2020-2021学年浙江八年级数学下第四章《平行四边形》常考题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于”，应该先假设这个三角形中（
）
A．没有一个内角小于
B．每一个内角都小于
C．至多有一个内角不小于
D．每一内角都大于
2．（2018·绍兴市元培中学八年级期中）在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．.D．
3．（2018·浙江宁波市·）如图，在△ABC中，BD=CD,
AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若AB=5，则DE的长为（
）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
4．（2020·浙江金华市·八年级期中）如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
5．（2019·诸暨市涅浦镇中心学校八年级期中）如图，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC和BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则ΔABE的周长为（
）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
6．（2020·浙江温州市·八年级期中）四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是( )
A．
B．，
C．，
D．
7．（2016·浙江杭州市·八年级期中）在?ABCD中，∠ACB=25°，现将?ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数（ ）
A．135°
B．120°
C．115°
D．100°
8．（2019·浙江湖州市·八年级期中）如图，在?ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是(
)
A．2
B．1
C．
D．
（2020·浙江宁波市·八年级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB?AC④OE=AD⑤S△APO=，正确的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
10．（2020·台州市书生中学八年级期中）如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF=∠BCD；（2）EF=CF；（3）S△BEC=
2S△CEF；（4）∠DFE=3∠AEF；其中正确的结论是（
）
A．（1）（2）
B．（1）（2）（4）
C．（2）（3）（4）
D．（1）（3）（4）
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．（2019·台州市白云学校八年级期中）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是_____．
12．（2020·绍兴市建功中学八年级期中）如图，△ABC的周长为26，点D、?E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC=10，则PQ的长是_________．
13．（2018·浙江衢州市·八年级期中）如图,在?ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为__________.
14．（2019·浙江杭州市·八年级期末）如图，在□中，⊥于点，⊥于点.若，，且□的周长为40，则□的面积为_______．
15．（2020·浙江宁波市·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有______次．
16．（2019·浙江宁波市·八年级期末）如图，在等腰梯形
ABCD
中，AD∥BC，AB＝CD．点
P
为底边
BC
的延长线上任意一点，PE⊥AB
于
E，PF⊥DC
于
F，BM⊥DC
于
M．请你探究线段
PE、PF、BM
之间的数量关系：
______．
17．（2019·浙江杭州市·八年级期中）如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5，∠DAB=45°，则①点C到直线AB的距离是_____.②△OEF周长的最小值是________．
三、解答题（本大题共6小题，共49分）
18．（2020·浙江杭州市·八年级月考）如图，平行四边形的对角线，相交于，过点的直线分别交，于，，连结，．求证：四边形是平行四边形．
19．（2019·浙江杭州市·八年级期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
20．（2019·浙江温州市·八年级期末）如图，图1、图2是两张大小完全相同的6×6方格纸，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点的多边形叫做格点多边形．网格中有一个边长为2的格点正方形，按下列要求画出拼图后的格点平行四边形（用阴影表示）
（1）把图1中的格点正方形分割成两部分，再通过图形变换拼成一个平行四边形，在图1中画出这个格点平行四边形；
（2）把图2中的格点正方形分割成三部分，再通过图形变换拼成一个平行四边形，在图2中画出这个格点平行四边形．
21．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，在□ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG＝CH.
22．（2018·浙江衢州市·八年级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使，连接EC并延长，使，连接FG，H为FG的中点，连接DH
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若，，，求的度数．
23．（2020·温州育英国际实验学校八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，6)，B(b，0)，且b＜0，C，D分别是OA，AB的中点，△AOB的外角∠DBF的平分线BE与CD的延长线交于点E.
