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2020-2021学年浙江八年级数学下第五章《特殊平行四边形》竞赛题
一、选择题
如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
【答案】A
【解析】解：点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，
、NF、FM、ME分别是、、、的中位线，
，，，，
四边形EMFN为平行四边形，
当时，，
平行四边形ABCD是菱形；
当时，，
则，
菱形EMFN是正方形；
故选：A．
证出EN、NF、FM、ME分别是、、、的中位线，得出，，，，证出四边形EMFN为平行四边形，当时，，得出平行四边形ABCD是菱形；当时，，则，即可得出菱形EMFN是正方形．
本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定以及三角形中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在处，D点落在处，若，则
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，角的计算．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
利用折叠的性质，相重合的角相等，然后利用平角定理求出角的度数．
【解答】
解：，
．
．
．
故选D．
如图，在正方形OABC中，点B的坐标是，点E、F分别在边BC、BA上，若，则F点的纵坐标是
A.
1
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理有关知识，如图连接EF，延长BA使得，则≌先证明≌，推出，设，在中利用勾股定理列出方程即可解决问题．
【解答】
解：如图连接EF，延长BA使得，则≌，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，设，
，
，，，
，
，
点F的纵坐标为．
故选B．
如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为
A.
B.
2
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了四边形综合题，涉及到正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形三边关系、勾股定理等知识确定出使PC长取最小值时点P的位置是解题关键．先证明，得出，证出，得出当动点M、N运动时，始终是直角三角形，取AB的中点O，连OP，由直角三角形斜边上的中线性质得出，当点C、P、O在同一直线上时，有，可得PC的长最小，在中，由勾股定理求出OC的长，即可得出PC长的最小值．
【解答】
解：由题意得：，
四边形ABCD是正方形，
，，
在和中，
，，，
，
，
，
，
，
因此当动点M、N运动时，是直角三角形，
取AB的中点O，连OP，则，
即当动点M、N运动时，OP的长度始终为2，
当点C、P、O在同一直线上时，由，可得PC的长最小．
在中，由勾股定理得：，
，即PC长的最小值为．
故选A．
如图，以的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是
A.
若为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形
B.
若，则四边形ADEG是矩形
C.
若，则四边形ADEG是菱形
D.
若且，则四边形ADEG是正方形
【答案】B
【解析】解：A、四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
，，，．
同为的余角．
在和中，
，
≌，
，．
是正方形ABDI的对角线，
．
，
，
，
，
四边形ADEG是平行四边形一组对边平行且相等，正确，故本选项不符合题意；
B、四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，
，，
，
，
四边形ADEG是平行四边形，
四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；
C、四边形ADEG是平行四边形，
若要四边形ADEG是菱形，则需，即．
，
当，即时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；
D、当时，，即平行四边形ADEG是平行四边形，
当，即时，四边形ADEG是菱形，
四边形ADEG是正方形，
即当且时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据全等三角形的判定定理SAS证得≌，由≌，可得全等三角形的对应边然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知，易证，即可判断A；求出，根据矩形的判定即可判断B；然后由周角的定义求得；根据和菱形的判定即可判断C；根据正方形的判定即可判断D．
本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是．
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，，将沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若，则点D的坐标为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查坐标与图形的性质，翻折问题，点的坐标的确定，勾股定理，角的直角三角形，矩形的性质等知识的综合运用．过D点作轴，垂足为F，则轴，由矩形的性质及角的直角三角形的性质可求解，，，结合折叠的性质可求解AD的长，进而求解ED，由勾股定理可求解EF，DF，即可求解OF，进而求解D点坐标．
【解答】
解：过D点作轴，垂足为F，则轴，
四边形AOCB为矩形，
，，，
，
，，
由折叠可知：，，
，
，，
，
轴，
，
，，
，
点坐标为，
故选：B．
如图，正方形ABCD的边长为，E在正方形外，，过D作于H，直线DH，EC交于点M，直线CE交直线AD于点，则下列结论正确的是
；；；
若，则。
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】C
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，故正确，
，
圆周角定理，
，
，
，故正确，
如图，作交PM于F，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，故正确，
若，则易知，，
在中，，
，，
，
，故错误．
故选：C．
利用等腰三角形的性质即可证明．根据，利用圆周角定理可知，即可解决问题．如图，作交PM于F，证明≌即可解决问题．解直角三角形求出可得结论．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
在矩形ABCD中，，，以CD为边在矩形外部作，且，连接BE，则的最小值为
A.
