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2020-2021学年浙江八年级数学下第二章
《一元二次方程》竞赛题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)关于的方程必有一个根为（
）
A．x=1
B．x=-1
C．x=2
D．x=-2
【答案】A
【解析】
【分析】
分别把，，，代入中，利用一元二次方程的解，当为任意值时，则对应的的值一定为方程的解.
【详解】
解：A、当是，，所以方程必有一个根为1，所以A选项正确；
B、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以B选项错误；
C、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以C选项错误；
D、当时，，所以当时，方程有一个根为，所以D选项错误.故选：A
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根，将选项分别代入方程求解是解题的关键.
2．(本题3分)等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则m为（
）
A．
B．
C．
D．7或8
【答案】B
【分析】
两种情况，4为腰和4为底边，而一元二次方程的两根也分为两种情况：①一边为腰一边为底，此时代入4即可求解，②两边都为腰，此时判别式为0，代入数值即可求解．
【详解】
①一边为腰一边为底，当4为底时，有
，解得，此时
解得另一个根为2，而此时2+2=4，不合题意舍去；
②方程两根都为腰，此时
即，解得m=8
综上所述，m=8
故选B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的判别式，关键是分情况讨论一元二次方程解的情况．
3．(本题3分)已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+上，点Q(a，b)在直线l下方，则PQ的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先利用根判别式得到△＝（a+2b）2﹣4＝0，则a+2b=2或a+2b=-2，即点Q的坐标为（1-b，b）或（-1-b，b），如图：当点Q在直线y=-x-1上，
EF为两直线的距离，最后求出EF得到PQ的最小值即可
【详解】
解：∵关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根，
∴△＝（a+2b）2﹣4＝0，
∴a+2b＝2或a+2b＝﹣2，
∵点Q（a，b），即Q（1﹣b，b）或（﹣1﹣b，b），
∴点Q所在的直线为y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1，
∵点Q（a，b）在直线y＝﹣x+的下方，
∴点Q在直线y＝﹣x﹣1上，如图，EF为两直线的距离，
∵OE＝，OF＝，
∴EF＝，
∴PQ的最小值为．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了根的判别式和垂线段最短，掌握一元二次方程的根的判别式△与根的关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根是解答本题的关键.
4．(本题3分)若实数a，b满足，则a的取值范围是
（
）．
A．a≤
B．a≥4
C．a≤或
a≥4
D．≤a≤4
【答案】C
【分析】
把a?ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，由△≥0，得关于a的不等式，解不等式即可．
【详解】
把a?ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，
因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2?ab+a+2＝0
的判别式△≥0，即a2-4（a+2）≥0，a2-2a-8≥0，
（a-4）（a+2）≥0，
解得a≤-2或a≥4．
故选C．
5．(本题3分)某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（
）
A．12元
B．10元
C．11元
D．9元
【答案】B
【分析】
设应降价x元，根据题意列写方程并求解可得答案．
【详解】
设应降价x元
则根据题意，等量方程为：(65－x－45)(30+5x)=800
解得：x=4或x=10
∵要尽快较少库存，∴x=4舍去
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程利润问题的应用，需要注意最后有2个解，需要按照题干要求舍去其中一个解．
6．(本题3分)方程的整数解有（
）
A．3组
B．4组
C．5组
D．6组
【答案】D
【解析】
【分析】
将y看作未知数，运用一元二次方程的判别式，确定x的取值范围，从而确定一元二次方程解的情况.
【详解】
解：
∵x是整数解
∴x=-1，y2-4y+4=0，解得y=2；
x=0，y2-3y=0，解得y=0或y=3；
x=1，y2-2y-2=0，y没有整数解；
x=2，y2-y-2=0，解得y=-1或y=2；
x=3，y2=0，解得y=0.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了非一次不定方程（组），方程和不等式的相关性质，关键寻求并缩小某个字母的取值范围，通过验算获得全部解答.
7．(本题3分)若a≠b，且则的值为（
）
A．
B．1
C．.4
D．3
【答案】B
【解析】
【详解】
解：由得：
∴
又由可以将a，b看做是方程
的两个根
∴a+b=4，ab=1
∴
故答案为B.
