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2020-2021学年浙江八年级数学下第二章《一元二次方程》常考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级月考）下列方程是一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】
解：A、是一元一次方程，故错误；
B、不是整式方程，故错误；
C、是二元二次方程，故错误；
D、是一元二次方程，故正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，解答时要先观察方程特点，再依据以上四个方面的要求进行有针对性的判断．
2．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级月考）已知关于x的一元二次方程有实数根．则下列选项中，a的值可以是（
）
A．0
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】
利用判别式的意义得到△=a2-4≥0，然后对各选项进行判断．
【详解】
解：根据题意得：
△=a2-4≥0，
则a2≥4，
所以a的值可取-3．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
3．(本题3分)（2019·浙江嘉兴市·嘉兴一中八年级期中）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（
）
A．50（1+x）?=182
B．50+50（1+x）+50（1+x）?=182
C．50(1+2x)=182
D．50+50(1+x)+550（1+x）?=182
【答案】B
【分析】
先根据平均每月的增长率求出该厂五．六月份生产的零件数量，再根据“第二季度共生产零件182万个”列出方程即可．
【详解】
由题意得：该厂五、六月份生产的零件数量分别为万个、万个
则
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意，正确求出该厂五、六月份生产的零件数量是解题关键．
4．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）知是一元二次方程的两个实数根，则的值是（
）
A．1
B．3
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据根与系数的关系α+β=-1，αβ=-2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．
【详解】
解：∵α，β是方程x2+x-2=0的两个实数根，
∴α+β=-1，αβ=-2，
∴α+β-αβ=-1+2=1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系的公式是关键．
5．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）用配方法解一元二次方程时可配方得（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
按照完全平方公式对原方程进行配方可得解．
【详解】
解：由原方程得：，
∴，即
，
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的求解，熟练掌握配方法的意义和方法是解题关键．
6．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级期末）下列给出的四个命题：
①若
，则；②若a2﹣5a+5=0，则
；③
④若方程x2+px+q=0的两个实根中有且只有一个根为0，那么p≠0，q=0．
其中是真命题是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
【答案】C
【分析】
命题1、代入特殊值验证正确与否；
命题2、根据求根公式求的a值，然后与1比较大小后再来解=a-1；
命题3、根据不等式的性质作答；
命题4、根据根与系数的关系解答．
【详解】
①当a=-1，b=1时，命题不成立，是假命题，
②解方程a2-5a+5=0，得a=，则=a-1，是真命题；
③
，故原命题是假命题，
④若方程x2+px+q=0的两个实根中有且只有一个根为0，那么p≠0，q=0，是真命题．
其中是真命题是②④；
故选C．
【点睛】
此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．(本题3分)（2020·宁波市鄞州蓝青学校八年级期末）我们知道方程x2＋2x-3＝0的解是x1＝1，x2＝-3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)-3＝0，它的解是( )．
A．x1＝1，x2＝3
B．x1＝1，x2＝-3
C．x1＝-1，x2＝3
D．x1＝-1，x2＝-3
【答案】D
【分析】
将作为一个整体，根据题意，即可得到的值，再通过求解一元一次方程，即可得到答案．
【详解】
根据题意，得：或
∴或
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元一次方程、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．
8．(本题3分)（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则的值为（
）
A．8
B．
C．8或
D．8或2
【答案】A
【分析】
将看成整体，用因式分解法求出的值，再进行取值即可．
【详解】
解：
∴=8或=-2
∵≥0
∴=8
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了运用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答此题的关键．
9．(本题3分)（2020·宁波市鄞州蓝青学校八年级期末）过点作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线可以作（
）
A．条
B．条
C．条
D．条
【答案】C
【分析】
先设出函数解析式，y=kx+b，把点P坐标代入，得-k+b=3，用含k的式子表示b，得b=k+3，求出直线与x轴交点坐标，y轴交点坐标，求三角形面积，根据k的符号讨论方程是否有解即可．
【详解】
设直线解析式为：y=kx+b，点P（-1,3）在直线上，-k+b=3，b=k+3，
y=kx+3+k，
当x=0时，y=k+3，y=0时，x=，
S△=，，
当k>0时，（k+3）2=10k，k2-4k+9=0，△=-20<0，无解；
当k<0时，（k+3）2=-10k，k2+16k+9=0，
△=220>0，k=．
故选择：C．
【点睛】
