2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
学习目标：
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）
自主学习
一、知识链接
1.填空：
（1）x2+6x+10=（x+_____）2+___________;
（2）x2-4x-6=（x-_____）2+___________;
（3）3x2+8x-4=3（x+_____）2+___________;
（4）x2-3x+1=（x-_____）2+___________.
(1)抛物线y=(x-2)2+3的开口向________,对称轴为直线___________,顶点坐标为_________,当x=_____,
二次函数y=(x-2)2+3有最_____值，为______.
(2)抛物线y=-3(x+3)2+1的开口向________,对称轴为直线___________,顶点坐标为_________,当x_________时，y随x的增大而减小.
思考：二次函数y=x2+2x+3的开口方向、对称轴、顶点坐标，如何确定呢？
二、新知预习
填空并完成练习
1.说一说抛物线y=x2+2x+3并说出其开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性.
y=x2+2x+3=（x+_____）2+________;
抛物线y=x2+2x+3的开口向___________,对称轴为___________,顶点坐标为_________.当x
_________时，y随x的增大而增大，当_________时，y随x的增大而减小.
2.通过配方，
说明二次函数y=-2x2+4x-1的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标.
（1）y=-2x2+4x-1=-2（x2-_______）-1=-2(x2-2x+____-____)-1=-2(x-____)2+________.
（2）抛物线y=-2x2+4x-1的开口向___________,对称轴为___________,顶点坐标为_________.
（3）这个函数有最_____值（填“大”或“小”），其值为_________.
【自主归纳】对于抛物线y=ax2+bx+c,可以先将抛物线通过_______，将其转化为y=a(x-h)2+k的形式，再确定抛物线的对称轴、顶点坐标及其他性质.
练习：写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点
y=-x2+2x-5；
（2）y=8x2-48x+30.
合作探究
要点探究
探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k
想一想
（1）请将化成y=a(x－h)2+k的形式，并说一说配方的方法及步骤；
（2）如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x－h)2+k？
【要点归纳】将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式y=a(x－h)2+k，则y=a(x+_______)2+_________.
练一练
将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其顶点坐标．
（1）y=-3x2-2x+1；
（2）y=x2-x+6．
探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
说一说
（1）抛物线的对称轴、顶点坐标；
（2）求抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标的一般步骤；
（3）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标.
【要点归纳】
一般地，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即y=ax2+bx+c=_________;
因此，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是_____________;对称轴是直线______________;
如果a>0，当x<
_________时，y随x的增大而减小；当x>
_________时，y随x的增大而增大.
如果a<0，当x<________时，y随x的增大而增大；当x>_________时，y随x的增大而减小.
【典例精析】
例1
已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）将y＝x2﹣6x+5化成y=a(x-h)2+k的形式；
（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小？
探究点3：二次函数字母系数与图象的关系（拓展）
问题
二次函数的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空（填“＞”“＜”或“＝”）.
【要点归纳】二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系如下：
①a＞0开口向上，a＜0开口向下；b=0对称轴为y轴；
②a、b同号对称轴在y轴的左侧，a、b异号对称轴在y轴的右侧；
③c=0图象经过原点；c＞0与y轴交于正半轴，c＜0与y轴交于负半轴.
④当x=±1时，y=a±b+c,当x=±2时，y=4a±2b+c.
【典例精析】
例2
二次函数y=-ax2+bx+c（a≠0）的图象如图①所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A．a＜0
B．b＞0
C．c＞-1
D．4a+c＞2b
图①
图②
【针对训练】已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图②所示，下列结论：
①abc＞0；②2a+b＜0；③a-b+c＜0；④a+c＞0；其中正确的说法有
（写出正确说法的序号）．
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)的图象和性质
顶点式
y=_____________________
图象和性质
a＞0
a＜0
顶点坐标：__________________
对称轴：直线________________
开口向____________
开口向____________
最_____值为________
最_____值为________
当x_______时，y随x的增大而增大，当x_________时，y随x的增大而减小
当x_______时，y随x的增大而增大，当x_________时，y随x的增大而减小
当堂检测
抛物线y=x2+4x+7的对称轴是（ ）
A．直线x=4
B．直线x=-4
C．直线x=2
D．直线x=-2
2.二次函数y=x2-6x图象的顶点坐标为（ ）
A．（3，0）
B．（-3，-9）
C．（3，-9）
D．（0，-6）
3.将抛物线y=x2-2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的表达式是
.