【点睛】
本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解。
8．(本题3分)若，是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
欲求2x12﹣2x1+x22+3的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】
解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，∴x12﹣2x1=4，x1x2=﹣4，x1+x2=2，∴2x12﹣2x1+x22+3
=x12﹣2x1+x12+x22+3
=x12﹣2x1+（x1+x2）2﹣2x1x2+3
=4+4+8+3=19．
故选A．
【点睛】
将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
9．(本题3分)实数x满足方程（x2+x）2-（x2+x）-2=0，则x2+x的值等于（
）
A．2
B．
C．2或
D．1或
【答案】A
【解析】试题分析：设y=x2+x，则由原方程，得
y2-y-2=0，
整理得（y-2）（y+1）=0，
解得
y1=2，y2=-1，
即x2+x的值等于2或-1．
x2+x=-1时，该方程无解，所以x2+x=-1舍去，
故选A．
考点：换元法解一元二次方程．
10．(本题3分)已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（
）
A．0
B．1
C．3
D．不确定
【答案】A
【分析】
把x=a代入3个方程得出a?a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a?a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．
【详解】
把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a?a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a?a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+）2+＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
评卷人得分
二、填空题(共24分)
11．(本题3分)关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是__________
【答案】x1=3，x2=-8
【分析】
将方程a（x+m+2）2+b=0变形为a（x+2+m）2+b=0，对照已知方程及其根得出x+2=5或x+2=-6，解之可得答案．
【详解】
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，
∴关于x的方程a（x+m+2）2+b=0，即a[（x+
2）+
m]2+b=0，
∴a[（x+
2）+
m]2+b=0满足x+2=5或x+2=-6，
解得x1=3，x2=-8，
故答案为：x1=3，x2=-8
【点睛】
此题主要考查了方程解的定义以及直接开方法求解，注意由两个方程的特点，运用整体思想进行简便计算．
12．(本题3分)若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的一个根是0，则m的值是________．
【答案】-1
【分析】
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x=0代入方程，即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值，还要注意一元二次方程的系数不能等于0．
【详解】
解：把x=0代入(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0中得：
m2－1＝0
解得：m=1或m=-1，
∵m-1≠0，
∴m≠1，
∴m=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
此题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解题过程中要注意一元二次方程的系数不能等于0．
13．(本题3分)若满足，则的值
．
【答案】5
【解析】
试题分析：因为，所以，所以．
考点：化简求值．
14．(本题3分)关于x3﹣ax2﹣2ax+a2﹣1＝0只有一个实数根，则a的取值范围是_____．
【答案】a＜．
【分析】
将原方程转化为关于a的一元二次方程，用含x的表达式表示a，求得x＝a+1或x2+x+1﹣a＝0．由原方程只有一个实数根，再转化为方程x2+x+1﹣a＝0没有实数根求解即可．
【详解】
把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2﹣（x2+2x）a+x3﹣1＝0，
则△＝（x2+2x）2﹣4（x3﹣1）＝（x2+2）2，
∴a＝
，即a＝x﹣1或a＝x2+x+1．
所以有：x＝a+1或x2+x+1﹣a＝0．
∵关于x3﹣ax2﹣2ax+a2﹣1＝0只有一个实数根，
∴方程x2+x+1﹣a＝0没有实数根，即△＜0，
∴1﹣4（1﹣a）＜0，解得a＜
．
所以a的取值范围是a＜．
故答案为a＜．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与判别式的关系，题目较复杂，难度较大，学会转换思路是关键．
15．(本题3分)对于有理数，定义的含义为：当时，；当时，.若，则的值等于____．
【答案】
【分析】
根据6m-4n-m2-n2与13的大小，确定m，n的值．
【详解】
解：∵min{13，6m-4n-m2-n2}=13，
∴13≤6m-4n-m2-n2．
整理，得（m-3）2+（n+2）2≤0，
∴m-3=0，n+2=0．
解得m=3，n=-2．
∴mn=3-2=．
故答案是：．
【点睛】
考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
16．(本题3分)x，y为实数，且满足，则y的最大值是_____．
【答案】
【分析】
本题是以典型的“△”法求函数最值问题，通过观察，分母为二次函数，分子为一次函数，且验证分母△<0，分母不能为零，所以想到用“△”法，将函数转化成关于x的一元二次方程，利用该方程的△≥0，列出关于y的一元二次不等式，求解即可．
【详解】
解：∵x2+3x+3＝0时，△＝32﹣12＜0，
∴x2+3x+3≠0；
当y＝0时，2x+2＝0，可得x＝﹣1，
当y≠0时，所以可将，变形为yx2+（3y﹣2）x+3y﹣2＝0，把它视为关于x的一元二次方程，
∵x为实数，
∴△≥0，即△＝（3y﹣2）2﹣4y（3y﹣2）＝﹣（3y2+4y﹣4）＝﹣（3y﹣2）（y+2）≥0，
∴（3y﹣2）（y+2）≤0，
解之得，﹣2≤y≤；
所以y的最大值为．
故答案为．
【点睛】
若函数是一次函数比二次函数型的，求最值，都可以利用“△”法．
17．(本题3分)已知正整数满足：，则值为___________．
【答案】146
【分析】
将xy+x+y=71，x2y+xy2=880稍作变化，变为xy+（x+y）=71，xy（x+y）=880．此时x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解．解出该方程的解即为x+y，xy的值．再将x+y，xy代入x2+y2=（x+y）2-2xy求值即可．
【详解】
解：∵xy+x+y=71，x2y+xy2=880，
∴xy（x+y）=880，xy+（x+y）=71，
∴x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解，
解得t=55或16，
∴x+y=55、xy=16（此时不能满足x、y是正整数，舍去）或x+y=16、xy=55，
当x+y=16、xy=55时，x2+y2=（x+y）2-2xy=162-2×55=146．
故x2+y2的值为146．
故答案为146.