18
B.
C.
10
D.
【答案】C
【解析】解：如图所示，过点E作CD平行线FG，作D关于FG的对称点，连接，则，
，
当B，E，在同一直线上时，的最小值等于线段的长，
，，
，
，
，，
又，，
中，，
的最小值为10，
故选：C．
过点E作CD平行线FG，作D关于FG的对称点，连接，则当B，E，在同一直线上时，的最小值等于线段的长，依据勾股定理求得的长，即可得到的最小值．
本题主要考查了三角形的面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题
如图，在中，，分别以CD，DE为边在外部作正方形ABCD和正方形DEFG，若，，则
______
．
【答案】10
【解析】解：如图所示，过G作，交AD的延长线于H，则，
又，
，
四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
又，
，即，
，
中，，
，
故答案为：10．
过G作，交AD的延长线于H，则，利用正方形的性质，即可判定≌，进而得到，再根据，，即可得到DE的长，即可得到正方形DEFG的面积．
本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段BC，CD上的点，且为正三角形，则的面积为______．
【答案】
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，，
是等边三角形，
，
在和中，
≌，
，
，
设，那么，，
在中，，
在中，，
，
，
，
，而，
，
即BE的长为，
．
的面积，
故答案为：．
由于四边形ABCD是正方形，是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明≌，再根据全等三角形的性质得到，设，那么，，解方程得到BE，CE的长，根据三角形和正方形的面积公式即可得到结论．
此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出一元二次方程是解决问题的关键．
如图，边长为的正方形ABCD内有一点P，且，，在正方形ABCD的边上有一点Q，且为等腰三角形，则符合条件的点Q有___个．
【答案】5
【解析】
【分析】
本题主要考查正方形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键，分三种情况进行讨论即可得出结论．
【解答】
解：当时，过AP的中点作垂直平分线，与正方形有两个交点，符合条件的点Q有2个，
当时，过点A作半径为2的圆，与正方形有两个交点，但有一个点与重合符合条件的点Q有1个；
当时，过点P作半径为2的圆，与正方形有四个交点，A点除外，有一个点与重合符合条件的点Q有2个，
由上可得符合条件的点Q有5个．
故答案为5．
如图，将边长为9的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边上点E处，，点A落在点F处，折痕为MN，则线段AM的长是______
【答案】2
【解析】
【分析】
本题主要考查了翻折问题，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的．本题中是解题关键，再利用勾股定理、全等三角形的知识就迎刃而解．在中，利用勾股定理与折叠性质，求出CN的长度；过点M作于点C，证明≌，得到，从而求出DG，即AM的长度．
【解答】
解：设，则．
由折叠可知，．
在中，，，，
由勾股定理得：，即，
解得：，
；
如图，过点M作于点G，
则由题意可知，．
连接DE，交MG于点I．
由折叠可知，，，
，对顶角相等，
．
在与中，
≌．
，
．
．
故答案为2．
四边形ABCD中，，，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的判定和矩形对边相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中构造矩形AEFG是解题的关键．
作，，，则四边形AEFG为矩形，，因为为直角三角形，所以，根据直角和直角即可求AE，BE，CF，FD．
【解答】
解：作，，，
则四边形AEFG四个内角均为直角，
四边形AEFG为矩形，，
，，
，
，，
，，
，
故答案为．
如图，，以AB，BD为边作，连接CE，若，，则CE为__．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