4.二次函数y=-x2+4x+1的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是
.
5.将下列二次函数的一般式用配方法化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式，并指出其开口方向、顶点坐标、对称轴及最值．
（1）y=2-4x-x2；
（2）y=x2-3x-4；
（3）y=2x2-3x；
（4）y=-x2+6x-7.
5.已知抛物线y=2x2-12x+13.
（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小;
（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式.
能力提升
6.一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是（ ）
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.(1)3
1
(2)2
(-10)
(3)
(4)3
2.(1)上
x=2
(2,3)
2
小
3
（2）下
x=-3
(-3,1)
＞-3
二、新知预习
1.（1）1
2
（2）上
直线x=-1
(-1,2)
＞-1
＜-1
2.（1）2x
1
1
1
1
(2)
下
直线x=1
(1,1)
(3)大
1
【自主归纳】配方
练习：解：（1）y=-x2+2x-5=-（x-1）2-4.开口向下，
对称轴为直线x=1,顶点坐标为（1，-4）.
（2）y=8x2-48x+30=8（x-3）2-42.开口向上，
对称轴为直线x=3,顶点坐标为（3，-42）.
合作探究
探究点1：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x－h)2+k
想一想
（1）6
6
9
9
3
3
二次项
（2）y=ax?+bx+c=
【要点归纳】
练一练
解：（1）y=-3x2-2x+1==,则其顶点坐标为.
（2）y=x2-x+6==，则其顶点坐标为（2,5）.
探究点2：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
说一说
解：（1）对称轴为直线x=3,顶点坐标为.
先将抛物线y=ax2+bx+c通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，再根据y=a(x-h)2+k的图象和性质，判断抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标和对称轴.
（3）抛物线y=ax2+bx+c，易知其对称轴为直线，顶点坐标为.
【要点归纳】
【典例精析】
例1
解：（1）y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4；
（2）二次函数的图象的对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，﹣4）；
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x＝3，∴当x≤3时，y随x的增大而减小．
探究点3：二次函数字母系数与图象的关系（拓展）
问题
①＞
＞
＞
②＞
＜
=
③＜
=
＞
④
＜
＞
＜
例2
D
【针对训练】②④
二、课堂小结
上
下
小
大
＞
＜
＜
＞
当堂检测
1.D
2.C
3.y=x2-2
4.x＞2
5.解：（1）y=-x2-4x+2=-（x+2）2+6，开口向下，对称轴为直线x=-2，顶点坐标为（-2，6），
最大值为6.
（2）y=x2-3x-4=（x-）2-，开口向上，对称轴为直线x=，顶点坐标为（，-），
最小值为-.
（3）y=2x2-3x=2（x-）2-，开口向上，对称轴为直线x=，顶点坐标为（，-），
最小值为-.
(4)y=-x2+6x-7=-（x-4）2+5，开口向下，对称轴为直线x=4，顶点坐标为（4，5），
最大值为5.
5.解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-6x+9)-5=2(x-3)2-5，∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3.
（1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5；
（2）当x＜3时，y随x的增大而减小；
（3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3．
能力提升
6.D26.2
二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第5课时
图形面积的最大值
学习目标：
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）
2.能应用二次函数的性质求出图形面积的最大值.（重点）
自主学习
一、知识链接
用一段长为20
m的篱笆围成一个矩形菜园，设AB=x
m,用含x的代数式填空：
如图①，AD的长为_________m,矩形菜园的面积S=___________，x的取值范围为____________;
如图②，菜园中间用一道篱笆隔开，此时AD的长为_________m,矩形菜园的面积S=___________,
x的取值范围为____________;
如图③，菜园的一面靠墙，此时AD的长为_________m,矩形菜园的面积S=___________.
若可利用的墙的长度不限，则x的取值范围为____________;若可利用的墙的长度为8
m,则x的取值范围为____________.
