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2020-2021学年浙江八年级数学下第五章《特殊平行四边形》常考题
单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知，，则AC的长为
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
【答案】B
【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：B．
只要证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，属于中考常考题型．
如图，菱形ABCD中，过顶点C作交对角线BD于E点，已知，则的大小为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查菱形的性质，关键是根据菱形的邻角互补解答．根据菱形的性质和三角形的内角和解答即可．
【解答】
解：菱形ABCD，，
，
，
，
，
故选A．
如图，正方形ABCD的边长为1，E为BC上任意一点，于F，于G，则的值为
A.
B.
2
C.
3
D.
【答案】A
【解析】解：由正方形性质知，AC与BD相互垂直平分，且，
又正方形ABCD的边长为1，
，
又由，知，四边形OGEF为矩形，
，
又，，
，
，
故选：A．
由于F，于G知及正方形性质知，，，所以，再根据边长即可求得．
本题考查了正方形对角线相互垂直平分相等及矩形对角线平分相等的性质，是基础题．
如图，在矩形ABCD中，，，若点E，F分别在AB，CD上，且，，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为
A.
1
B.
C.
2
D.
4
【答案】C
【解析】解：，，，
、H分别是AC的三等分点
，
，且
，
同理可得，
四边形EHFG为平行四边形，且EG和HF间距离为1
，
故选：C．
由题意可证，，，，可得四边形EHFG为平行四边形，即可求解．
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，证明四边形EHFG为平行四边形是本题的关键．
如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别在边AB，CD上，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为
A.
1
B.
C.
D.
2
【答案】D
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，，
，
将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
，，
，
，
设，则，，
，
解得．
故选：D．
由正方形的性质得出，由折叠的性质得出，，设，则，，由直角三角形的性质可得：，解方程求出x即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
如图，矩形纸片ABCD中，点E、F分别在线段BC、AB上，将沿EF翻折，点B落在AD上的点P处，且，，则AP的长为
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
【答案】B
【解析】解：作于G．
则四边形ABEG为矩形，，，
由折叠性质可知，，
由勾股定理得，
，
，
故选：B．
作于则，，由折叠性质可知，，由勾股定理得，，求得AP长度．
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．
如图，菱形ABCD对角线，，则菱形高DE长为
A.
5cm
B.
10cm
C.
D.
【答案】C
【解析】解：四边形ABCD是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
菱形ABCD的面积，
即，
解得：，
故选：C．
由菱形的性质得，，，由勾股定理求出AB，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底乘以高两种方法列式计算即可得解．
本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质、勾股定理、菱形面积计算等知识；根据菱形面积的两个求解方法列出方程是解题的关键．
如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，
又是等边三角形，
，，
，
，，
，
又，
．
，
，
故选：A．
根据正方形的性质及等边三角形的性质求出，，再求，进而得出．
本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出．
如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且，则的最小值是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：如图，过点D作于点E，连接BD，
菱形ABCD中，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
根据垂线段最短，此时DE最短，即最小，
菱形ABCD的边长为6，
，
．
的最小值是．
故选：D．
过点D作于点E，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而可得结论．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质．
如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，，，
，
，
将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，
，，
，，
，
在与中，，
≌，
，
故选：D．
根据正方形的性质得到，，，求得，得到，根据折叠的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使；分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线BG交AD于点P，若，则点P到BD的距离为______．
【答案】3
【解析】解：结合作图的过程知：BP平分，
，，
点P到BD的距离等于AP的长，为3，
故答案为：3．
首先结合作图的过程确定BP是的平分线，然后根据角平分线的性质求得点P到BD的距离即可．
本题考查了尺规作图的知识及角平分线的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是根据图形确定BP平分．
如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，交BC于G，若，则的度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了矩形的性质以及轴对称变换，根据性质，可得，根据翻折可得的度数，进而可求的度数即可．
【解答】
解：四边形ABCD是长方形，
，
，
沿EF折叠，
，
，
故答案为．
菱形ABCD中，，，点E在BC上，，若点P是菱形上异于点E的另一点，，则EP的长为______．
【答案】6或或
【解析】解：如图所示：连接EP交AC于点H．
菱形ABCD中，，
，．
在和中，
≌．
，．
．
如图2所示：为等腰直角三角形，则．
过点作．
，，，
．
．
，，．
．
故答案为：6或或．
连接EP交AC于点H，依据菱形的性质可得到，然后依据SAS可证明≌，则，最后依据求解即可．
本题主要考查的是菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作于点E，若，且，则下列结论中一定成立的是______把所有正确结论的序号都填在横线上
；；；．
【答案】
【解析】解：四边形ABCD是菱形，
，，，
，
，
，
，
垂直平分AD，
，
为边AB的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
正确；
，F为边AB的中点，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
正确；
垂直平分AD，
，
由勾股定理得：，
，
，
正确；
，
的边AC上的高等于AB的一半，即为1，
，
，
不正确；
故答案为．
由四边形ABCD是菱形，得出对角线平分对角，求得，得出，，由SAS证得≌，得出，即可得出正确；
由，F为边AB的中点，证得，证出为等边三角形，得出，由，，求出AC，AG，即可得出正确；
由勾股定理求出，由求出GE，即可得出正确；
由求出数值，即可得出不正确．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为____．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
根据正方形的四条边都相等可得，每一个角都是直角可得，然后利用“边角边”证明≌得，进一步得，从而知，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【解答】
解：四边形ABCD为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
点H为BF的中点，
，
、，
，
，
故答案为：．
一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是______．
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
【解答】
解：如图，
根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、正方形B的面积和为，正方形C、正方形D的面积和为，，
即．
最大正方形E的面积为10，
故答案是10．
正方形，，按如图所示放置，点、、在直线上，点、、在x轴上，则的坐标是______．
【答案】，
【解析】
【分析】
本题考查了点的坐标规律、一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．先求出、、的坐标，找出规律，即可得出答案．
【解答】
解：直线和y轴交于，
的坐标，
即，
四边形是正方形，
，
把代入得：，
的坐标为，
同理的坐标为，
的坐标为，
故答案为：，
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，．
求证：；
若，，求矩形ABCD的面积．
【答案】证明：四边形ABCD是矩形，
，，，，
，
，
在和中，，
≌，
；
解：，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
矩形ABCD的面积．
【解析】由矩形的性质得出，，，，证出，由SAS证明≌，即可得出；
证出是等边三角形，得出，，在中，由勾股定理求出，即可得出矩形ABCD的面积．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和求出BC是解决问题的关键．
如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，，，且．
求证：≌；
若，，，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．
【答案】证明：，
，
，
，
即，
，
≌．
如图，连接EB交AD于O．
在中，，，，
，
四边形EFBC是菱形，
，，
，
，
．
【解析】根据SAS即可证明．
解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
如图，在中，，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
求证：；
当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；
若D为AB中点，则当的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．
【答案】证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形ADEC是平行四边形，
；
解：四边形BECD是菱形；?
