浙教版九年级下册数学 2.2：切线长定理 同步练习（word含解析）

2.2切线长定理 同步练习
一．选择题
1．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为（　　）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
2．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD＝6，则CB长（　　）
A．4 B．5 C．6 D．无法确定
3．图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（　　）
A． B． C． D．
4．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（　　）
A．40° B．140° C．70° D．80°
5．如图，在?ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE＝5，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
6．如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（　　）
A．50° B．62° C．66° D．70°
7．如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（　　）
A． B． C． D．1
8．如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝6，以AB为直径的半⊙O切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（　　）
A．9 B．10 C．3 D．2
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　）
A． B．3 C．3 D．
10．如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（　　）
A．AB＞CE＞CD B．AB＝CE＞CD C．AB＞CD＞CE D．AB＝CD＝CE
二．填空题
11．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是　 　cm．
12．已知：PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，点C是⊙O上异于A、B的一点，过点C作⊙O的切线分别交PA和PB于点D、E，若PA＝10cm，DE＝7cm，则△PDE的周长为　 　cm．
13．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为　 　．
14．已知：PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA＝15cm，那么△PEF周长是　 　 cm．若∠P＝50°，那么∠EOF＝　 　．
15．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，
已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为　 　．
三．解答题
16．如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别为点A、B、E，若△PCD的周长为18cm，∠APB＝60°，求⊙O的半径．
17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．
（1）求证：AO2＝AE?AD；
（2）若AO＝4cm，AD＝5cm，求⊙O的面积．
18．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PB＝PA＝10cm，
∵EA与EC为⊙的切线，
∴EA＝EC，
同理得到FC＝FB，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PE+EC+FC+PF
＝PE+EA+FB+PF
＝PA+PB
＝10+10
＝20（cm）．
故选：C．
2．解：方法1、
设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH．
设CD＝y，CB＝x．
设S梯形ABCD＝S
则S＝（CD+AB）R＝（y+10）R﹣﹣﹣﹣（1）
S＝S△BOC+S△COD+S△DOA
＝xR+yR+×6R﹣﹣﹣﹣（2）
联立（1）（2）得x＝4；
方法2、连接OD．OC
∵AD，CD是⊙O的切线，
∴∠ADO＝∠ODC，
∵CD∥AB，
∴∠ODC＝∠AOD，
∴∠ADO＝∠AOD
∴AD＝OA
∵AD＝6，
∴OA＝6，
∵AB＝10，
∴OB＝4，
同理可得
OB＝BC＝4，
故选：A．
3．解：取BC的中点O，则O为圆心，连接OE，AO，AO与BE的交点是F
∵AB，AE都为圆的切线
∴AE＝AB
∵OB＝OE，AO＝AO
∴△ABO≌△AEO（SSS）
∴∠OAB＝∠OAE
∴AO⊥BE
在直角△AOB里AO2＝OB2+AB2
∵OB＝1，AB＝3
∴AO＝
易证明△BOF∽△AOB
∴BO：AO＝OF：OB
∴1：＝OF：1
∴OF＝
sin∠CBE＝＝
故选：D．
4．解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP＝90°，
同理∠OBP＝90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠ACB＝∠AOB＝70°．
故选：C．
5．解：连接CE；
∵，
∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；
∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，
由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，
由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，
∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，
∴AD＝5；
由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，
故选：D．
6．解：∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，
∴CE＝CA，DE＝DB，
