第2章 一元二次方程单元测试卷（含解析）

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八年级数学下册
一元二次方程
单元测试卷
（满分100分）
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
下列方程为一元二次方程的是（　　）
A.
x2-3=x（x+4）
B.
x2-=3
C.
x2-10x=-5
D.
4x+6xy=33
方程x2＝-x的解是（???
）
A.
1
B.
-1
C.
1或0
D.
-1或0
一元二次方程kx2-2x-2=0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A.
k≥-且k≠0
B.
k≥-1
C.
k≤-1且k≠0
D.
k≥-1或k≠0
关于x的方程x2+5x+m＝0的一个根为﹣2，则另一个根是（
）
A.
﹣6
B.
﹣3
C.
3
D.
6
等腰三角形的三边均满足方程x2-7x+10=0，该等腰三角形的周长是（　　）
A.
12
B.
12或9
C.
12或6或15
D.
12或9或6或15
在一次数学兴趣小组活动中，每两名学生握手一次，但小明因中途有事离开，他记得有3人没有和他握过手，经统计所有握手共42次．若设参加活动的学生为x名，据题意可列方程为（　　）
A.
x（x-1）-3=42
B.
C.
D.
已知（x2+y2+2）（x2+y2+4）=15，则x2+y2的值为（　　）
A.
-7或1
B.
1
C.
-7
D.
7或-1
一面足够长的墙，用总长为30米的木栅栏图中的虚线围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样三块，若要围成的矩形面积为54平方米，设垂直于墙的边长为x米，则x的值为（
）
3
B.
4
C.
3或5
D.
3或
若是方程+2x+c=0(a0)的一个根,设M=1-ac,N=,则M与N的大小关系为(
)
A.
M>N
B.
M=N
C.
M
D.
无法确定
定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1、[-1.4]=-2、[-3]=-3.函数y=[x]的图象如图所示，则方程[x]=在-2≤x＜2时的解为（?
?
?
）
???????
A.
0或
B.
0或2
C.
1或-
D.
或-
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
关于x的方程（k+1）x|k-1|+kx+1=0是一元二次方程，则k的值为______
.
已知a是方程x2-3x-1=0的一个根，则代数式-2a2+6a-3的值是______
.
已知方程x2+5x-6=0的解是x1=1，x2=-6，则方程（2x+3）2+5（2x+3）-6=0的解是______
.
已知非零有理数x、y满足x2-4xy+3y2=0，则=______．
如图，在一个长20m，宽10m的矩形草地内修建宽度相等的小路（阴影部分），若剩余草地（空白部分）的面积171m2，则小路的宽度为______m．
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　　个.
①方程x2-x-2=0是倍根方程；
②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；
③若p、q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；
④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac.
关于x的一元二次方程x2＋2（m－1）x＋m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是?
?
?
?
?。
如图，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．当△ABP是直角三角形时，t的值为____________________．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
用适当的方法解下列方程
（1）（2x+1）2=3（2x+1）
（2）3x2-3x-1=0.
四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
如图是一张长24
cm，宽12
cm的矩形铁皮，将其剪去一个小正方形和两个矩形，剩余部分（阴影部分）恰好可制成一个有盖的长方体铁盒．
（1）a＝________；
（2）若铁盒底面积是80
cm2，求剪去的小正方形边长．
随着全球疫情的爆发，医疗物资的极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：
（1）求每天增长的百分率；
（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天，现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
如图，在△ABC中．∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果点P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
（2）在（1）中△PBQ的面积能否等于7？请说明理由．
如图，四边形
ACDE
是证明勾股定理时用到的一个图形，a
、b
、c
是
Rt△ABC和
Rt△BED
的边长，已知，这时我们把关于
x
的形如二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于
x
的“勾系一元二次方程”，必有实数根；
(3)若
x
=-1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形
ACDE