理由是：为AB中点，
，
，
，
，
四边形BECD是平行四边形，
，D为AB中点，
，
是菱形；
当时，四边形BECD是正方形；
理由是：?，，
，
，
为BA中点，
，
，
四边形BECD是菱形，
菱形BECD是正方形．
【解析】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
求出四边形BECD是平行四边形，求出，根据菱形的判定推出即可；
求出，再根据正方形的判定推出即可．
如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，AC平分，过点C作交AB的延长线于点E，连接OE．
求证：四边形ABCD是菱形；
若，，求OE的长．
【答案】解：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
?ABCD是菱形；
四边形ABCD是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
【解析】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解本题的关键．
先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再求出，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作分别交AF，CD于G，H两点．
求证：；
求证：；
当时，请直接写出CE的长．
【答案】解：四边形ABCD是矩形，
，
，
平分，
，
，
；
如图，连接DF，
，F为CE的中点，
，
，
在矩形ABCD中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
．
理由如下：，
，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
．
【解析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，进而得出；
连接DF，根据等腰三角形的性质得出，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出，再根据SAS判定≌，即可得出，据此可得；
根据等角的余角相等可得，再根据公共角，即可判定∽，进而得出，求得，即可得到．
本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若，，请画出图形，并直接写出MF的长．
【答案】解：结论：，．
如图2中，结论不变．，．
理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．
四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
，，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，．
如图3中，作交BC于N，延长EM交AN于L，连接DL，作于R．
，，
，，
，
同可证≌，
，，
，
≌，
，，
，
，，
在中，，
，，
，，，
此时，
在中，
如图4中，作于R．
同理可得到，，，
此时，
在中，，
故满足条件的MF的值为或．
【解析】
【分析】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及勾股定理，灵活运用相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键．
结论：，只要证明≌，推出，，推出，因为，可得，；
结论不变，证明方法类似；
分两种情形画出图形，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【解答】
解：结论：，．
理由：如图1中，延长EM交AD于H．
四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，
，，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，．
见答案；
见答案．
第2页，共2页
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2020-2021学年浙江八年级数学下第五章《特殊平行四边形》常考题
单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知，，则AC的长为
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
如图，菱形ABCD中，过顶点C作交对角线BD于E点，已知，则的大小为
A.
B.
C.
D.
如图，正方形ABCD的边长为1，E为BC上任意一点，于F，于G，则的值为
A.
B.
2
C.
3
D.
如图，在矩形ABCD中，，，若点E，F分别在AB，CD上，且，，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为
A.
1
B.
C.
2
D.
4
如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别在边AB，CD上，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为
A.
1
B.
C.
D.
2
如图，矩形纸片ABCD中，点E、F分别在线段BC、AB上，将沿EF翻折，点B落在AD上的点P处，且，，则AP的长为
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
如图，菱形ABCD对角线，，则菱形高DE长为
A.
5cm
B.
10cm
C.
D.
如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则为
A.
B.
C.
D.
如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且，则的最小值是
A.
B.
C.
D.
如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
如图，BD是矩形ABCD的对角线，在BA和BD上分别截取BE，BF，使；分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G，作射线BG交AD于点P，若，则点P到BD的距离为______．
如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，交BC于G，若，则的度数为________．
菱形ABCD中，，，点E在BC上，，若点P是菱形上异于点E的另一点，，则EP的长为______．
已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作于点E，若，且，则下列结论中一定成立的是______把所有正确结论的序号都填在横线上
；；；．
如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为____．
一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是______．
正方形，，按如图所示放置，点、、在直线上，点、、在x轴上，则的坐标是______．
三、解答题（本大题共6小题，共49分）
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，．
求证：；
若，，求矩形ABCD的面积．
如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，，，且．
求证：≌；
若，，，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．
如图，在中，，过点C的直线，D为AB边上一点，过点D作，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE．
求证：；
当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；
若D为AB中点，则当的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．
如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O，AC平分，过点C作交AB的延长线于点E，连接OE．
求证：四边形ABCD是菱形；
若，，求OE的长．
如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作分别交AF，CD于G，H两点．
求证：；
求证：；
当时，请直接写出CE的长．
已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．
如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若，，请画出图形，并直接写出MF的长．
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