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2020-2021学年浙江八年级数学下第四章《平行四边形》竞赛题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（
）
A．
B．
C．或
D．或或
【答案】D
【分析】
首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．
【详解】
解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，
∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：
故选D．
【点睛】
本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．
2．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】C
【分析】
证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，
∴DE=BE+CD-BC=5，
∴MN=DE=．
故选C．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F．过点O作OD⊥AC于D．下列五个结论：其中正确的有（
）
（1）
EF=BE+CF；
（2）∠BOC=90°+∠A；（3）点O到△ABC各边的距离都相等；（4）设OD=m．若AE十AF
=n，则S△AEF=
mn；（5）S△AEF=S△FOC．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【分析】
由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故①正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设，，则，故③错误；、不可能是三角形的中点，则不能为中位线故④正确．
【详解】
解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故（2）正确；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故（1）正确；
过点作于，作于，连接，
在中，和的平分线相交于点，
，
；故（3）正确，（4）错误；
，，
，不一定等于，
不一定等于．故（5）错误，
综上可知其中正确的结论是（1）（2）（3），
故选：．
【点睛】
此题考查了三角形中位线定理的运用，以及平行线的性质、等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
4．在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度数．
【详解】
解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，
∵四边形ABCF是平行四边形，
∴AB∥CF，AB＝CF，
∴∠NAE＝∠F，
∵点E是的AF中点，
∴AE＝FE，
在△NAE和△CFE中，
，
∴△NAE≌△CFE（ASA），
∴NE＝CE，NA＝CF，
∵AB＝CF，
∴NA＝AB，即BN＝2AB，
∵BC＝2AB，
∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，
∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，
∴DE＝NC＝NE，
∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，
∴∠B＝80°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．
5．如图，四边形为平行四边形，为锐角，的平分线交于点，交的延长线于点，且．若，面积为300，则的长度为（
）
A．30
B．15
C．40
D．20
【答案】B
【分析】
由题意先根据ASA证明△ADF≌△ECF，推出，再证明BE=AB=25，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF⊥AE．设AF=x，BF=y，由∠ABF＜∠BAF可得x＜y，进而根据勾股定理以及△ABE的面积为300列出方程组并解出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC即AD//BE，AB//CD，
∴∠DAF=∠E．
在△ADF与△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴，
∴．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠DAF=∠E，
∴∠BAE=∠E，
∴BE=AB=25，
∵AF=FE，
∴BF⊥AE．
设AF=x，BF=y，
∵∠D为锐角，
∴∠DAB=180°-∠D是钝角，
∴∠D＜∠DAB，
∴∠ABC＜∠DAB，
∴∠ABF＜∠BAF，
∴AF＜BF，x＜y．
则有，解得：或（舍去），
即AF=15．
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理等知识．由题意证明出以及BF⊥AE是解题的关键．
6．如图，的对角线交于点平分交于点连接．下列结论：；平分；；，其中正确的有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】D
【分析】
求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S?ABCD＝AD?BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△BCD中，斜边上的中线DE＝斜边BC的一半，即可得到AD＝BC＝2DE，进而得到AB＝DE；依据OE是中位线，即可得到OE∥CD，因为两平行线间的距离相等，进而得到S△CDE＝S△OCD，再根据OC是△BCD的中线，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC．
【详解】
∵∠BCD＝60°，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝CD＝
AD＝
BC，
∴E是BC的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝
∠CED＝30°，
∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，
∴S?ABCD＝CD?BD＝AB?BD，故①正确；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠ADB＝30°＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD＝AB，故③正确；
∵O是BD的中点，E是BC的中点，
∴OE是△CBD的中位线，
∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，
∵OC是△BCD的中线，
∴S△BOC＝S△COD，
∴S△CDE＝S△BOC，故④正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线、平行线间的距离相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关性质与定理是解题的关键.
