2020-2021学年浙江八年级数学下第四章《平行四边形》竞赛题
一、选择题
一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为，则这个内角的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，四边形ABCD中．，，BD为的平分线，，，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为
A.
1
B.
C.
2
D.
如图，的对角线AC与BD相交于点O，垂足为E，，，，则AE的长为???
A.
B.
C.
D.
如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，，连接OE，下列结论：；；；，其中成立的个数为
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
如图，以的三边为边分别作等边，，，则下列结论；；四边形AEFD为平行四边形；其中正确的结论是
A.
B.
C.
D.
如图，已知的顶点A、C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
已知平行四边形ABCD中，BE与CD的延长线交于E，与AD交于F，与AC交于M，且DE：CD：2，则AM：MC为?????????????????????????????
A.
1：2
B.
2：3
C.
1：3
D.
3：4
如图，在?ABCD中，，，点E是CD边上的中点，将沿BE翻折得，连结AE，A、G、E在同一直线上，则点G到AB的距离为
A.
B.
C.
D.
二、填空题
如图，在平行四边形ABCD中，，，，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为______．
如图，，以AB，BD为边作?ABDE，连接CE，若，，则CE为______．
如图，，点C在边AM上，，点B为边AN上一动点，连接BC，与关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交所在直线于点F，连接当为直角三角形时，AB的长为______．
如图，AD是的中线，，把沿着直线AD翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段BE的长度为______．
如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD边的中点，将沿BE翻折，得到，连接DF并延长交BC于点G，若，平行四边形ABCD的面积为6，则________．
如图，在?ABCD中，，，，点E是AB边的中点，点F是BC边上一动点，将移沿直线EF折叠，得到，当时，BF的长为____．
三、解答题
如图，在四边形ABCD中，，，且，求的度数．
在?ABCD中，BE平分交AD于点E．
如图1，若，，求的面积；
如图2，过点A作，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且求证：．
如图，是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动与A、C不重合，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动不与B重合，过P作于E，连接PQ交AB于D．
当时，求AP的长；
当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
已知：在平行四边形ABCD中，过点C作，过点B作AC的垂线，分別交CH、AC、AD于点E、F、G，且，．
若，，求DG的值；
连接HF，证明：．
第2页，共2页
第1页，共1页2020-2021学年浙江八年级数学下第四章《平行四边形》竞赛题
一、选择题
一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为，则这个内角的度数为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了多边形内角与外角．关键是利用多边形的内角和为的整数倍，求多边形去掉的一个内角度数．可设这是一个n边形，这个内角的度数为x度，利用多边形的内角和，根据多边形内角x的范围，列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的正整数解确定出n的值，从而求出多边形的内角和，减去其余的角即可解决问题．
【解答】
解；设这是一个n边形，这个内角的度数为x度．
因为，
所以，
，
，
解得：，又n为正整数，
，
所以多边形的内角和为，
即这个内角的度数是．
故选B．
如图，四边形ABCD中．，，BD为的平分线，，，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为
A.
1
B.
C.
2
D.
【答案】A
【解析】解：，
，
，，
，
，
，
为的平分线，
，
，
，
连接BF并延长交AD于G，
，
，
是AC的中点，
，
，
≌，
，，
，
是BD的中点，
．
故选：A．
根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，连接BF并延长交AD于G，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论．
此题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
如图，的对角线AC与BD相交于点O，垂足为E，，，，则AE的长为???
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，利用三角形ABC面积的不同表示方法，建立方程求出AE的长．
【解答】
解：，，四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
在中，，
，?
，?
，?
故选D．
如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，，连接OE，下列结论：；；；，其中成立的个数为
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
【答案】C
【解析】解：四边形ABCD为平行四边形，，
，，，
，，
平分，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，故正确；
，，
，
，
，故错误；
，故正确；
，，
是BC的中点，
：：4，
：：4，
：：8，
：：4，
，故正确．
故选：C．
结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由可判定，证明，可判定；由平行四边形的面积公式可判定；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定．
本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．
如图，以的三边为边分别作等边，，，则下列结论；；四边形AEFD为平行四边形；其中正确的结论是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由与都为等边三角形，利用等边三角形的性质可得，，；然后利用等式的性质得到夹角相等即，利用SAS得到与全等；根据全等三角形对应边相等得到，再由为等边三角形得到三边相等，等量代换得到，；最后根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，进而易证≌，据此解答本题．
【解答】
解：、为等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
≌，
．
又为等边三角形，
，
，
同理可得，
四边形AEFD是平行四边形，
故正确；
，
，
即，
在和中，
，??