过点B作，且，连接DF，CF，AF，可证四边形BDCF是矩形，可得，，，可证四边形AECF是平行四边形，可得，由四点共圆可证，由勾股定理可求AF的长，即可求CE的长．
解：如图，过点B作，且，连接DF，CF，AF，
，
四边形BDCF是平行四边形，且
四边形BDCF是矩形
，，
四边形ABDE是平行四边形
，
，
四边形AECF是平行四边形
，
，
点A，点B，点C，点D四点共圆
，
四边形BDCF是矩形
，
，
点A，点F，点C，点D四点共圆
故答案为
三、解答题
已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点不与C、D重合连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作交AE于点G．
若点F在边CD上，如图
证明：；
猜想的形状并说明理由．
取DF中点M，连接若，正方形边长为4，求BE的长．
【答案】解：证明：四边形ABCD是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
；
结论：是等腰三角形，
理由：≌，
，
，
，
，
，，
，
，
是等腰三角形．
如图当点F在线段CD上时，连接DE．
，，，
，
，
，，
，
在中，，
．
当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．
同法可GM是的中位线，
，
在中，，
．
综上所述，BE的长为7或1．
【解析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
只要证明≌，即可解决问题；
只要证明，即可解决问题；
分两种情形解决问题，当点F在线段CD上时，连接当点F在线段DC的延长线上时，连接分别求出EC即可解决问题；
如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，且，。E为BC边上一点，将矩形沿直线CE折叠，B点恰巧与x轴上的D点重合。
求E点的坐标；
是射线CE上一点，是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，直接写出CP的长；若不存在，请说明理由。
【答案】解：，，E为BC边上一点，将矩形沿直线CE折叠，B点恰巧与x轴上的D点重合，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
，
点的坐标为；
是等腰三角形，
则如图，
由得，，
当时，
过P作，
为BE的中点，
，
，，
，
；
如图，
当时，
过B作，
，
，
，
，
，
则；
如图，
当时，
，
；
如图，
时，
则，
．
综上：使得是等腰三角形时，CP的长为．
【解析】本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
根据折叠的性质，可得，，根据勾股定理，可得OD的长，根据线段的和差，可得DA的长，再根据勾股定理，可得EA的长，可得E点坐标；
根据等腰三角形的性质，可分为四种情况进行解答，分别为时，时，时，时，根据三角形的面积及勾股定理即可得出四种情况下的CP的长．
在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
?
?
?图1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?图2
如图1，当点E与点D重合时，__________________；
如图2，当点E在线段CD上时，，求AG的长；
若，请直接写出此时DE的长．
【答案】解：；
过点G作交其延长线于点H，
四边形ABCD和BEFG都是正方形
，
?
?
在中
，
由题意得：，
在中，；
的长是．
【解析】
【分析】
本题主要考查了四边形的综合、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定和性质及勾股定理是解题的关键．
过点G作交其延长线于点H，证全等，可得，利用勾股定理可求AG的长；
过点G作交其延长线于点H，证全等，可得，利用勾股定理可求AG的长；
方法同和，要分两种情况．
【解答】
解：过点G作交其延长线于点H，如图1，
四边形ABCD和BEFG都是正方形，
，
?
，
?
在中
，
在中，；
见答案；
如图，分两种情况讨论；
过点G作交其延长线于点H，
四边形ABCD和BEFG都是正方形
，
?
?