本题考查的是直线与坐标轴围成的三角形面积问题，关键是用给的点坐标来表示解析式，求出与x,y轴的交点坐标，列出三角形面积，进行分类讨论．
10．(本题3分)（2020·浙江宁波市·八年级期中）若关于x的方程kx2-（k+1）x+1=0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
当k=0时，可求出x的值，根据x的值为整数可得出k=0符合题意；k≠0时，利用分解因式法解一元二次方程可求出x的值，再根据x的值为整数结合k的值为整数即可得出k的值．综上即可得出结论．
【详解】
当k=0时，原方程为-x+1=0，
解得：x=1，
∴k=0符合题意；
当k≠0时，kx2-（k+1）x+1=（kx-1）（x-1）=0，
解得：x1=1，x2=，
∵方程的根是整数，
∴为整数，k为整数，
∴k=±1．
综上可知：满足条件的整数k为0、1和-1．
故选C．
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2020·宁波市海曙区储能学校八年级期末）已知m
是关于
x的方程
的一个根，则代数式
的值等于____________．
【答案】-14
【分析】
将m代入方程中得到，进而得到由此即可求解．
【详解】
解：因为m是方程的一个根，
，
进而得到，
∴，
∴，
故答案为：-14．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的概念，是方程的解就是将解代回方程中，等号两边相等即可求解．
12．(本题3分)（2020·金华市南苑中学九年级月考）等腰的三边长都是一元二次方程的实数根，则的周长是_____
【答案】或
【分析】
解出一元二次方程的解，然后分类讨论等腰三角形的底和腰．
【详解】
解：
，，
∴等腰三角形的腰是4，底是5，或腰是5，底是4，
则三角形的周长是或．
故答案是：或．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．
13．(本题3分)（2020·浙江杭州市·九年级）方程的解的个数为________．
【答案】3
【分析】
去绝对值，再分别求解方程，即可得到结果．
【详解】
解：若x≥0，
则，
解得：x=0或4，
若x＜0，
则，
x=0（舍）或-4，
∴方程的解有3个，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了绝对值的性质，一元二次方程，解题的关键是要根据绝对值的性质分类讨论．
14．(本题3分)（2020·浙江宁波市·八年级期中）如图，某小区规划在一个长34m、宽22m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为100m2，那么通道的宽应设计成____m．
【答案】2
【分析】
设通道的宽应设计成xm，则种植花草的部分可合成长（34?2x）m，宽（22?x）m的矩形，根据矩形的面积公式结合每一块花草的面积都为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
设通道的宽应设计成xm，则种植花草的部分可合成长（34?2x）m，宽（22?x）m的矩形，
依题意，得：（34?2x）（22?x）＝100×6，
整理，得：x2?39x＋74＝0，
解得：x1＝2，x2＝37（不合题意，舍去）．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．(本题3分)（2020·宁波外国语学校八年级期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______．
【答案】且
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
关于的一元二次方程有实数根
∴
∴，即且．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．
16．(本题3分)（2020·宁波市第十五中学八年级期末）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________．
【答案】
【分析】
先解一元二次方程，再利用等腰三角形的性质进行分类讨论．
【详解】
解方程：，
得，，
当为腰，为底时，不能构成等腰三角形；
当为腰，为底时，能构成等腰三角形，周长为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法和等腰三角形的性质，熟练掌握因式分解法，并运用三角形的三边关系进行分类讨论是关键．
17．(本题3分)（2017·浙江杭州市·九年级）关于的方程两个实根满足，则的值为_______．
【答案】5或.
【分析】
先判断一元二次方程根的情况，然后利用根与系数的关系，得到，，结合，通过变形求值，即可求出m的值.
【详解】
解：在方程中，有
，
∴原方程有两个不相等的实数根；
根据根与系数的关系，有：
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，；
故答案为：5或.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，以及完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系进行解题.
三、解答题（本大题共6小题，共49分）
18．(本题6分)（2019·浙江杭州市·八年级其他模拟）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）x1=5，x2=；（2）无解
【分析】
（1）利用公式法求解．
（2）先化简分数，再利用公式法求解．
【详解】
解：（1），
∵a=2，b=-13，c=15，
∴b2-4ac=（-13）2-4×2×15=49＞0，
∴x1==5，x2==；
（2），
变形得：，
∵a=4，b=-9，c=7，
∴b2-4ac=（-9）2-4×4×7=-31＜0，
∴方程无解．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．(本题8分)（2017·台州市书生中学）已知m是方程的一个实数根，求代数式的值．
【答案】4
【解析】
解：∵m是方程的根，
∴，即．
∴．
根据方程的解得出，变形后代入求出即可．
20．(本题8分)（2019·浙江杭州市·九年级月考）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程的两个实数根．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析；（2）△ABC为直角三角形，见解析；（3）当k=4时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长=16；当k=3时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长=14.