7．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝5．正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
由，得出∠BAC=90°，则①正确；由等边三角形的性质得∠DAB=∠EAC=60°，则∠DAE=150°，由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC=DF=AE=4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB=EF=AD=3，得出四边形AEFD是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE=150°，则③正确；∠FDA=180°－∠DFE=30°，过点作于点，，则④不正确；即可得出结果．
【详解】
解：∵，
∴，
∴∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
又∴∠BAC=90°，
∴∠DAE=150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD=BA，BF=BC，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确；
∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，
过点作于点，
∴，
故④不正确；
∴正确的个数是3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平角、周角、平行是四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
8．如图，在平行四边形中，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解】
解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，
∴∠D＝180°?∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，
∵AM＝DM＝DC＝4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝
在Rt△ACN中，∵AC＝，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN＝AC＝
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF＝AG，
∵点G在BC上，∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为：
故选：C
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．
9．如图，小明从点出发，沿直线前进10米后向左转10°再沿直线前进10米后向左转20°再沿直线前进10米后向左转30°……照这样下去，他第一次回到出发地点时，一共走了（
）
A．80米
B．160米
C．300米
D．640米
【答案】A
【分析】
利用多边形的外角和得出小明回到出发地点时左转的次数，即可求出多边形的边数，即可解决问题．
【详解】
解：由题意可知，小明第一次回到出发地点时，他一共转了，由题意得10°+20°
+30°+40°+50°+60°+70°+80°=360°，所以共转了8次，每次沿直线前进10米，所以一共走了80米．
故选：A．
【点睛】
本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，注意多边形的外角和是，要注意第一次转了10°，第二次转了20°，第三次转了30°……，利用好规律解题．
10．如图，为内一点，过点分别作，的平行线，交的四边于、、、四点，若面积为6，面积为4，则的面积为( )
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】
根据平行四边形的性质得到四个平行四边形，且S△?AEP=S△?AGP，S△PHC=S△?PFC，S△ABC=
S△ADC，
利用面积比较的关系即可求出答案.
【详解】
由题意知：四边形BHPE、四边形AEPG、四边形HCFP、四边形GPFD均为平行四边形，
∴S△?AEP=S△?AGP，S△PHC=S△?PFC，S△ABC=
S△ADC，
又S△ABC=S△AEP+S四边形BHPE+S△PHC-S△APC①，
S△ADC=S△AGP+S四边形GPFD+S△PFC+S△APC②，
②-①得，0=S四边形BHPE?-S四边形GPFD+2S△APC，
即2S△APC=6-4=2，
S△APC=1.
故选：C.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，平行四边形一条对角线将平行四边形的面积平分.
评卷人得分
二、填空题
11．在中，，平分交于点，平分交于点，且，则的长为_________．
【答案】18或14
【分析】
根据平行线的性质得到∠DAE＝∠AEB，由AE平分∠BAD，得到∠BAE＝∠DAE，等量代换得到∠BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的判定得到AB＝BE，同理CF＝CD，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
【详解】
解：①如图1，在□ABCD中，
AB＝CD＝8，
AD＝BC，BC∥AD，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵BC∥AD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
同理，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝14，
∴AD＝14；
②如图2，在□ABCD中，
AB＝CD＝8，
AD＝BC，BC∥AD，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵BC∥AD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
同理，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE+CF+EF＝2AB+EF＝18，
∴AD＝18；
综上所述：AD的长为14或18．
故答案为：14或18．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA＝BE，CF＝CD．
12．如图，在等腰三角形中，平分是的中点，则DE的长度为_________
【答案】
【分析】
根据等边三角形三线合一的性质可知点D是BC的中点，DE是△ABC的中位线，根据中位线性质即可求出DE的长．
【详解】
平分
是的中点
故答案为．
【点睛】
本题考查了等边三角形三线合一的性质、三角形中位线的性质，正确应用这些性质是解题额关键．
13．在平行四边形ABCD中，，则平行四边形ABCD的面积等于_____．
【答案】或
【分析】
分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：过作于，
在中，，，
，，
在中，，
，
如图1，
，
平行四边形的面积，
如图2，
，
平行四边形的面积，
如图3，过作于，
在中，设，则，
，，
在中，，
，
，（不合题意舍去），
，
平行四边形的面积，
如图4，
当时，平行四边形的面积，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．
14．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．
【答案】200m
【分析】
如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M，则四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，△ABC是等边三角形，由此即可解决问题．
【详解】
如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M
由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形
∵∠A＝∠B＝60°
∴
∴△ABC是等边三角形
∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH
∴“九曲桥”的总长度是AE+EB＝2AB＝200m
故答案为：200m．
【点睛】
本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
15．已知：点B是线段AC上一点，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边和等边，点M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若AC=6，设BC=2，则线段MN的长是__________．
【答案】
【分析】
如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得，再根据平行线的性质可得，然后利用直角三角形的性质、勾股定理可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】
如图，连接ME，过点M作，交CE延长线于点F，
和都是等边三角形，，
，
，
，
，
点M，N分别是AD，CE的中点，
，
，
四边形ABEM是平行四边形，
，
，
在中，，
，
，
则在中，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键．
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30°②③④，正确的个数是______________
【答案】①②③④
【分析】
①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=和OB的长，可得BD的长；③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理及直角三角形30°角的性质可作判断.
