2020-2021学年浙江八年级数学下第五章《特殊平行四边形》易错题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）矩形不一定具有的性质是（
）
A．对角线互相平分
B．是轴对称图形
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
2．（2020·浙江温州市·八年级开学考试）如图，把矩形纸片沿折叠后得到，再把纸片铺平，若，则的度数为（）
A．105°
B．120°
C．130°
D．115°
3．（2019·绍兴市第一初级中学八年级期中）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当，时，等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2019·浙江绍兴市·八年级期末）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（
）
A．22.5°
B．25°
C．23°
D．20°
5．（2021·浙江温州市·八年级期末）如图，在中，，点D在AC边上且，M是BD的中点．若，，则CM等于（ ）
A．5
B．6
C．8
D．10
6．（2019·浙江八年级月考）如图，在△ABC
中，点
D
是边
BC
上的点（与
B、C
两点不重合），过点
D作
DE∥AC，DF∥AB，分别交
AB、AC
于
E、F
两点，下列说法正确的是（
）
A．若
AD
平分∠BAC，则四边形
AEDF
是菱形
B．若
BD＝CD，则四边形
AEDF
是菱形
C．若
AD
垂直平分
BC，则四边形
AEDF
是矩形
D．若
AD⊥BC，则四边形
AEDF
是矩形
7．（2020·浙江台州市·八年级期末）如图，在中，，是中点，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，.若，则阴影部分的面积是（
）
A．
B．12
C．9
D．6
8．（2020·台州市书生中学八年级月考）如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB=ED；②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；③△EBA和△EDC一定是全等三角形.其中正确的有(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
9．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，菱形中，，，点E是线段上一点（不与A，B重合），作交于点F，且，则周长的最小值是（
）
A．6
B．
C．
D．
10．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，中，对角线交于点，点分别是的中点，交于点．有下列4个结论：①；②；③；④，其中说法正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．（2020·浙江温州市·八年级期末）在中，，为斜边的中点，，则_____．
12．（2018·浙江八年级月考）已知：如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B，D，E在同一直线上，AF⊥BE于点F，那么线段BE，CE，AF三者之间的数量关系是________.
13．（2020·浙江丽水市·八年级期末）如图正方形ABCD分割成为七巧板迷宫，点E，F分别是CD，BC的中点，一只蚂蚁从D处沿图中虚线爬行到出口F处，若AB=2，则它爬行的最短路径长为_____．
14．（2020·浙江宁波市·八年级期末）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝3，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为_____．
15．（2019·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，矩形中，，点是上的一点，有，的垂直平分线交的延长线于点，连结交于点，若是的中点，，则的长是______.
16．（2019·浙江温州市·八年级期末）如图，菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE．若AE＝2，∠DCE＝30°，则菱形的边长为________．
17．（2020·温州外国语学校八年级月考）学习新知：如图
1、图
2，是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：
．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．
应用新知：如图
3，在中，，，是
内一点，且,，则的最小值为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共49分）
18．（2019·浙江温州市·八年级期末）如图，在正方形方格纸中，线段AB的两个端点和点P都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形．
（1）在图甲中画一个以AB为边的平行四边形，使点P落在AB的对边上(不包括端点)．
（2）在图乙中画一个以AB为对角线的菱形，使点P落在菱形的内部(不包括边界)．
19．（2019·浙江八年级月考）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
20．（2019·浙江湖州市·八年级月考）如图：在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，
垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
求证：（1）AE＝CD．（2）若AC＝12cm，求BD的长．
21．（2020·浙江杭州市·八年级期末）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）AE＝________，EF＝__________
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（相遇时除外）
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
22．（2020·杭州市公益中学八年级期末）如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F，作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．
（1）判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
（2）若AB＝3，AD＝4，求FG的长．
23．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分交于点E，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求；
（3）在（2）的条件下，若，求的面积．
试卷第1页，总3页
试卷第1页，总3页2020-2021学年浙江八年级数学下第五章《特殊平行四边形》易错题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）矩形不一定具有的性质是（
）
A．对角线互相平分
B．是轴对称图形
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
【答案】D
【分析】
根据矩形的性质即可判断．
【详解】
解：∵矩形的对角线线段，四个角是直角，对角线互相平分，
∴选项A、B、C正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的性质．
2．（2020·浙江温州市·八年级开学考试）如图，把矩形纸片沿折叠后得到，再把纸片铺平，若，则的度数为（）
A．105°
B．120°
C．130°
D．115°
【答案】D
【分析】
点B折叠后的点为G，根据折叠的性质，可得∠GFE=∠BFE，结合∠1的度数即可求出∠EFB的度数，利用矩形的性质AD∥BC即可求出结果．
【详解】
点B折叠后的点为G，根据折叠的性质，可得∠GFE=∠BFE，
∵∠1=50°，
∴∠BFE=（180°-50°）÷2=65°，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE=65°，
∴∠AEF=180°-65°=115°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．
3．（2019·绍兴市第一初级中学八年级期中）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当，时，等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先连接AC，由将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，AB=2，，易得△ABC是等边三角形，即可得到答案．
【详解】
连接AC，
∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，
∴AB=BC，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2．
故选：B．
【点睛】
本题考点：菱形的性质.