(1)求证：∠DAO＝∠DOA；
(2)①若b＝－8，求CE的长；
②若CE＝＋1，则b＝________；
(3)是否存在这样的b值，使得四边形OBED为平行四边形？若存在，请求出此时四边形OBED对角线的交点坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第2页，总2页
试卷第1页，总1页2020-2021学年浙江八年级数学下第四章《平行四边形》常考题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于”，应该先假设这个三角形中（
）
A．没有一个内角小于
B．每一个内角都小于
C．至多有一个内角不小于
D．每一内角都大于
【答案】B
【分析】
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案．
【详解】
解：用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”时，
应先假设：每一个内角都小于，
故选：B．
【点睛】
本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
2．（2018·绍兴市元培中学八年级期中）在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．.
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，因此：
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
考点：轴对称图形和中心对称图形
3．（2018·浙江宁波市·）如图，在△ABC中，BD=CD,
AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若AB=5，则DE的长为（
）
A．2
B．2.5
C．3
D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
由BD=CD,
E是AC的中点,可得DE是△ABC的中位线,由中位线定理可得DE=2.5,
【详解】
解：∵BD=CD,
E是AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=AB=2.5,
故答案为：B.
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握该定理是解题关键.
4．（2020·浙江金华市·八年级期中）如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【详解】
解：设外角为x，则相邻的内角为2x，
由题意得，2x+x=180°，
解得，x=60°，
360÷60°=6，
故选C．
5．（2019·诸暨市涅浦镇中心学校八年级期中）如图，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC和BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则ΔABE的周长为（
）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
【答案】D
【解析】
分析：利用平行四边形、等腰三角形的性质，将△ABE的周长转化为平行四边形的边长之间的和差关系．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC、BD互相平分，
∴O是BD的中点．
又∵OE⊥BD，
∴OE为线段BD的中垂线，
∴BE=DE．
又∵△ABE的周长=AB+AE+BE，
∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD．
又∵□ABCD?的周长为20cm，
∴AB+AD=10cm
∴△ABE的周长=10cm．
故选D.
点睛：本题考查了平行四边形的性质．平行四边形的对角线互相平分．
请在此填写本题解析!
6．（2020·浙江温州市·八年级期中）四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是( )
A．
B．，
C．，
D．
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的判定方法逐一进行分析判断即可.
【详解】
A.只有一组对边平行无法判定四边形是平行四边形，故错误；
B.
，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；
C.
，，一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误；
D.
对角线互相垂直不能判定四边形是平行四边形，故错误，
故选B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.
7．（2016·浙江杭州市·八年级期中）在?ABCD中，∠ACB=25°，现将?ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数（ ）
A．135°
B．120°
C．115°
D．100°
【答案】C
【详解】
解：根据图形的折叠可得：AE=EC，即∠EAC=∠ECA=25°，∠FEC=∠AEF，∠DFE=∠GFE，又∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=130°，
∴∠FEC=65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DFE+∠FEC=180°，
∴∠DFE=115°，
∴∠GFE=115°，
故选C．
考点：1.平行四边形的性质2.图形的折叠的性质.