的周长是6，求△ABC
的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、方程化简得：4x+3=0，是一元一次方程，不符合题意；
B、x2-=3为分式方程，不符合题意；
C、x2-10x=-5是一元二次方程，符合题意；
D、4x+6xy=5是二元二次方程，不符合题意．
2.【答案】D
【解析】解：方程
x2=-x，
移项，x2+x=0，
提公因式，x（x+1）=0，
得，x=0，x+1=0，
解得，x1=0，x2=-1
3.【答案】A
【解析】解：∵一元二次方程kx2-2x-2=0有实数根，
∴△=b2-4ac=（-2）2-4k×（-2）=4+8k≥0，k≠0，
解得：k≥-且k≠0
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4.【答案】B
【解析】解：设方程的另一个根为n，
则有-2+n=-5，
解得：n=-3．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵x2-7x+10=0，
∴（x-2）（x-5）=0．
∴x-2=0或x-5=0．
解得x=2或x=5．
当等腰三角形的腰长为2，底长为5时，由于2+2＜5，构不成三角形；
当等腰三角形的腰长为2，底长为2时，该等腰三角形的周长为2+2+2=6；
当等腰三角形的腰长为5，底长为2时，该等腰三角形的周长为：5+5+2=12；
当等腰三角形的腰长为5，底长为5时，该等腰三角形的周长为：5+5+5=15．
先求解一元二次方程，再根据等腰三角形分类讨论．
6.【答案】C
【解析】解：参加此会的学生为x名，每个学生都要握手（x-1）次，
∴可列方程为x（x-1）-3=42
每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：×学生数×（学生数-1）=总握手次数，把相关数值代入即可求解．
7.【答案】B
【解析】解：设t=x2+y2（t≥0），则原方程转化为（t+2）（t+4）=15，
整理，得（t+7）（t-1）=0．
解得t=-7（舍去）或t=1．
所以x2+y2的值为1．
本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
8.【答案】D
【解析】解：设垂直于墙的边长为x米，由题意可得，
x（30-4x）=54，整理得：2x2-15x+27=0，
解得：x1=4.5，x2=3，
即x的值为：3或4.5.
9.【答案】B
【解析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=-c，作差法比较可得．
解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=-c，
则N-M=（ax0+1）2-（1-ac）
=a2x02+2ax0+1-1+ac
=a（ax02+2x0）+ac
=-ac+ac
=0，∴M=N.
10.【答案】A
【解析】本题主要考查的是新定义，函数的图象的有关知识，根据新定义和函数图象讨论；然后分别解关于x的一元二次方程即可.
解:当1x<2时,=1,解得=,=-(舍去);
当0x<1时,=0,解得x=0;
当-1x<0时,=-1,方程没有实数解;
当-2x<-1时,=-2,方程没有实数解;
所以方程[x]=的解为0或
11.【答案】3
【解析】解：由题意得，，
解得k=3．
一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
12.【答案】-5
【解析】解：∵a是方程x2-3x-1=0的一个根，
∴a2-3a-1=0，
整理得，a2-3a=1，
∴-2a2+6a-3=-2（a2-3a）-3
=-2×1-3
=-5
根据方程的根的定义，把x=a代入方程求出a2-3a的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．
13.【答案】x1=-1，x2=-
【解析】解：把方程（2x+3）2+5（2x+3）-6=0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3=1或2x+3=-6，
所以x1=-1，x2=-．
14.【答案】0或
【解析】解：∵非零有理数x、y满足x2-4xy+3y2=0，
∴（x-y）（x-3y）=0，
则x-y=0或x-3y=0，
所以x=y或x=3y，
当x=y时，=0；
当x=3y时，═==；
综上，=0或
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
15.【答案】1
【解析】解：设小路的宽度为xm，根据题意列方程得
（20-x）（10-x）=171，
整理得：x2-30x+29=0
解得：x1=1，x2=29（不合题意，舍去）．
故小路的宽度为1m．
16.【答案】3
【解析】解：①解方程x2-x-2=0得，x1=2，x2=-1，得，x1≠2x2，
∴方程x2-x-2=0不是倍根方程；故①不正确；
②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，x1=2，
因此x2=1或x2=4，
当x2=1时，m+n=0，
当x2=4时，4m+n=0，
∴4m2+5mn+n2=（m+n）（4m+n）=0，
故②正确；
③∵pq=2，则px2+3x+q=（px+1）（x+q）=0，
∴，x2=-q，
∴，
因此是倍根方程，故③正确；
④方程ax2+bx+c=0的根为：，，
若x1=2x2，则，
即，
∴，
∴，
∴，
∴9（b2-4ac）=b2，
∴2b2=9ac．
若2x1=x2时，则，
则，
∴，
∴，
∴，
∴b2=9（b2-4ac），
∴2b2=9ac．
故④正确，
∴正确的有：②③④共3个．
17.【答案】且m≠0
【解析】解：∵△=[2（m-1）]2-4m2=-8m+4≥0，
∴m≤，
?∵x1+x2=-2（m-1）＞0，x1x2=m2＞0,
∴m＜1，m≠0
∴m≤且m≠0．
18.【答案】1或.