≌，
，，
故正确，
综上正确，
故选D．
如图，已知的顶点A、C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质和判定、勾股定理，坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质等有关知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
过点B作直线，交直线于点D，过点B作轴，交x轴于点求出，由于四边形OABC是平行四边形，所以，又由平行四边形的性质可推得，则可证明≌，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．
【解答】
解：过点B作直线，交直线于点D，过点B作轴，交x轴于点E，直线与OC交于点M，与x轴交于点F，直线与AB交于点N，如图：
四边形OABC是平行四边形，
，，，
直线与直线均垂直于x轴，
，
四边形ANCM是平行四边形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
由于OE的长不变，点B在直线上运动，当点B在x轴上时，OB最小，最小值为．
故选B．
已知平行四边形ABCD中，BE与CD的延长线交于E，与AD交于F，与AC交于M，且DE：CD：2，则AM：MC为?????????????????????????????
A.
1：2
B.
2：3
C.
1：3
D.
3：4
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查三角形的判定及性质设未知数，利用∽即可求出答案．
【解答】
设，
，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
又
∽，
．
故选B
．
如图，在?ABCD中，，，点E是CD边上的中点，将沿BE翻折得，连结AE，A、G、E在同一直线上，则点G到AB的距离为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：如图，于点F，
点E是CD边上的中点，
，
由折叠可知：
，，，
在?ABCD中，，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
于点F，
，
在和中，根据勾股定理，得
，即，
解得，
，
．
故选：B．
根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明≌，可得，然后利用勾股定理可得求出AF的长，进而可得GF的值．
本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形与折叠的性质是解题的关键．
二、填空题
如图，在平行四边形ABCD中，，，，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．
连接CE，过点C作，交AB的延长线于H，设，则，，再根据勾股定理，即可得到x的值．
【解答】
解：如图，连接CE，过点C作，交AB的延长线于H，
平行四边形ABCD中，，，
，，
又，
，
，
设，则，
垂直平分AC，
，
在中，，
，
解得，
的长为．
故答案为：．
如图，，以AB，BD为边作?ABDE，连接CE，若，，则CE为______．
【答案】
【解析】解：如图，过点B作，且，连接DF，CF，AF，
，
四边形BDCF是平行四边形，且
四边形BDCF是矩形
，，
四边形ABDE是平行四边形
，
，
四边形AECF是平行四边形
，
，
点A，点B，点C，点D四点共圆
，
四边形BDCF是矩形
，
，
点A，点F，点C，点D四点共圆
故答案为：
过点B作，且，连接DF，CF，AF，可证四边形BDCF是矩形，可得，，，可证四边形AECF是平行四边形，可得，由四点共圆可证，由勾股定理可求AF的长，即可求CE的长．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
如图，，点C在边AM上，，点B为边AN上一动点，连接BC，与关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交所在直线于点F，连接当为直角三角形时，AB的长为______．
【答案】或4
【解析】解：当为直角三角形时，存在两种情况：
当时，如图1，
与关于BC所在直线对称，
，，
点D，E分别为AC，BC的中点，
、E是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
中，
是斜边BC的中点，
，
由勾股定理得：，
；
当时，如图2，
，
，
与关于BC所在直线对称，
，
是等腰直角三角形，
；
综上所述，AB的长为或4；
故答案为：或4；
当为直角三角形时，存在两种情况：
当时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：，根据直角三角形斜边中线的性质得：，最后利用勾股定理可得AB的长；
当时，如图2，证明是等腰直角三角形，可得．
本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
如图，AD是的中线，，把沿着直线AD翻折，点C落在点E的位置，如果，那么线段BE的长度为______．
【答案】
【解析】解：如图，过D作于F，
是的中线，
，
由折叠可得，，，
，，
，，
中，，
，
，
故答案为：．
过D作于F，依据，，即可得出，，再根据等腰三角形的性质，利用BF的长，即可得出BE的长．
本题主要考查了折叠问题以及等腰三角形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD边的中点，将沿BE翻折，得到，连接DF并延长交BC于点G，若，平行四边形ABCD的面积为6，则________．
【答案】．
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换折叠问题，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
