，已知⊙O的弦AB垂直平分半径OC，连接AO并延长交⊙O于点E，连接DE，若AB＝4，请完成下列计算
（1）求⊙O的半径长；
（2）求DE的长．
19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，求⊙O的直径．
20．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．
21．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑（图示是其主视图），经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA的长为多少？
参考答案
一．选择题
1．解：设OD＝2a，则CD＝a，OA＝3a，
∵AB⊥OC，OC为半径，
∴AD＝BD＝AB＝，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：（3a）2＝（2a）2+（）2，
a＝1（负数舍去），
OA＝3×1＝3，
故选：C．
2．解：设该铅球的半径是rcm．
在由铅球的半径、小坑的半径即半弦和弦心距组成的直角三角形中，
根据勾股定理，得r2＝（r﹣2）2+16，
解得r＝5，
故2r＝10．
故选：B．
3．解：过点P的最短弦是垂直于OP的弦CD，
连接OC．根据勾股定理，得PC＝＝4，
再根据垂径定理，得CD＝8．
故选：B．
4．解：延长BO交⊙O于点D，连接AD
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°，BD＝4×2＝8
∵AB∥OC，∠BOC＝30°，
∴∠ABD＝30°
在Rt△ADB中，
∵∠ABD＝30°，
∴AD＝BD＝4，
AB＝
＝
＝4
故选：D．
5．解：设OA与BC相交于D点．
∵AB＝OA＝OB＝6
∴△OAB是等边三角形．
又根据垂径定理可得，OA平分BC，
利用勾股定理可得BD＝＝3
所以BC＝6．
故选：A．
6．解：∵AB⊥CD，
∴＝，CE＝DE，
∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，
∴∠OCE＝90°﹣40°＝50°．
故选：D．
7．解：如图，OA＝12，则OC＝6，
根据勾股定理可得，弦的一半＝＝6，
∴弦＝12．
故选：B．
8．解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；
B、平分弦的直径也必平分弦所对的两条弧，故本选项错误；
C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，符合垂径定理，故本选项正确；
D、平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故本选项错误．
故选：C．
二．填空题
9．解：设圆弧所在圆的圆心为O，半径为r，
连接OB，过O作OA⊥BC于D交于A，
则BD＝BC＝5，AD＝10﹣5，
∴OD＝r﹣10+5，
∵OB2＝BD2+OD2，
∴r2＝52+（r﹣10+5）2，
解得：r＝10，
故答案为：10．
10．解：设直线y＝x+与两坐标轴分别交于D、E点，过O点作OM⊥BC于点M，连接OB，如下图
由直线y＝x+可知点D坐标为（0，），点E的坐标为（﹣3，0）
∴＝
∴∠DEA＝30°
∴OM＝OE＝
在Rt△OMB中，OM＝，OB＝OA＝2
∴BM＝＝
由垂径定理可知BC＝2BM＝×2＝
故答案为．
11．解：如图，设点O为圆环的圆心，连接OA和OD，
∵AB是内圆O的切线，
∴AB⊥OD，
∴∠ADO＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝180°，
∴O、D、C共线，
∴OC⊥AB，
∴AD＝AB＝30cm，
∴设OA为rcm，则OD＝（r﹣15）cm，
根据题意得：r2＝（r﹣15）2+302，
解得：r＝37.5．
∴这个摆件的外圆半径长为37.5cm；
故答案为：37.5．
12．解：设所在的圆的圆心是O．
根据垂径定理，知C，O，D三点共线，
设圆的半径是r，则根据垂径定理和勾股定理，得r2＝（r﹣4）2+64，∴r＝10m．
13．解：∵OD⊥AC，AC＝2，
∴AD＝CD＝1，
∵OD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADO＝∠OFE＝90°，
∵OE∥AC，
∴∠DOE＝∠ADO＝90°，
∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EOF＝90°，
∴∠DAO＝∠EOF，
在△ADO和△OFE中，
，
∴△ADO≌△OFE（AAS），
∴OF＝AD＝1，
故答案为：1．
14．解：如图，连接BD；
∵直径AD⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝6；
由勾股定理得：
AE＝＝6；
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°；
由射影定理得：
AB2＝AE?AD
∴AD＝＝8，
∴OC＝AD＝4，
故答案为4．
15．解：由题中已知条件可得，
AB＝12，CD＝4，AC＝AB＝6，
∴OC＝R﹣CD＝R﹣4，
∴R2＝（R﹣4）2+62，
∴R＝6.5（m），
∴2R＝13（m）．
答：拱桥的直径为13m．
三．解答题
16．（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
＝，
∴AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，
∴OE＝OB，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB＝16，
∴OC＝AB＝8，
又∵BE＝OE，
∴OE＝4，
∴CE＝＝＝4，
∴CD＝2CE＝8．
17．解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，
则AM＝AB＝3，
∵AB∥CD，
∴点M、O、N在同一条直线上，
在Rt△AOM中，OM＝＝4，
∴ON＝MN﹣OM＝3，
在Rt△CON中，CN＝＝4，
∵ON⊥CD，
∴CD＝2CN＝8．
18．解：（1）连接BE，
∵⊙O的半径OC⊥弦AB于点D，AB＝4，
∴AD＝BD＝2，
设OA＝x，
∵OD＝x，
在Rt△AOD中，AD2+OD2＝OA2，
∴2+2＝x2，
解得：x＝4，
即⊙O的半径长是4；
（2）由（1）∴OA＝OE＝4，OD＝2，
∴BE＝2OD＝4，
∵AE是直径，
∴∠B＝90°，
∴DE＝，
19．解：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝12，
∴DE＝CD＝6．
连接OD，设OD＝r，则OE＝r﹣2，在Rt△ODE中，
∵OE2+DE2＝OD2，即（r﹣2）2+62＝r2，解得r＝10，
∴AB＝2r＝20．
20．解：如图所示，连接OC．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸．
21．解：作OD⊥AB于D，如图所示：
∵AB＝8cm，OD⊥AB，小坑的最大深度为2cm，
∴AD＝AB＝4cm．
设OA＝rcm，则OD＝（r﹣2）cm
在Rt△OAD中，
∵OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5cm；
即铅球的半径OA的长为5cm．