图①
图②
图③
自主预习
填空并完成下列练习：
求二次函数y=ax2+bx+c（x为任意实数）的最大（或小）值时，常用方法有两种：
（1）将抛物线y=ax2+bx+c通过配方，转化为y=a(x-h)2+k的形式.若a＞0，则当x=_____时，y取最_____值,此时，y=__________;若a＜0，则当x=_____时，y取最______值,此时，y=__________.
（2）运用公式法，若a＞0，则当x=时，y取得最_______值，此时y=_____________;若a＜0，则当x=时，y取得最_______值，此时y=_____________;
练习
1.求二次函数y=x2－6x－5的最大(或小）值，可先将其配方，可化为y=(x-_______)2+_________,则该函数有最_______值，其值为__________;
2.求二次函数y=的最(大或小）值,可利用公式法，当x=________时，该函数有最_________值，其值为___________.
合作探究
要点探究
探究点1：求二次函数的最大(或最小)值
做一做
1.在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，根据图象，回答问题:
问题1
（1）当x取任意实数时，二次函数在何时取得最大（或小）值？
（2）当-3≤x≤1时，二次函数在何时取得最大值？
做一做
2.在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数y=-x2-2x+3的图象，根据图象，回答问题：
问题2
（1）当x取任意实数时，二次函数y=-x2-2x+3在何时取得最大（或小）值？
（2）当-3≤x≤4时，二次函数y=-x2-2x+3在何时取得最大值？
【要点归纳】当自变量的范围有限制时，二次函数的最值可以根据以下步骤来确定：
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.
3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.
【典例精析】
例1
求下列函数的最大值与最小值.
（1）
(-1≤x≤2）；
(2)
y=-100x2+100x+200(0≤x≤2）；
（3）
.
探究点2：二次函数与几何图形面积的最值
问题
要用总长为40m的铁栏杆，围城一个矩形的花圃，怎样围，才能使围成的花圃的面积最大？
解：设AB的长为x
m,则BC的长为__________m,
此时花圃的面积S=___________m2.
易知x的取值范围为____________.
S=___________=-（
）2+_________,
则当x=_________时，S取得最大值，此时最大面积为________m2.
变式
若花圃的一面靠墙（墙足够长），怎样围，能使围成的花圃的面积最大？
解：设AB的长为x
m,则BC的长为__________m,
此时花圃的面积S=___________m2.
易知x的取值范围为____________.
S=___________=_____（
）2+_________,
则当x=_________时，S取得最大值，此时最大面积为________m2.
想一想：（1）若可利用的墙的长度为24m，怎样围，能使围成的花圃的面积最大？
（2）若可利用的墙的长度为16
m，怎样围，能使围成的花圃的面积最大？
【典例精析】
例2
如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框（即矩形ABFE和矩形DCFE），原材料刚好全部用完，设窗户边框AB长度为x米，窗户总面积为S平方米（注：窗户边框粗细忽略不计）．
（1）求S与x之间的函数关系式；
（2）若窗户边框AB的长度不少于2米，且边框AB的长度小于BC的长度，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．
【针对训练】如图，有长24米的铁栏杆，一面利用墙（墙的最大长度为15米），围成中间隔有一道铁栏杆的长方形花圃．设花圃中垂直于墙AD的一边AB的长为米，花圃的总面积为平方米．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果花圃的总面积为36平方米，求AB的长；
（3）能否围成面积比45平方米更大的花圃？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
二、课堂小结
求二次函数y=ax2+bx+c的最值
两个方法
（1）配方成y=a(x-h)2+h的形式；（2）公式法
一个注意
注意自变量的取值范围是否为全体实数，若不是，则需结合函数的增减性来判断
图形面积的最大值问题
一个关键
依据常见几何图形的面积公式建立函数关系式
一个注意
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
当堂检测
1.二次函数y=（x+1）2-2的最小值是（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
2.二次函数y=-2x2-4x+3（x≤-2）的最大值为________.
3.已知直角三角形的两直角边之和为8，则该三角形的面积的最大值是________.
4.如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部分折成一个无盖的盒子．（纸板的厚度忽略不计）
（1）若该无盖盒子的底面积为900cm2，求剪掉的正方形的边长；
（2）求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．
5.如图，某公司要建一个矩形的产品展示台，展示台的一边靠着长为9m的宣传版（这条边不能超出宣传版），另三边用总长为40
m的红布粘贴在展示台边上．设垂直于宣传版的一边长为x
m.