8．（2019·浙江湖州市·八年级期中）如图，在?ABCD中，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF＝1，则AB的长是(
)
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
证明四边形ABDE是平行四边形，得出AB＝DE，证出CE＝2AB，求出∠CEF＝30°，得出CE＝2CF＝2，即可得出AB的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BCD＝∠BAD＝120°，
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，
∴CE＝2AB，
∵∠BCD＝120°，
∴∠ECF＝60°，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF＝30°，
∴CE＝2CF＝2，
∴AB＝1；
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质与判定、直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
9．（2020·浙江宁波市·八年级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=AB?AC④OE=AD⑤S△APO=，正确的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE=AB=，OE∥AB，根据勾股定理计算OC=和OD的长，可得BD的长；
③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=OE?OC=，，代入可得结论．
【详解】
①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=AB=，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD=，
∴BD=2OD=，故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S?ABCD=AB?AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
又AB=BC，BC=AD，
∴OE=AB=AD，故④正确；
⑤∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=，
∴S△AOE=S△EOC=OE?OC=××，
∵OE∥AB，
∴，
∴，
∴S△AOP=
S△AOE==，故⑤正确；
本题正确的有：①②③④⑤，5个，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
10．（2020·台州市书生中学八年级期中）如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF=∠BCD；（2）EF=CF；（3）S△BEC=
2S△CEF；（4）∠DFE=3∠AEF；其中正确的结论是（
）
A．（1）（2）
B．（1）（2）（4）
C．（2）（3）（4）
D．（1）（3）（4）
【答案】B
【分析】
利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF（ASA），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】
（1）∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在?ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故正确；
（2）延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴EF=CF，故正确；
（3）∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
（4）设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x，
∴∠EFC=180°-2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，
∵∠AEF=90°-x，
∴∠DFE=3∠AEF，故正确，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．（2019·台州市白云学校八年级期中）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是_____．
【答案】5
【分析】
先根据已知条件以及多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．
【详解】
解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，
∴多边形的内角和是900﹣360＝540°，
∴多边形的边数是：540°÷180°+2＝3+2＝5．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n边形的内角和为：(n-2)
×180°，
n边形的外角和为：360°．
12．（2020·绍兴市建功中学八年级期中）如图，△ABC的周长为26，点D、?E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC=10，则PQ的长是_________．
【答案】3
【分析】
首先根据角平分线的性质得出△BAE和△CAD是等腰三角形，再根据中位线的性质即可得出PQ.
【详解】
∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴△BAE是等腰三角形
同理△CAD是等腰三角形
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一）
∴PQ是△ADE的中位线
∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，
∴DE=BE+CD﹣BC=6
∴PQ=DE=3
故选：C.
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定和性质以及角平分线和中位线的性质，熟练掌握，即可解题.
13．（2018·浙江衢州市·八年级期中）如图,在?ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则∠EBC的度数为__________.
【答案】30°.
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥DC，∠ABC=∠D
∴∠DAB+∠D=180°，
∵∠D=100°，
∴∠DAB=80°,
∠ABC=100°
又∵∠DAB的平分线交DC于点E
∴∠EAD=∠EAB=40°
∵AE=AB
∴∠ABE=(180°-40°)=70°
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=100°-70°=30°.
考点：1.角平分线的性质；2.平行四边形的性质.
14．（2019·浙江杭州市·八年级期末）如图，在□中，⊥于点，⊥于点.若，，且□的周长为40，则□的面积为_______．
【答案】48
【解析】
∵?ABCD的周长=2(BC+CD)=40，
∴BC+CD=20①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，
∴S?ABCD=4BC=6CD，
整理得,BC=CD②，
联立①②解得，CD=8，
∴?ABCD的面积=AF?CD=6CD=6×8=48.
故答案为48.
15．（2020·浙江宁波市·八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有______次．
【答案】3
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12,AD∥BC，
∵四边形PDQB是平行四边形，
∴PD=BQ，
∵P的速度是1cm/秒，
∴两点运动的时间为12÷1=12s，
∴Q运动的路程为12×4=48cm，
∴在BC上运动的次数为48÷12=4次．
第一次PD=QB时，12?t=12?4t，解得t=0，不合题意，舍去；
第二次PD=QB时，Q从B到C的过程中，12?t=4t?12，解得t=4.8；
第三次PD=QB时，Q运动一个来回后从C到B，12?t=36?4t，解得t=8；
第四次PD=QB时，Q在BC上运动3次后从B到C，12?t=4t?36，解得t=9.6.
∴在运动以后，以P、D.
Q、B四点组成平行四边形的次数有3次，
故答案为3.
点睛：本题考查了平行四边形的判定．注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．
16．（2019·浙江宁波市·八年级期末）如图，在等腰梯形
ABCD
中，AD∥BC，AB＝CD．点
P
为底边
BC
的延长线上任意一点，PE⊥AB
于
E，PF⊥DC
于
F，BM⊥DC
于
M．请你探究线段
PE、PF、BM
之间的数量关系：
______．
【答案】PE－PF=BM.