【详解】
解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=AB=，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC=，
∴OA=OC=,
Rt△OAB中，OB=，
∴BD=2OB=，
故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S?ABCD=AB?AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB，
∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，
∴AB=BC=AD,
∴,
故④正确；
本题正确的有：①②③④,4个，
故答案为：①②③④.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质，直角三角形30°角的性质、平行四边形面积的计算，熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键.
17．如图，△ABC的周长为16，D，
E，F分别为AB，
BC，AC的中点，M，N，P分别为DE，
EF，DF的中点，则△MNP的周长为____；如果△ABC，△DEF，△MNP分别为第1个，第2个，第3个三角形，按照上述方法继续做三角形，那么第n个三角形的周长是___．
【答案】4
【分析】
利用中位线定理求出EF、DE、DF与AB、AC、BC的长度关系,可得△EFG的周长是△ABC周长的一半，△MNP的周长是△DEF的周长的一半，以此类推，即可求得第n个三角形的周长．
【详解】
解：如图，△ABC的周长为16，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴EF、DE、DF为三角形中位线，
∴EF=AB，DE=AC，FD=BC
∴EF+DE+DF=（BC+AC+AB），即△DEF的周长是△ABC周长的一半
同理，△MNP的周长是△DEF的周长的一半，即△MNP的周长为16×（）2=4.
以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的16×（）n－１=．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理,掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解答本题的关键．
评卷人得分
三、解答题
18．在等边中，点是线段的中点，与线段相交于点与射线相交于点．
如图1，若，垂足为求的长；
如图2，将中的绕点顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点．求证：．
如图3，将中的继续绕点顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线交于点作于点，若设，写出关于的函数关系式．
【答案】（1）BE＝1；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED＝90°，进而可得∠BDE=30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，根据AAS易证△MBD≌△NCD，则有BM＝CN，DM＝DN，进而可根据ASA证明△EMD≌△FND，可得EM＝FN，再根据线段的和差即可推出结论；
（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM＝DN＝FN＝EM，然后根据线段的和差关系可得BE+CF＝2DM，BE﹣CF＝2BM，在Rt△BMD中，根据30°角的直角三角形的性质可得DM＝BM，进而可得BE+CF＝（BE﹣CF），代入x、y后整理即得结果．
【详解】
解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝4．
∵点D是线段BC的中点，
∴BD＝DC＝BC＝2．
∵DF⊥AC，即∠AFD＝90°，
∴∠AED＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°，
∴∠BED＝90°，∴∠BDE=30°，
∴BE＝BD＝1；
（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，
则有∠AMD＝∠BMD＝∠AND＝∠CND＝90°．
∵∠A＝60°，
∴∠MDN＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°．
∵∠EDF＝120°，
∴∠MDE＝∠NDF．
在△MBD和△NCD中，
∵∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD=CD，
∴△MBD≌△NCD（AAS），
∴BM＝CN，DM＝DN．
在△EMD和△FND中，
∵∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDE＝∠NDF，
∴△EMD≌△FND（ASA），
∴EM＝FN，
∴BE+CF＝BM+EM+CN－FN＝BM+CN＝2BM＝BD＝BC＝AB；
（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3，同（2）的方法可得：BM＝CN，DM＝DN，EM＝FN．
∵DN＝FN，
∴DM＝DN＝FN＝EM，
∴BE+CF＝BM+EM+FN－CN＝NF+EM＝2DM=x+y，
BE﹣CF＝BM+EM﹣（FN－CN）＝BM+NC＝2BM=x－y，
在Rt△BMD中，∵∠BDM=30°，∴BD=2BM，
∴DM＝，
∴，整理，得．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
19．如图①所示，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内的点处.