【点睛】
本题考查因式分解的应用、一元二次方程，难度较大，解决本题的关键是将x+y、xy可以看做一元二次方程t2-71t+880=0的两个解，解出t即可知x+y、xy的值．
18．(本题3分)关于x的方程kx2+（k+1）x+k﹣1＝0的根为整数，则实数k=________．
【答案】0或1或
【分析】
分情况讨论，假设或，当时，原式是一元一次方程必有根，当时，利用根与系数的关系公式求出根的可能性，从而求出k的值．
【详解】
解：若，则是方程的根，
若，根据根与系数的关系，得，，
两式相减得，则，
不妨设，
若，，解得，，此时，，
若，，解得，，此时，，
综上：k的值为0或1或．
故答案是：0或1或．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系公式．
评卷人得分
三、解答题(共46分)
19．(本题6分)已知、是关于的方程的两个不相等的实数根.
(1)求实数的取值范围;
(2)已知等腰的一边长为7，若、恰好是另外两边长，求这个三角形的周长.
【答案】（1）m>2;
(2)17
【解析】
试题分析：（1）由根的判别式即可得；
（2）由题意得出方程的另一根为7，将x=7代入求出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．
试题解析：解：（1）由题意得△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=8m－16＞0，解得：m＞2；
（2）由题意，∵x1≠x2时，∴只能取x1=7或x2=7，即7是方程的一个根，将x=7代入得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=4或m=10．
当m=4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；
当m=10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；
故三角形的周长为17．
点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．
20．(本题6分)解方程．
【答案】，，，．
【分析】
将化为，设，则原方程可化为，解得，，即：或，分别求解即可得到结果．
【详解】
解：∵，
∴
∴
设，则原方程可化为，
化简得：
∴
∴，，
即：或
解之得：，，或，，
经检验，，，，都是原方程得解，
则原方程得解为：，，，．
【点睛】
本题考查了换元法解分式方程和解一元二次方程，熟悉相关解法是解题的关键．
21．(本题6分)（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，求△ABC最长边取值范围．
【答案】（1）-2；（2）-3；（3）
【分析】
（1）利用完全平方公式把方程化成两个平方的和为0的形式即可解题
（2）利用完全平方公式把方程化成两个平方的和为0的形式即可解题；
（3）利用完全平方公式把方程化成两个平方的和为0的形式即可解题；
【详解】
（1）原方程可化为：
∴
∴
（2）原方程可化为：
∴
∴
（3）原方程可化为：
∴
∴三角形第三边x的取值范围是
∴△ABC最长边取值范围
【点睛】
本题考查完全平方公式的应用，熟练的配方把方程化成两个平方的和是解题的关键，第三问需要注意的是求最长边的范围.
22．(本题8分)如图，在中，，动点从点出发，以的速度沿射线运动，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t秒，的面积为．
(1)直接写出的长：=
；
(2)求出关于的函数关系式，并求出当点运动几秒时，；
(3)作于点，当点、运动时，线段的长度是否改变？证明你的结论．
【答案】（1）AC=cm；（2）当点P运动（2+2）秒时，S△PCQ=S△ABC
；（3）线段DE的长度不会改变．证明见解析.