∴∠CAE＝∠CEA，∠DEB＝∠DBE，
∴∠PCD＝∠CAE+∠CEA＝2∠CAE，∠PDC＝∠DEB+∠DBE＝2∠DBE，
∴∠CAE＝∠PCD，∠DBE＝∠PDC，
即∠PAE＝∠PCD，∠PBE＝∠PDC，
∵∠P＝40°，
∴∠PAE+∠PBE＝∠PCD+∠PDC＝（∠PCD+∠PDC）＝（180°﹣∠P）＝70°．
故选：D．
7．解：连OM，ON，如图
∵MD，MF与⊙O相切，
∴∠1＝∠2，
同理得∠3＝∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C＝360°，AB＝AC
∴∠2+∠3+∠B＝180°；
而∠1+∠MOB+∠B＝180°，
∴∠3＝∠MOB，即有∠4＝∠MOB，
∴△OMB∽△NOC，
∴＝，
∴BM?CN＝BC2，
∴＝．
故选：B．
8．解：作DH⊥BC于H，如图，
∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴AD和BC为⊙O 切线，
∵CD和MN为⊙O 切线，
∴DE＝DA＝2，CE＝CB，NE＝NF，MB＝MF，
∵四边形ABHD为矩形，
∴BH＝AD＝2，DH＝AB＝6，
设BC＝x，则CH＝x﹣2，CD＝x+2，
在Rt△DCH中，∵CH2+DH2＝DC2，
∴（x﹣2）2+62＝（x+2）2，解得x＝，
∴CB＝CE＝，
∴△MCN的周长＝CN+CM+MN
＝CN+CM+NF+MF
＝CN+CM+NF+MB
＝CE+CB
＝9．
故选：A．
9．解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（﹣6，0）、B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∴AB＝6
∴OP＝AB＝3，
∵OQ＝2，
∴PQ＝＝，
故选：D．
10．解：∵∠1＝60°，∠2＝65°，
∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣65°＝55°，
∴∠2＞∠1＞∠ABC，
∴AB＞BC＞AC，
∵CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，
∴AC＝CD，BC＝CE，
∴AB＞CE＞CD．
故选：A．
二．填空题
11．解：∵∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴∠OAB＝∠CAB＝60°
∵AB＝3cm，
∴OA＝6cm，
∴由勾股定理得OB＝3cm，
∴光盘的直径6cm．
故答案为：6．
12．解：分两种情况：
①点C在劣弧AB上时，如图，
当根据切线长定理得：AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，
则△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+CD+CE+PE＝PD+AD+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝20cm．
②点C在优弧AB上时，如图，
当根据切线长定理得：AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，
则△PDE的周长＝PD+DE+PE＝2PA+2DE＝20+2×7＝34cm．
综上，△PDE的周长为 20或34cm．
故答案为：20或34．
13．解：延长CD交⊙O于点G，
设BE，DG的中点分别为点M，N，则易知AM＝DN，
∵BC＝CD＝10，由割线定理得，CB?CF＝CD?CG，
∵CB＝CD，
∴BF＝DG，
∴BE﹣BF＝BE﹣DG＝2（BM﹣DN）＝2（BM﹣AM）＝2AB＝4．
故答案为：4．
14．解：∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，
∴PA＝PB＝15cm，ED＝EA，FD＝DB，
∴PE+EF+PF＝PE+ED+PF+FD＝PA+PB＝30（cm）即△PEF周长是30cm；
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
而∠P＝50°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°；
连OD，如图，
∴∠ODE＝∠ODF＝90°，
易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠AOB＝65°，则∠EOF＝65°．
15．解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，
∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）．
故答案是：20cm．
三．解答题
16．解：连接OA，OP，则OA⊥PA，
根据题意可得：CA＝CE，DE＝DB，PA＝PB，
∵PC+CE＝DE+PD＝18，
∴PC+CA+DB+PD＝18，
∴PA＝×18＝9（cm），
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠APB＝30°，
在Rt△AOP中，PO＝2AO，AO＞0，
故OA2+92＝（2AO）2，
解得：OA＝3，
故⊙O的半径为：3cm．
17．（1）证明：根据切线长定理可知：
∵∠OAE+∠ODA＝（∠BAD+∠ADC）＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∵∠OAE＝∠OAE，∠AOD＝∠AEO＝90°，
∴△AOE∽△ADO，
∴＝，
即AO2＝AE?AD；
（2）解：在Rt△AOD中，
OD＝＝3（cm），
∵S△AOD＝×AD×EO＝×AO×OD
即5×EO＝4×3，
∴EO＝（cm），
∵OE是⊙O的半径，
∴S圆O＝πr2＝π（cm2）．
18．（1）答：△OBC是直角三角形．
证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴∠OBE＝∠OBF＝∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝∠GCF，
∵AB∥CD，
∴∠EBF+∠GCF＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是直角三角形；
（2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8，
∴BC＝＝10；
（3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴OF⊥BC，
∴OF＝＝＝4.8．