（1）若，________.
（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想，，之间的数量关系，直接写出结论.
②当点落在四边形外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，，，之间又存在什么关系？请说明．
（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的和是________.
【答案】(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°.
【分析】
（1）根据题意，已知，，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解；
（2）①先根据折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，由两个平角∠AEB和∠ADC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；
②利用两次外角定理得出结论；
（3）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'GF+∠B'FG）以及（∠C'DE+∠C'ED）和（∠A'HL+∠A'LH），再利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】
解：（1）∵，，
∴∠A′=∠A=180°-（65°+70°）=45°，
∴∠A′ED+∠A′DE
=180°-∠A′=135°，
∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A′ED+∠A′DE）=360°-310°=50°；
（2）①,理由如下
由折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，
∵∠AEB+∠ADC=360°，
∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A′DE-∠AED-∠A′ED=360°-2∠ADE-2∠AED，
∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED）=2∠A；
②，理由如下：
∵是的一个外角
∴.
∵是的一个外角
∴
又∵
∴
（3）如图
由题意知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠B'GF+∠B'FG）-（∠C'DE+∠C'ED）-（∠A'HL+∠A'LH）=720°-（180°-∠B'）-（180°-C'）-（180°-A'）=180°+（∠B'+∠C'+∠A'）
又∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，
∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
【点睛】
题主要考查了折叠变换、三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．
20．已知：在平行四边形ABCD中，过点C作CH⊥AB，过点B作AC的垂线，分别交CH、AC、AD于点E、F、G，且∠ABC＝∠BEH，BG＝BC．
（1）若BE＝10，BC＝25，求DG的值；
（2）连接HF，证明：HA＝HF﹣HE．
【答案】（1）15；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先根据平行四边形的性质可得，，再根据邻补角定义、等量代换可得，从而可得，然后根据直角三角形的两锐角互余可得，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得，由此即可得出答案；
（2）如图，先根据三角形全等的判定定理与性质得出，再根据三角形全等的判定定理与性质得出，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得证．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点F作，交BA延长线于点N，
∵，
∴，
∵，，
，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又，
，
即．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的两锐角互余等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰直角三角形是解题关键．
21．如图，四边形OABC中，BC∥AO，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．
（1）当t为何值时，四边形BNMP为平行四边形？
（2）设四边形BNPA的面积为y，求y与t之间的函数关系式．
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）y=4t+2；（3）存在，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．
【分析】
（1）因为BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形，此时点M在点P的左侧，求解即可；
（2）y=（BN+PA）?OC，即可求解；
（3）①当∠MQA为直角时，则△MAQ为等腰直角三角形，则PA=PM，即可求解；②当∠QMA为直角时，则NB+OM=BC=3，即可求解．
【详解】
（1）∵BN∥MP，故当BN=MP时，四边形BNMP为平行四边形．
此时点M在点P的左侧时，即0≤t＜1时，
MP=OP﹣OM=3﹣t﹣2t=3﹣3t，BN=t，
即3﹣3t=t，解得：t=；
（2）由题意得：由点C的坐标知，OC=4，
BN=t，NC=PO=3﹣t，PA=4﹣OP=4﹣（3﹣t）=t+1，
则y=(BN+PA)?OC=(t+t+1)×4=4t+2；
（3）由点A、C的坐标知，OA=OC=4，
则△COA为等腰直角三角形，故∠OCA=∠OAC=45°，
①当∠MQA为直角时，
∵∠OAC=45°，故△MAQ为等腰直角三角形，