【解析】此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．根据题意分三种情况考虑：当∠A=90°；当∠B=90°；当∠APB=90°，根据△ABP为直角三角形，分别求出t的值即可．
解：分三种情况考虑：
①当∠A=90°，即△ABP为直角三角形时，
∵∠BOC＞∠A，且∠BOC=60°，
∴∠A≠90°，故此情况不存在；
②当∠B=90°，即△ABP为直角三角形时，如图所示：
∵∠BOC=60°，
∴∠BPO=30°，
∴OP=2OB=2，
∵OP=2t，
∴t=1；
③当∠APB=90°，即△ABP为直角三角形时，过P作PD⊥AB，
∵∠BOC=60°，
∴∠OPD=30°，
∴OD=PO=×2t=t，PD=PO=t，
∴AD=AO+OD=2+t，BD=OB-OD=1-t，即AB=3，
在Rt△ABP中，AP2+BP2=AB2，即（2+t）2+（t）2+（t）2+（1-t）2=32，
解得：t=（负值舍去），
综上，当t=1或t=时，△ABP是直角三角形．
19.【答案】解：（1）（2x+1）2-3（2x+1）=0，
（2x+1）（2x+1-3）=0，
2x+1=0或2x+1-3=0，
所以x1=-，x2=1；
（2）△=（-3）2-4×3×（-1）=21，
x=，
所以x1=，x2=．
【解析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用求根公式法解方程．
20.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=-1是方程的根，
∴（a+c）×（-1）2-2b+（a-c）=0，
∴a+c-2b+a-c=0，
∴a-b=0，∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，
∴4b2-4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】（1）根据方程解的定义把x=-1代入方程得到（a+c）×（-1）2-2b+（a-c）=0，整理得a-b=0，即a=b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）根据判别式的意义得到△=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，整理得a2=b2+c2，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
21.【答案】解：（1）12；
（2）设剪去的小正方形边长为xcm，由题意可得方程为：
（12-2x）（12-x）=80，
解得：x1=2，x2=16，
又x2=16＞12，不合题意，舍去.
答：剪去的小正方形边长为2cm．
【解析】（1）根据图形可知，2a=24，求解即可；
（2）设剪去的小正方形边长为xcm，由题意可得方程（12-2x）（12-x）=80，求解即可.
22.【答案】解：（1）设每天增长的百分率为x，
依题意，得：500（1+x）2=720，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率为20%；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万件/天，
依题意，得：（1+m）（1500-50m）=6500，
解得：m1=4，m2=25．
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m=4．
答：应该增加4条生产线．
【解析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万件/天，根据每天生产口罩6500万件，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
23.【答案】解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则BQ=2x，BP=5-x，
根据题意得出：×2x×（5-x）=4，
解得：x1=1，x2=4（不合题意舍去），
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）不能，
由题意可得出：×2x×（5-x）=7，
整理得出：x2-5x+7=0，
b2-4ac=25-4×7=-3＜0，
∴此方程无实数根，则△PBQ的面积不能等于7．
【解析】（1）设x秒后△PBQ的面积等于4cm2，进而表示出BP，BQ的长，即可得出答案；
（2）根据（1）中解法表示出△PBQ的面积，利用根的判别式，即可得出答案．
24.【答案】解：（1）当a=3，b=4，c=5时，勾系一元二次方程为；
（2）依题意得=（）2-4ab=2c2-4ab，
∵a2+b2=c2，
∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，即≥0，故方程必有实数根；
（3）把x=-1代入得a+b=c，
∵四边形
ACDE
的周长是6，
即2(a+b)+?c=6，
故得到c=2，
∴a2+b2=4，a+b=2，
∵(a+b)2=
a2+b2+2ab，
∴ab=2，
故ABC的面积为ab=1.
【解析】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.
（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）根据根的判别式即可求解；
（3）根据方程的解代入求出a，b，c的关系，再根据完全平方公式的变形进行求解.
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精品试卷·第
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