【解析】
【分析】
过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，易证四边形BMFH是平行四边形，于是有FH=BM，再用AAS证明△PBE≌△PBH，可得PH=PE，继而得到结论.
【详解】
解：PE－PF=BM.
理由如下：
过点B作BH∥CD，交PF的延长线于点H，如图
∴∠PBH=∠DCB，
∵PF⊥CD，BM⊥CD，
∴BM∥FH，PH⊥BH，
∴四边形BMFH是平行四边形，∠H=90°，
∴FH=BM，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
∴∠ABC=∠PBH，
∵PE⊥AB，
∴∠PEB=∠H=90°，又PB为公共边，
∴△PBE≌△PBH（AAS），
∴PH=PE，
∴PE=PF+FH=PF+BM．
即PE－PF=BM.
【点睛】
本题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，构造所需的平行四边形和全等三角形.
17．（2019·浙江杭州市·八年级期中）如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5，∠DAB=45°，则①点C到直线AB的距离是_____.②△OEF周长的最小值是________．
【答案】5
【分析】
①过D作DP⊥AB于P,,则△ADP是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到,进而求得AP=DP=5；
②作点O关于AB的对称点M,点O关于AD的对称点N,连接MN交AB于F交AD于E,则△OEF周长的最小,
△OEF周长的最小值=MN,由作图得:
AN=AO=AM,
∠NAD=∠DAO,
∠MAB=∠BAO,于是得到.根据三角形的中位线的性质得到,,根据勾股定理得到,然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.
【详解】
①过D作DP⊥AB于P,
则A△DP是等腰直角三角形,
,
,
∴AP=DP=sin45°×5=5；
②作点O关于AB的对称点M,点O关于AD的对称点N,连接MN交AB于F交AD于E,则△OEF周长的最小,
△OEF周长的最小值=MN,
由作图得:AN=AO=AM,
∠NAD=∠DAO,
∠MAB=∠BAO,
,
,
∵OM⊥AB于Q,
,
,
,
,
,
,
,
,
∴△OEF周长的最小值是.
故答案为①5；②
.
【点睛】
此题主要考查轴对称--最短路线问题，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质,勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键.
三、解答题（本大题共6小题，共49分）
18．（2020·浙江杭州市·八年级月考）如图，平行四边形的对角线，相交于，过点的直线分别交，于，，连结，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【分析】
由平行四边形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，由平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
在与中
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
19．（2019·浙江杭州市·八年级期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）.
【详解】
试题分析：（1）由平行四边形的性质和角平分线易证∠BAE=∠BEA，根据等腰三角形的性质可得AB=BE；（2）易证△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，再由AAS证明△ADF≌△ECF，即△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE?BF，即可得出结果．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，∴BE=CD；
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF=，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE?BF=×4×2=4．
考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
20．（2019·浙江温州市·八年级期末）如图，图1、图2是两张大小完全相同的6×6方格纸，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点的多边形叫做格点多边形．网格中有一个边长为2的格点正方形，按下列要求画出拼图后的格点平行四边形（用阴影表示）
（1）把图1中的格点正方形分割成两部分，再通过图形变换拼成一个平行四边形，在图1中画出这个格点平行四边形；
（2）把图2中的格点正方形分割成三部分，再通过图形变换拼成一个平行四边形，在图2中画出这个格点平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）B、C、D保持不动，延长CD边的对边，使AB=CD，则四边形ABCD是格点平行四边形；
（2）把正方形的一边作为平行四边形的对角线，这边的对边中点作为平行四边形的一个顶点，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形作图即可.
【详解】
（1）解：如图1中，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）
（2）解：如图2中平行四边形ABCD即为所求（
答案不唯一
）
【点睛】
本题考查作图，解题关键在于熟悉所做图形的基本性质与判定.