【分析】
（1）根据根的判别式即可求出答案；
（2）将k的值代入原方程并求解后，根据勾股定理逆定理即可求出答案；
（3）根据等腰三角形的性质即可求出k的值．
【详解】
（1）△=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，
∴原方程化为：x2-7x+12=0，
解得：x=3或x=4，
∴32+42=52，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当BC是等腰三角形的腰时，
∴x=5是方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0解，
∴25-5（2k+3）+k2+3k+2=0，
解得：k2-7k+12=0，
∴k=3或k=4，
若k=3时，
则方程为：x2-9x+20=0，
∴x=4或x=5，满足三角形三边关系，
此时周长为14；
若k=4时，
则方程：x2-11x+30=0，
∴x=5或x=6，满足三角形三边关系，
此时周长为16；
当BC是等腰三角形的底边时，
此时方程的x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0有两个相等的解，不满足题意，
综上所述，△ABC的周长为14或16.
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质.
21．(本题8分)（2019·瑞安市新纪元实验学校九年级期末）某企业接到一批钢笔生产任务，按合同每支钢笔出厂价为8元在开始生产后，前三天进行设备调试，期间每支钢笔的成本为2.1元，调试结束后，每增加1天，每支钢笔的成本增加0.2元，设开始生产后第天（）的钢笔成本为每支元．
（1）关于的关系式为______；
（2）若开始生产后第天（）的钢笔产量为（支），满足关系式：．
①该企业开始生产后第几天获得的利润为1125元？（利润=出厂价一成本）
②为保证获利，当每支钢笔成本超过7.5元时，即要停止生产，则在生产的过程中，该企业每日能获得的利润至少为多少元？
【答案】（1）（）；（2）①10或20，②325．
【分析】
（1）前三天成本2.1元，每增加1天，每支钢笔的成本增加0.2元，后第天多出成本0.2（x-3），开始生产后第天（）的钢笔成本为每支元列式为：整理即可，
（2）①（出厂价-钢笔成本为每支元）×钢笔产量为（支）=利润列出方程求出x即可
②利用钢笔成本y≤7.5求出最多生产日期，钢笔产量乘以每支钢笔的利润计算即可．
【详解】
（1）化简得其中，
故答案为：（）；
（2）①依题意得：即，
化简得：，
解得：，
所以该企业开始生产后第10天或20天获得的利润为1125元；
②当时，即，
解得：，
最多生产日期为30天，此时利润为：，
答该企业每日能获得的利润至少为325元．
【点睛】
本题考查一次函数解析式，一元二次方程，不等式，掌握一次函数解析式的求法，一元二次方程的解法，不等式解法是解题关键．
22．(本题9分)（2020·湖州市第四中学教育集团）已知关于x的元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值；
（3）请为a选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．
【答案】（1）-4；（2）a＝1或2或4；（3）a=4，此时方程的两个根为
【分析】
（1）把x=-1代入方程求出a即可．
（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．
（3）由根与系数关系和（2）中结论可得出a的值，再代入求解即可．
【详解】
解：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，
∴a﹣3+4+3＝0，
∴a＝﹣4．
（2）由题意△≥0且a≠3，
∴16﹣12（a﹣3）≥0，
解得a≤，
∵a是正整数，
∴a＝1或2或4．
（3）设方程的两个正整数根为，
则也是正整数，
由（2）知，符合条件的a的值只有4，
当a＝4时，方程为x2﹣4x+3＝0，即(x-3)(x-1)=0，
解得．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，根的判别式，根与系数关系．（2）中需注意，利用根的判别式时，一元二次方程的二次项系数不能为0；（3）中需注意两个正整数的和也是正整数．
23．(本题10分)（2016·浙江温州市·九年级月考）（Ⅰ）已知均不为0，且，求的值；
（Ⅱ）已知：，且
，求的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）49
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设，用k表示出a、b、c，然后代入分式化简即可；（Ⅱ）把方程利用分解因式，得到x与y的关系，然后代入计算即可.