在中
，
在中，，
；
如图3，同理可证；
综上所述，DE的长是．
如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
如图1，若点E是边BC的中点，M是边AB的中点，连接EM，求证：．
如图2，若点E在线段BC上滑动不与点B，C重合．
在点E滑动过程中，是否一定成立？请说明理由；
在如图所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在直线上，求此时点F的坐标．
【答案】证明：
，，
，
又、E为中点，
，且CF平分，
，
在和中
≌，
；
解：若点E在线段BC上滑动时一定成立．
证明：图2中，在AB上截取，连接ME，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又平分是角平分线，
，
，
，，
，
在和中
≌，
；
设，过F作轴于H，作于G，如图3，
?则，
为角平分线，
，
，解得，
当时，，
点坐标为
【解析】由条件可证明≌，可证得结论；
在AB上截取，连接ME，由条件可证明≌，可证明；设，过F作轴于H，作于G，则可用a表示出CH、FH，由角平分线的性质可得到关于a的方程，可求得a的值，可求得F的坐标．
本题为一次函数的综合应用，涉及正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及方程思想等知识．在中证明三角形全等是解题的关键，在中构造三角形全等是关键，在中根据角平分线的性质得到关于F点坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．
在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，．
Ⅰ如图，求点E的坐标；
Ⅱ将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为，，，设，矩形与重叠部分的面积为S．
如图，当矩形与重叠部分为五边形时，，分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
当时，求t的取值范围直接写出结果即可．
【答案】解：Ⅰ点，
，
，
，
四边形CODE是矩形，
，
，
在中，，
，
，
点E的坐标为；
Ⅱ由平移的性质得：，，，，
，
在中，，
，
，
，
，
，其中t的取值范围是：；
当时，如图所示：
，
，，
，
，
解得：或舍去，
；
当时，如图所示：
，，
，，
，
解得：，
当时，t的取值范围为．
【解析】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含角的直角三角形的性质时是解题的关键．
Ⅰ由已知得出，由矩形的性质得出，在中，，由勾股定理得出，即可得出答案；
Ⅱ由平移的性质得：，，，，得出，在中，，，求出，，即可得出答案；
当时，，由直角三角形的性质得出，得出方程，解方程即可；
当时，，，由直角三角形的性质得出，，由梯形面积公式得出，解方程即可．
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2020-2021学年浙江八年级数学下第五章《特殊平行四边形》竞赛题
一、选择题
如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
如图，矩形纸片ABCD，M为AD边的中点将纸片沿BM、CM折叠，使A点落在处，D点落在处，若，则
A.
B.
C.
D.
如图，在正方形OABC中，点B的坐标是，点E、F分别在边BC、BA上，若，则F点的纵坐标是
A.
1
B.
C.
D.
如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为
A.
B.
2
C.
D.
如图，以的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是
A.
若为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形
B.
若，则四边形ADEG是矩形
C.
若，则四边形ADEG是菱形
D.
若且，则四边形ADEG是正方形
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，，将沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若，则点D的坐标为
A.
B.
C.
D.
如图，正方形ABCD的边长为，E在正方形外，，过D作于H，直线DH，EC交于点M，直线CE交直线AD于点，则下列结论正确的是
；；；
若，则。
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
在矩形ABCD中，，，以CD为边在矩形外部作，且，连接BE，则的最小值为
A.
18
B.
C.
10
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
如图，在中，，分别以CD，DE为边在外部作正方形ABCD和正方形DEFG，若，，则
______
．
如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段BC，CD上的点，且为正三角形，则的面积为______．
如图，边长为的正方形ABCD内有一点P，且，，在正方形ABCD的边上有一点Q，且为等腰三角形，则符合条件的点Q有___个．
如图，将边长为9的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边上点E处，，点A落在点F处，折痕为MN，则线段AM的长是______
四边形ABCD中，，，，，，则______．
如图，，以AB，BD为边作，连接CE，若，，则CE为__．
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点不与C、D重合连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作交AE于点G．
若点F在边CD上，如图
证明：；
猜想的形状并说明理由．
取DF中点M，连接若，正方形边长为4，求BE的长．
如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，且，。E为BC边上一点，将矩形沿直线CE折叠，B点恰巧与x轴上的D点重合。
求E点的坐标；
是射线CE上一点，是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，直接写出CP的长；若不存在，请说明理由。
在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
?
?
?图1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
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?
?
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?
?
?
?
?图2
如图1，当点E与点D重合时，__________________；
如图2，当点E在线段CD上时，，求AG的长；
若，请直接写出此时DE的长．
如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
如图1，若点E是边BC的中点，M是边AB的中点，连接EM，求证：．
如图2，若点E在线段BC上滑动不与点B，C重合．
在点E滑动过程中，是否一定成立？请说明理由；
在如图所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在直线上，求此时点F的坐标．
在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，．
Ⅰ如图，求点E的坐标；
Ⅱ将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为，，，设，矩形与重叠部分的面积为S．
如图，当矩形与重叠部分为五边形时，，分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
当时，求t的取值范围直接写出结果即可．
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