（1）当展示台的面积为128
m2时，求x的值；
（2）设展示台的面积为y
m2，求y的最大值．
参考答案
自主学习
知识链接
（10-x）
x(10-x)
0＜x＜10
（10-x）
x（10-x）
0＜x＜
（20-2x）
x(20-2x)
0＜x＜10
6≤x＜10
二、新知预习
(1)
h
小
k
h
大
k
(2)小
大
练习：1.
3
(-14)
小
-14
2.
大
合作探究
一、要点探究
探究点1：求二次函数的最大(或最小)值
做一做
1.解：如图①所示.
当x取任意实数时，二次函数在x=2时取得最小值，此时y=1.
由图象可知，当-3≤x≤1时，二次函数在x=-3处取得最大值，此时y=26.
图①
图②
2.解：如图②所示.
（1）当x取任意实数时，二次函数y=-x2-2x+3在x=-1时取得最大值，此时y=4.
（2）由图象可知，当-3≤x≤4时，二次函数y=-x2-2x+3在x=-1时取得最大值，此时y=4.
【典例精析】例1
解：（1）当x＜3时,y随x的增大而减小.∵-1≤x≤2，则当x=-1时，y取得最大值，此时y=6；当x=2时，y取得最小值，此时y=-9.
(2)y=-100x2+100x+200=-100(x2-x+)+25+200=-100(x-)2+225.∵0≤x≤2，∴当x=时，y取得最大值，此时y=225.当x=2时，y取最小值，此时y=0.
(3)∵-3≤x≤2,则当x=-2时，y取得最大值，此时y=5.当x=2时，y取得最小值，此时y=-3.
探究点2：二次函数与几何图形面积的最值
问题
（20-x）
x(20-x)
0＜x＜20
x(20-x)
x-10
100
10
100
变式
（40-2x）
x(40-2x)
0＜x＜20
x(40-2x)
-2
x-10
200
10
200
想一想
（1）解：由可利用的墙的长度为24m，可得40-2x≤24，则8≤x＜20.因为y=-2(x-10)2+200,∴当x=10时，y取得最大值，此时围成的花圃的最大面积为200
m2.
（2）解：由可利用的墙的长度为16m，可得40-2x≤16，则12≤x＜20.因为y=-2(x-10)2+200,∴当x＞10时，y随x的增大而减小，则当x=12时，y有最大值，此时围成的花圃的最大面积为192
m2.
【典例精析】例2
解：（1）由题意可得S=x?=-x2+9x.
（2）由题意可得，2≤x＜，解得2≤x＜3.6.∵S=-x2+9x=-（x-3）2+,∴当x=3时，S取得最大值，此时S=，当x=2时，S取得最小值，此时S=12.
答：窗户总面积S的最大值是m2、最小值是12m2．
【针对训练】解：（1）花圃的宽AB为x米，则BC=（24-3x）米，
∴S=x（24-3x），即S=-3x2+24x（3≤x＜8）；
（2）当S=36时，-3x2+24x=36，解得x1=2，x2=6，当x=2时，24-3x=18＞15，不合题意，舍去；当x=6时，24-3x=6＜15，符合题意，故AB的长为6米．
（3）S=-3x2+24x=-3（x-4）2+48，∵3≤x＜8，∴能围成面积比45平方米更大的花圃，当x=4米时面积最大，最大面积为48平方米．
当堂检测
1.A
2.
5
3.
8
4.解：（1）设剪掉的正方形的边长为x?cm，则（40-2x）2=900，
即40-2x=±30，解得x1=35（不合题意，舍去），x2=5.
答：剪掉的正方形边长为5cm；
（2）设剪掉的正方形的边长为x?cm，盒子的侧面积为y?cm2，则y与x的函数关系式为y=
4（40-2x）x，即y=-8x2+160x，y=-8（x-10）2+800.∵-8＜0，∴y有最大值，
∴当x=10时，y最大=800；
答：折成的长方体盒子的侧面积有最大值，这个最大值是800cm2．
5.解：（1）由题意x（40-2x）=128，解得x=4或16，当x=4时，40-2x=32＞9，不合题意.