试题解析：（Ⅰ）设，则
解得
∴
（Ⅱ）解：∵，
∵（
+）（-7）=0
所以
+=0（舍去）或-7=0
∴-7=0
∴=7
则x=49y
所以=49
考点：分式的化简求值.
试卷第1页，总3页
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2020-2021学年浙江八年级数学下第二章《一元二次方程》常考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级月考）下列方程是一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级月考）已知关于x的一元二次方程有实数根．则下列选项中，a的值可以是（
）
A．0
B．
C．
D．1
3．(本题3分)（2019·浙江嘉兴市·嘉兴一中八年级期中）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（
）
A．50（1+x）?=182
B．50+50（1+x）+50（1+x）?=182
C．50(1+2x)=182
D．50+50(1+x)+550（1+x）?=182
4．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）知是一元二次方程的两个实数根，则的值是（
）
A．1
B．3
C．
D．
5．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）用配方法解一元二次方程时可配方得（
）
A．
B．
C．
D．
6．(本题3分)（2020·浙江杭州市·八年级期末）下列给出的四个命题：
①若
，则；②若a2﹣5a+5=0，则
；③
④若方程x2+px+q=0的两个实根中有且只有一个根为0，那么p≠0，q=0．
其中是真命题是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
7．(本题3分)（2020·宁波市鄞州蓝青学校八年级期末）我们知道方程x2＋2x-3＝0的解是x1＝1，x2＝-3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)-3＝0，它的解是( )．
A．x1＝1，x2＝3
B．x1＝1，x2＝-3
C．x1＝-1，x2＝3
D．x1＝-1，x2＝-3
8．(本题3分)（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知，则的值为（
）
A．8
B．
C．8或
D．8或2
9．(本题3分)（2020·宁波市鄞州蓝青学校八年级期末）过点作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为，这样的直线可以作（
）
A．条
B．条
C．条
D．条
10．(本题3分)（2020·浙江宁波市·八年级期中）若关于x的方程kx2-（k+1）x+1=0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．(本题3分)（2020·宁波市海曙区储能学校八年级期末）已知m
是关于
x的方程
的一个根，则代数式
的值等于____________．
12．(本题3分)（2020·金华市南苑中学月考）等腰的三边长都是一元二次方程的实数根，则的周长是_____
13．(本题3分)（2020·浙江杭州市·九年级）方程的解的个数为________．
14．(本题3分)（2020·浙江宁波市·八年级期中）如图，某小区规划在一个长34m、宽22m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为100m2，那么通道的宽应设计成____m．
15．(本题3分)（2020·宁波外国语学校八年级期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______．
16．(本题3分)（2020·宁波市第十五中学八年级期末）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________．
17．(本题3分)（2017·浙江杭州市）关于的方程两个实根满足，则的值为_______．
三、解答题（本大题共6小题，共49分）
18．(本题6分)（2019·浙江杭州市·八年级其他模拟）解方程：
（1）
（2）
19．(本题8分)（2017·台州市书生中学）已知m是方程的一个实数根，求代数式的值．
20．(本题8分)（2019·浙江杭州市·月考）已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB,AC的长分别为关于x的一元二次方程的两个实数根．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=2时，请判断△ABC的形状并说明理由；
（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．
21．(本题8分)（2019·瑞安市新纪元实验学校期末）某企业接到一批钢笔生产任务，按合同每支钢笔出厂价为8元在开始生产后，前三天进行设备调试，期间每支钢笔的成本为2.1元，调试结束后，每增加1天，每支钢笔的成本增加0.2元，设开始生产后第天（）的钢笔成本为每支元．
（1）关于的关系式为______；
（2）若开始生产后第天（）的钢笔产量为（支），满足关系式：．
①该企业开始生产后第几天获得的利润为1125元？（利润=出厂价一成本）
②为保证获利，当每支钢笔成本超过7.5元时，即要停止生产，则在生产的过程中，该企业每日能获得的利润至少为多少元？
22．(本题9分)（2020·湖州市第四中学教育集团）已知关于x的元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；
（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值；
（3）请为a选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．
23．(本题10分)（2016·浙江温州市·）（Ⅰ）已知均不为0，且，求的值；
（Ⅱ）已知：，且
，求的值．
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