5.1多边形（3）

(共30张PPT)
八年级下册
5.1 多边形（3）
___ 用正多边形镶嵌平面
兰溪实验中学：郑剑
2011年10月26日
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是图形的密铺，又称图形的镶嵌.
用几何图形进行镶嵌：
著名图形艺术家埃舍尔的镶嵌作品：
外国六年级小学生的作品：
一. 正多边形的概念
我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形.
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正七边形
正八边形
一. 正多边形的概念
我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形.
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正七边形
正八边形
辨一辨：
三条边相等的三角形是正多边形吗？
四条边相等的四边形是正多边形吗？
六个内角都是120o的六边形是正六边形吗？
如果认为是，理由是什么？如果认为不一定是，请举出反例.
是
不一定是
不一定是
二. 正多边形的轴对称性
这些正多边形是轴对称图形吗？各有几条对称轴？
正多边形都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.
三. 正多边形各个内角的度数
复习：n边形的内角和为：
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正七边形
正八边形
内角和
每个内角的度数
正n边形
…
…
…
180o
360o
540o
720o
900o
1080o
（n－2）×180o
60o
90o
108o
120o
900o
135o
7
（n－2）×180o
n
（n－2）×180o （n≥3）.
四. 用正多边形镶嵌平面
合作学习 1：哪些正多边形可以单独镶嵌平面
（1）每个小组用手中正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形的纸片，在桌面上尝试镶嵌平面.
（2）你发现这几种正多边形哪些能单独镶嵌平面，哪些不能？你能说明其中的原因吗？
（3）还有其它能单独镶嵌平面正多边形吗？为什么？
（n－2）×180o
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正八边形
每个内角的度数
正n边形
60o
90o
108o
120o
135o
n
正十二边形
正二十边形
150o
162o
…
…
四. 用正多边形镶嵌平面
合作学习 1：哪些正多边形可以单独镶嵌平面
（1）每个小组用手中正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形的纸片，在桌面上尝试镶嵌平面.
（2）你发现这几种正多边形哪些能单独镶嵌平面，哪些不能？你能说明其中的原因吗？
（3）还有其它能单独镶嵌平面正多边形吗？为什么？
（n－2）×180o
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正八边形
每个内角的度数
正n边形
60o
90o
108o
120o
135o
n
正十二边形
正二十边形
150o
162o
…
…
想一想：在三角形和四边形中，只有正三角形和正方形能单独镶嵌平面吗？一般的全等三角形和全等的四边形能否单独镶嵌平面？
用全等的三角形镶嵌平面
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
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2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
2
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1
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2
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1
3
2
4
1
3
2
4
1
3
用全等的四边形镶嵌平面
想一想：在三角形和四边形中，只有正三角形和正方形能单独镶嵌平面吗？一般的全等三角形和全等的四边形能否单独镶嵌平面？
生活中有时也用几种多边形组合起来镶嵌平面
四. 用正多边形镶嵌平面
例：如图用边长相等的正八边形和正方形镶嵌平面，请说明其中的数学原理.
解：数学原理是：
正八边形的内角为135o，
正方形的内角为90o，
每个拼接点处由2个正八边形的内角和1个正方形的内角拼成，满足：
135o×2＋90o×1=360o，
又因为它们的边长相等，所以刚好能镶嵌平面.
合作学习 2：请你尝试用两种或两种以上的正多边形镶嵌平面，拼一拼或算一算，并说明其中的数学原理.
四. 用正多边形镶嵌平面
每个拼接点处由2个正八边形的内角和1个正方形的内角拼成，满足
135o×2＋90o×1=360o
☆方案①
方案③
方案④
☆方案②
☆方案⑤
方案⑥
方案⑦ …
（n－2）×180o
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正八边形
每个内角的度数
正n边形
60o
90o
108o
120o
135o
n
正十二边形
正二十边形
150o
162o
…
…
正三角形和正方形
…
请你欣赏
正三角形和正六边形
…
请你欣赏
正三角形和正十二边形
…
请你欣赏
正五边形和正十边形
…
请你欣赏
正三角形、正方形和正六边形
…
请你欣赏
正方形、正六边形和正十二边形
…
请你欣赏
正方形、正五边形和正二十边形
…
请你欣赏
总结规律
设两种正多边形的内角分别为α和β，如果它们能镶嵌平面，则必定存在正整数 m 和 n，使得：
α×m+β×n = 360o
举例：正三角形和正六边形之所以能镶嵌平面，是因为我们找到了两个正整数 m 和 n ，使得：
60 m + 120 n = 360.其中 m=4，n=1 或 m=2, n=2.
正五边形和正十边形
课堂小结
你学到了用哪些图形可以镶嵌平面？
1. 能单独镶嵌平面的正多边形只有正三角形、正方形、正六边形3种.
2. 全等的三角形和全等的四边形也能单独镶嵌平面.
用几种正多边形组合镶嵌平面的方案非常多.
主要看围绕一个共同的顶点（即拼接点）的几种正多边形的内角之和是否为360o.但有时能否镶嵌整个平面还与具体边数有关。
破解图形设计的密码
请看镶嵌图案设计的过程
两个图像的外部轮廓也是全等的，只是内部绘制了不同的图形而已。
课后作业
完成作业本
自选几种正多边形设计一幅镶嵌图.