∴x的值为16.
（2）由题意y=x（40-2x）=-2x2+40x=-2（x-10）2+200．∵40-2x≤9，
∴x≥，∴当x=时，y=-2（-10）2+200=139.5．∴y的最大值为139.5．26.2
二次函数的图象与性质
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第1课时
二次函数y=ax2+k的图象与性质
学习目标：
1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点）
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点）
3.理解y=ax?与
y=ax?+k之间的联系.（重点）
自主学习
一、知识链接
1.填写下表：
y=3
x2
y=-3
x2
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
.
在对称轴的左侧，y随x的增大而
，在对称轴的右侧，y随x的增大而
.
2.将直线y=2x向上平移2个单位，得到的新的直线的表达式为______________;直线y=-2x-3是由直线y=-2x通过怎样的变换得到的？
思考：y=x2与y=x2+3的图象之间能通过平移变换得到吗？
二、新知预习
（预习课本P9-10）试说出函数y=ax2+k（a,k是常数，且a≠0）的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标：
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2+k
a＞0
开口向______
a＜0
开口向______
练习：
1.抛物线y=x2-3的开口
，对称轴是
，顶点坐标是
，它可以看做是由抛物线y=x2向
平移
个单位得到.
2.将抛物线y=2x2-3的图象向上平移4个单位后，所得抛物线是
，其顶点坐标是
，当x
时，y随x的增大而增大；当x
时，y随x的增大而减小；当x
时，y取最
值，为
.
合作探究
要点探究
探究点1：二次函数y=ax2+k的图象及平移
做一做
在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2，y=2x2+1的图象．
(1)列表:
x
···
-1.5
-1
0
1
1.5
···
y1=2x2
···
···
y2=2x2+1
···
···
（2）列表，连线.
观察列表，当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？
（4）将（3）中的数值转换为坐标，反映在函数图象上，观察图象，相应的两个点之间的位置有什么关系？
【要点归纳】二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：
当k
>
0
时，向上平移k个单位得到.当k
<
0
时，向下平移－k个单位得到.
规律总结为：平方项不变，常数项上加下减.
【典例精析】
例1
抛物线y=2x2-5通过平移，得到抛物线y=2x2，则平移方式正确的是（ ）
A．向左平移5个单位
B．向右平移5个单位
C．向上平移5个单位
D．向下平移5个单位
【针对训练】（1）将抛物线y=-x2向上平移3个单位后，得到的抛物线的表达式是_______________;
(2)将抛物线y=x2+2向下平移4个单位后所得新抛物线的表达式为___________________.
探究点2：二次函数y=ax2+k的图象和性质
思考
图形平移之后，性质会发生改变吗？你能通过二次函数y=2x2的性质推断出函数y=2x2+1的性质吗？
观察
观察二次函数y=2x2，y=2x2+1的图象，填写下表：
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
y1=2x2
向_____
_____
_____
当x____0时，y随x的增大而增大；
y2=2x2+1
向_____
_____
_____
当x____0时，y随x的增大而减小
【要点归纳】二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质
当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最小值为k.当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.
做一做
在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数y=－x2，y=－x2-2，y=－x2+2的图象，并说一说它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、函数最值、函数增减性.
观察与思考
根据图象回答下列问题:
(1)三条抛物线的开口方向_____________；(2)对称轴都是____________________
；
(3)
从上而下顶点坐标分别是
_____________________;
(4)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为______、______﹑______.
(5)
函数的增减性都相同:_____________________________________.
【要点归纳】二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质
当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最大值为k.当x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小.
【典例精析】
例2
关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（
）
A．其图象的开口方向向上
B．当x=0时，y有最大值4
C．其图象的对称轴是y轴
D．其图象的顶点坐标为（0，4）
【针对训练】
关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是
（
）
A．开口方向相同
B．顶点相同
C．对称轴相同
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
例3
在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝-x2+1的图象大致是（
）
【针对训练】在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为(
)
【方法归纳】熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
课堂小结
二次函数y=ax2+k
(a≠0)的图象和性质
图象的特点
a>0
开口向_____；
对称轴是_________，
顶点坐标是_________.