则PA=PM，
而PA=4﹣(3﹣t)=t+1，PM=OP﹣OM=(3﹣t)﹣2t=3﹣3t，
故t+1=3﹣3t，解得：t=，则OM=2t=1，
故点M（1，0）；
②当∠QMA为直角时，
则点M、P重合，
则NB+OM=BC=3，即2t+t=3，解得：t=1，
故OM=OP=2t=2，
故点M（2，0）；
综上，点M的坐标为（1，0）或（2，0）．
【点睛】
本题是四边形综合题，涉及坐标与图形、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、图形的面积计算等，复杂度较高，难度较大，其中（3）要分类求解，避免遗漏．
试卷第1页，总3页
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2020-2021学年浙江八年级数学下第四章《平行四边形》竞赛题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（
）
A．
B．
C．或
D．或或
2．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
3．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O．过点O作EF∥BC交AB于E．交AC于F．过点O作OD⊥AC于D．下列五个结论：其中正确的有（
）
（1）
EF=BE+CF；
（2）∠BOC=90°+∠A；（3）点O到△ABC各边的距离都相等；（4）设OD=m．若AE十AF
=n，则S△AEF=
mn；（5）S△AEF=S△FOC．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
4．在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，四边形为平行四边形，为锐角，的平分线交于点，交的延长线于点，且．若，面积为300，则的长度为（
）
A．30
B．15
C．40
D．20
6．如图，的对角线交于点平分交于点连接．下列结论：；平分；；，其中正确的有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
7．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝5．正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．如图，在平行四边形中，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（
）
A．2
B．
C．
D．
9．如图，小明从点出发，沿直线前进10米后向左转10°再沿直线前进10米后向左转20°再沿直线前进10米后向左转30°……照这样下去，他第一次回到出发地点时，一共走了（
）
A．80米
B．160米
C．300米
D．640米
10．如图，为内一点，过点分别作，的平行线，交的四边于、、、四点，若面积为6，面积为4，则的面积为( )
A．
B．
C．1
D．2
二、填空题
11．在中，，平分交于点，平分交于点，且，则的长为_________．
12．如图，在等腰三角形中，平分是的中点，则DE的长度为_________
13．在平行四边形ABCD中，，则平行四边形ABCD的面积等于_____．
14．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．
15．已知：点B是线段AC上一点，分别以AB，BC为边在AC的同侧作等边和等边，点M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若AC=6，设BC=2，则线段MN的长是__________．
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC=60°，，则下列结论：①∠CAD=30°②③④，正确的个数是______________
17．如图，△ABC的周长为16，D，
E，F分别为AB，
BC，AC的中点，M，N，P分别为DE，
EF，DF的中点，则△MNP的周长为____；如果△ABC，△DEF，△MNP分别为第1个，第2个，第3个三角形，按照上述方法继续做三角形，那么第n个三角形的周长是___．
三、解答题
18．在等边中，点是线段的中点，与线段相交于点与射线相交于点．
如图1，若，垂足为求的长；
如图2，将中的绕点顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点．求证：．
如图3，将中的继续绕点顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线交于点作于点，若设，写出关于的函数关系式．
19．如图①所示，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内的点处.
（1）若，________.
（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想，，之间的数量关系，直接写出结论.
②当点落在四边形外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，，，之间又存在什么关系？请说明．
（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的和是________.
20．已知：在平行四边形ABCD中，过点C作CH⊥AB，过点B作AC的垂线，分别交CH、AC、AD于点E、F、G，且∠ABC＝∠BEH，BG＝BC．
（1）若BE＝10，BC＝25，求DG的值；
（2）连接HF，证明：HA＝HF﹣HE．
21．如图，四边形OABC中，BC∥AO，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．
（1）当t为何值时，四边形BNMP为平行四边形？
（2）设四边形BNPA的面积为y，求y与t之间的函数关系式．
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，总3页
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