【分析】
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）分两种情形当0＜t≤4时，当t＞4秒时，分别构建方程即可解决问题；
（3）过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，利用全等三角形的判定和性质证明四边形PEQM是平行四边形，求出DE是定值即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵AB=BC=8cm，∠ABC=90°，
cm，
（2）当0＜t4时，P在线段AB上，此时CQ=2t，PB=8﹣2t，
∴，
当t＞4秒时，P在线段AB的延长线上，此时CQ=2t，PB=2t﹣8，
，
∵S△ABC=，
∴当t4时，S△PCQ=
整理得t2﹣4t+16=0，
∵△＜0，
∴此方程无实数解；
当t＞4时，S△PCQ=，
整理得t2﹣4t﹣16=0，
解得（负值已舍去），
∴当点P运动（）秒时，S△PCQ=S△ABC；
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：如图2，过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，
∵PE⊥AC，QM⊥AC，
∴∠AEP=∠M=90°，
∵AP=CQ，∠A=∠ACB=∠MCQ=45°，
∴△APE≌△QCM，
∴AE=PE=CM=QM=t，
∴四边形PEQM是平行四边形，
∴DE是对角线EM的一半，
又∵EM=AC=8，
∴DE=4，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变；
同理，当点P在点B右侧时，DE=4，
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积以及一元二次方程的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．(本题10分)设m是不小于－1的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根、，
（1）若，求m的值；
（2）求的最大值．
【答案】（1）；（2），最大值为10．
【分析】
（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．
（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．
【详解】
（1）∵方程有两个不相等的实数根
∴
∴
由题意知：
∵
∴
∵
∴
（2）
∴,最大值为10.
【点睛】
本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△＝b2?4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x1＋x2＝?，x1x2＝来化简代数式的值．
24．(本题10分)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值．
【答案】（1）且；（2）
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：且，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.
（2）利用根与系数的关系得到，
，加上且，则可判断，，所以，，然后解方程求出m即可得到满足条件的m的值.
【详解】
（1）因为方程有两个不相等的实数根，
，解得；
又因为是一元二次方程，所以，．
的取值范围是且．
（2），为原方程的两个实数根，，
且，，，，．
，，
，，解得，，
且，不合题意，舍去，．
【点睛】
此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.
试卷第1页，总3页
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2020-2021学年浙江八年级数学下第二章
《一元二次方程》竞赛题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)关于的方程必有一个根为（
）
A．x=1
B．x=-1
C．x=2
D．x=-2
2．(本题3分)等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则m为（
）
A．
B．
C．
D．7或8
3．(本题3分)已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+上，点Q(a，b)在直线l下方，则PQ的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．(本题3分)若实数a，b满足，则a的取值范围是
（
）．
A．a≤
B．a≥4
C．a≤或
a≥4
D．≤a≤4
5．(本题3分)某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（
）
A．12元
B．10元
C．11元
D．9元
6．(本题3分)方程的整数解有（
）
A．3组
B．4组
C．5组
D．6组
7．(本题3分)若a≠b，且则的值为（
）
A．
B．1
C．.4
D．3
8．(本题3分)若，是方程的两个不相等的实数根，则代数式的值是（
）
A．
B．
C．
D．
9．(本题3分)实数x满足方程（x2+x）2-（x2+x）-2=0，则x2+x的值等于（
）
A．2
B．
C．2或
D．1或
10．(本题3分)已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（
）
A．0
B．1
C．3
D．不确定
评卷人得分
二、填空题(共24分)
11．(本题3分)关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是__________
12．(本题3分)若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－1＝0的一个根是0，则m的值是________．
13．(本题3分)若满足，则的值
．
14．(本题3分)关于x3﹣ax2﹣2ax+a2﹣1＝0只有一个实数根，则a的取值范围是_____．
15．(本题3分)对于有理数，定义的含义为：当时，；当时，.若，则的值等于____．
16．(本题3分)x，y为实数，且满足，则y的最大值是_____．
17．(本题3分)已知正整数满足：，则值为___________．
18．(本题3分)关于x的方程kx2+（k+1）x+k﹣1＝0的根为整数，则实数k=________．
评卷人得分
三、解答题(共46分)
19．(本题6分)已知、是关于的方程的两个不相等的实数根.
(1)求实数的取值范围;
(2)已知等腰的一边长为7，若、恰好是另外两边长，求这个三角形的周长.
20．(本题6分)解方程．
21．(本题6分)（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，求△ABC最长边取值范围．
22．(本题8分)如图，在中，，动点从点出发，以的速度沿射线运动，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t秒，的面积为．
(1)直接写出的长：=
；
(2)求出关于的函数关系式，并求出当点运动几秒时，；
(3)作于点，当点、运动时，线段的长度是否改变？证明你的结论．
23．(本题10分)设m是不小于－1的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根、，
（1）若，求m的值；
（2）求的最大值．
24．(本题10分)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值．
试卷第1页，总3页
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