21．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，在□ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG＝CH.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，根据平行线的性质得∠E=∠F，再结合已知条件可得AF=CE，根据ASA得△CEH≌△AFG，根据全等三角形对应边相等得证.
【详解】∵在四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，
∴∠E=∠F，
又∵BE＝DF，
∴AD+DF=CB+BE，
即AF=CE，
在△CEH和△AFG中，
，
∴△CEH≌△AFG，
∴CH=AG.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
22．（2018·浙江衢州市·八年级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使，连接EC并延长，使，连接FG，H为FG的中点，连接DH
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若，，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）40°.
【解析】
分析：（1）证明BC为△FEG的中位线，得出BC∥FG，BC=FG，证出BC=FH，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，得出AD∥FH，AD=FH，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出∠DAB=∠DCB，由等腰三角形的性质得出∠BEC=∠EBC=75°，由三角形内角和定理求出∠BCE，得出∠DCB=∠DCE+∠BCE=40°，即可得出结果．
详解：证明：，，
为的中位线，
，，
又是FG的中点，
，
．
又四边形ABCD是平行四边形，
，，
，，
四边形AFHD是平行四边形；
解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
．??
点睛：本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
23．（2020·温州育英国际实验学校八年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，6)，B(b，0)，且b＜0，C，D分别是OA，AB的中点，△AOB的外角∠DBF的平分线BE与CD的延长线交于点E.
(1)求证：∠DAO＝∠DOA；
(2)①若b＝－8，求CE的长；
②若CE＝＋1，则b＝________；
(3)是否存在这样的b值，使得四边形OBED为平行四边形？若存在，请求出此时四边形OBED对角线的交点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析；(2)
①9；②－2；(3)见解析.
【解析】
分析：(1)由C，D分别为AO，AB的中点，得到CD∥OB．又由OB⊥AO，得到CD垂直平分AO，由垂直平分线的性质即可得到结论．
(2)①由三角形中位线定理得到CD的长，由角平分线的定义和平行线的性质得到∠DEB＝∠DBE，从而得到ED＝BD＝5，即可得到结论．
②由①得：EC=ED+DC=AB+BO，列方程求解即可得到结论．
(3)由四边形OBED是平行四边形，得OB＝ED．由ED＝BD＝AB，得到AB＝－2b，于是有(－b)2＋62＝(－2b)2，解方程得到b的值，进而得到AB的长．设平行四边形OBED的对角线交点为M，作MH⊥OB于点H，则BM＝BD＝AB．由OD＝DB＝OB，得到∠DBO＝60°，∠BMH＝30°，从而可得到BH，MH，
OH，即可得到结论．
详解：(1)∵C，D分别为AO，AB的中点，∴CD∥OB．
又∵OB⊥AO，∴CD⊥AC，∴CD垂直平分AO，∴AD＝OD，∴∠DAO＝∠DOA．
(2)①∵b＝－8，∴OB＝8，∴CD＝OB＝4．易得∠DEB＝∠DBE，∴ED＝BD＝AB＝＝5，∴CE＝CD＋ED＝4＋5＝9．
②由①得：EC=ED+DC=AB+BO，∴，解得：b=－2．故答案为：－2．
(3)存在．理由如下：
如图，∵四边形OBED是平行四边形，∴OB＝ED．
∵ED＝BD＝AB，∴OB＝AB．
∵OB＝－b，∴AB＝－2b，∴(－b)2＋62＝(－2b)2，解得：b＝，∴AB＝．设平行四边形OBED的对角线交点为M，作MH⊥OB于点H，则BM＝BD＝AB＝×＝．
∵OD＝AD，∴OD＝DB＝OB，∴∠DBO＝60°，∴∠BMH＝30°，∴BH＝，MH＝，∴OH＝=，∴M（，）．
点睛：本题考查了三角形中位线定理及平行四边形的判定与性质．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
试卷第2页，总2页
试卷第1页，总1页