根据折叠的性质得到，，由平角的定义得到，由三角形的内角和得到，根据平行四边形的判定定理可得四边形BEDG为平行四边形，由平行四边形的性质得到，，，连接AF交BE于H，于是得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：如图，
把沿BE翻折，得到，
，，
，
为AD边的中点，
，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，
四边形BEDG为平行四边形，
，，
四边形ABCD是平行四边形，，?ABCD的面积等于6，
，
连接AF交BE于H，则，，
，
，
，
，
，
，
．
如图，在?ABCD中，，，，点E是AB边的中点，点F是BC边上一动点，将移沿直线EF折叠，得到，当时，BF的长为____．
【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由平行四边形的性质得出，，，作于H，则，，得出，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，分两种情况：
作于M，在BF上截取，则，由直角三角形的性质得出，，得出，再证出，即可得出结果；
作于M，在BC上截取，连接EN，则，得出，，，，证出，则，证出，推出，得出，由折叠的性质得，证出，则，即可得出结果．
【解答】
解：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
作于H，
则，，
，
，
，
，
，
点E是AB边的中点，
，
分两种情况：
作于M，在BF上截取，连接EN，如图1所示：
则，
，，
，
由折叠的性质得：，
，
，
；
作于M，在BC上截取，连接EN，如图2所示：
则，
，，，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，，
，
，
；
故答案为或．
三、解答题
如图，在四边形ABCD中，，，且，求的度数．
【答案】解：，，
，
，，
，
．
【解析】首先根据四边形内角和为360度计算出，再根据，计算出，然后利用三角形内角和为180度计算出的度数．
此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握四边形内角和为，三角形内角和为．
在?ABCD中，BE平分交AD于点E．
如图1，若，，求的面积；
如图2，过点A作，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且求证：．
【答案】解：作于O，如图1所示：
四边形ABCD是平行四边形，
，，，，
，，
，
平分，
，
，
，
的面积；
证明：作交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，如图2所示：
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
，，
，，
，
，
在和中，，
≌，
，
．
【解析】作于O，由平行四边形的性质得出，由直角三角形的性质得出，证出，得出，由三角形面积公式即可得出结果；
作交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，证明≌得出，再证明≌得出，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
如图，是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动与A、C不重合，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动不与B重合，过P作于E，连接PQ交AB于D．
当时，求AP的长；
当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
【答案】解：是边长为6的等边三角形，
，
，
，
设，则，，
，
在中，，
，即，解得，
；
当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作，交直线AB于点F，连接QE，PF，
又于E，
，
点P、Q速度相同，
，
是等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
≌，
，且，
四边形PEQF是平行四边形，
，
，
，
又等边的边长为6，
，
点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．可得出，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【解答】
由是边长为6的等边三角形，可知，再由可知，设，则，，在中，，，即，求出x的值即可；
作，交直线AB于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知，再根据全等三角形的判定定理得出≌，再由，且，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出，，由等边的边长为6
已知：在平行四边形ABCD中，过点C作，过点B作AC的垂线，分別交CH、AC、AD于点E、F、G，且，．
若，，求DG的值；
连接HF，证明：．
【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
，，
，
在和中，
≌，
，
；
证明：过点F作，交BA延长线于N，如图所示：
≌，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，，
，
在和中，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识．
证明，，由AAS证得≌得出，即可得出结果；
过点F作，交BA延长线于N，由≌，得出，由AAS证得≌得出，由ASA证得≌得出，，则是等腰直角三角形，得出，即可得出结论．
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