当x________时，y随x的增大而增大，当x_______时，y随x的增大而减小
a<0
开口向_____.
对称轴是_________，
顶点坐标是_________.
当x______时，y随x的增大而增大，
当x______时，y随x的增大而减小
平移规律
k正向_____平移；k负向下_____平移.
当堂检测
1.对于抛物线y=2x2-1,下列说法中，正确的有______________(填序号).
①顶点坐标为（-1,0）；②对称轴为y轴；③开口方向向上；④可由抛物线y=2x2向下平移1个单位得到；⑤(-1,y1),(
-3,y2)是该抛物线上的两个点，则y1＜y2.
2.已知抛物线y=ax2+k.
（1）若抛物线y=ax2+k的形状与y=2x2相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0,-3)，则该抛物线的函数表达式是____________;
（2）若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表达式为y=-0.5x2-1，则a=______,k=______;
（3）若抛物线y=ax2+k的最小值为4，且经过点(1,5),则该抛物线的函数表达式是__________;将抛物线y=ax2+k向下平移3个单位，得到的新的抛物线的函数表达式是_____________.
3.二次函数y=a+(m-5)的图象的顶点在x轴下方，求m的值.
4.已知二次函数y=x2+k的图象经过点P（-2，3）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）画出此二次函数的图象；
（3）若该二次函数图象的顶点为D，与x轴正半轴的交点为A，求△APD的面积.
参考答案
自主学习
知识链接
1.向上
向下
（0,0）
（0,0）
y轴
y轴
减小
增大
增大
减小
2.y=2x+2
直线y=-2x-3是由直线y=-2x通过向下平移3个单位得到
新知预习
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2+k
a＞0
开口向
上
y轴
（0，k）
a＜0
开口向
下
y轴
（0，k）
练习：1.向上
y轴
（0，-3）
下
3
2.y=2x2+1
（0,1）
＞0
＜0
=0
小
1
合作探究
要点探究
探究点1：二次函数y=ax2+k的图象及平移
做一做：
（1）填表如下：
x
···
－1.5
－1
0
1
1.5
···
y1=2x2
···
4.5
2
0
2
4.5
···
y2=2x2+1
···
5.5
3
1
3
5.5
···
（2）列表，连线如图①所示：
当自变量x取同一数值时，函数值y2比y1大1.
函数y2=2x2+1的图象上的每一点都在函数y1=2x2的图象上相应点的上方1个单位.
【典例精析】例1
C
【针对训练】（1）y=-x2+3
(2)y=x2-2
图①
图②
探究点2：二次函数y=ax2+k的图象和性质
观察
填表如下：
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
y=2x2
向上
（0,0）
y轴
当x＞
0时，y随x的增大而增大；
y=2x2+1
向上
（0,1）
y轴
当x＜0时，y随x的增大而减小
做一做：
二次函数y=－x2，y=－x2-2，y=－x2+2的图象如图②所示.
观察与思考
（1）向下
（2）y轴（或直线x=0）
(3)(0,2),(0,0),（0，－2）
（4）高
大
y=2
y=0
y=－2
对称轴左侧，y随x的增大而增大，对称轴右侧，y随x的增大而减小
【典例精析】例2
B
【针对训练】C
例3
D
【针对训练】D
二、课堂小结
上
y轴
（0，k）
＞0
＜0
下
y轴
（0，k）
＜0
＞0
上
下
当堂检测
1.②③④⑤
2.（1）y=-2x2-3
（2）-0.5
-3
（3）y=x2+4
y=x2+1
3.解：由题意得m2-4m-3=2，且m-5＜0，则m=-1.
4.解：（1）把（-2，3）代入y=x2+k得4+k=3，解得k=-1，
所以二次函数的表达式为y=x2-1；
（2）抛物线y=x2-1的顶点坐标为（0，-1），当y=0时，x2-1=0，解得x1=1，x2=-1，则抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（1，0），如图所示.
（3）设直线PD的表达式为y=kx+b,将点（-2,3），（0，-1）代人得解得即直线PD的表达式为y=-2x-1.当y=0时，-2x-1=0,解得x=.设直线PD与x轴的交点为C，则C.
∴S△APD=S△APC+S△ADC==3.