4．（2019·浙江绍兴市·八年级期末）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（
）
A．22.5°
B．25°
C．23°
D．20°
【答案】A
【分析】
根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=∠BCA=45°；
△ACE中，AC=AE，
则：∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°；
∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．
考点：正方形的性质．
5．（2021·浙江温州市·八年级期末）如图，在中，，点D在AC边上且，M是BD的中点．若，，则CM等于（ ）
A．5
B．6
C．8
D．10
【答案】A
【分析】
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，设，则，再根据勾股定理列方程求解即可得出答案．
【详解】
解：，M是BD的中点，
设，则
在中，根据勾股定理得
即
解得：，
故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边的中线性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
6．（2019·浙江八年级月考）如图，在△ABC
中，点
D
是边
BC
上的点（与
B、C
两点不重合），过点
D作
DE∥AC，DF∥AB，分别交
AB、AC
于
E、F
两点，下列说法正确的是（
）
A．若
AD
平分∠BAC，则四边形
AEDF
是菱形
B．若
BD＝CD，则四边形
AEDF
是菱形
C．若
AD
垂直平分
BC，则四边形
AEDF
是矩形
D．若
AD⊥BC，则四边形
AEDF
是矩形
【答案】A
【分析】
由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
【详解】
解：A选项：若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；
B选项：若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；错误；
C选项：若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；错误；
D选项：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；错误；
故选A．
【点睛】
本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
7．（2020·浙江台州市·八年级期末）如图，在中，，是中点，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，.若，则阴影部分的面积是（
）
A．
B．12
C．9
D．6
【答案】C
【分析】
连接，过点作、．把阴影部分面积分为面积与面积，根据中位线性质可得、与正方形边长的关系，最后在中利用勾股定理，得到．
【详解】
解：连接，过点作、．
为中点，，，
，．
面积，
面积，
在中，
，
阴影部分面积面积面积．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理、以及中位线的性质定理，解题的关键是作出辅助线，分割图形，最后整体求值．
8．（2020·台州市书生中学八年级月考）如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB=ED；②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；③△EBA和△EDC一定是全等三角形.其中正确的有(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】C
【分析】
根据矩形的性质得到∠BAE=∠DCE，AB=CD，再由对顶角相等可得∠AEB=∠CED，推出△EBA≌△EDC，依此可得①③正确；无法判断∠ABE和∠CBD是否相等．
【详解】
∵四边形ABCD为矩形，
根据折叠的性质，
∴∠BAE=∠DCE=90，AB=CD，
在△EBA和△EDC中，
，
∴△EBA≌△EDC（AAS），故③正确；
∴BE=DE，
∴△EBD为等腰三角形，故①正确；
无法判断∠ABE和∠CBD是否相等，故②错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了图形的翻折变换，全等三角形的判定和性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
9．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，菱形中，，，点E是线段上一点（不与A，B重合），作交于点F，且，则周长的最小值是（
）
A．6
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
只要证明得出是等边三角形，因为的周长，所以等边三角形的边长最小时，的周长最小，只要求出的边长最小值即可．
【详解】
解：连接，
菱形中，，
与是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，
是等边三角形，
的周长，
等边三角形的边长最小时，的周长最小，
当时，最小，
的周长最小值为，
故选：．
【点睛】
本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，所以中考常考题型．
10．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，中，对角线交于点，点分别是的中点，交于点．有下列4个结论：①；②；③；④，其中说法正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得；由三角形中位线定理可证得，进而可得，证出得．得出，即可得出结论．
【详解】
解：连接，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，，，，，
，
，
点为中点，
，故①正确；
、、分别是、、的中点，
，，
，，
，
，故②正确；
，，
四边形是平行四边形，
，
即，故③正确；
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，故④错误；
故选：．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键．
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．（2020·浙江温州市·八年级期末）在中，，为斜边的中点，，则_____．
【答案】10
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC＝2BD，进而可得答案．
【详解】
如图，∵∠ABC＝90°，点D为斜边AC的中点，
∴AC＝2BD，
∵BD＝5，
∴AC＝10，
故答案为：10．
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12．（2018·浙江八年级月考）已知：如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B，D，E在同一直线上，AF⊥BE于点F，那么线段BE，CE，AF三者之间的数量关系是________.
【答案】．
【分析】
根据和都是等腰直角三角形，可得，，，，据此推出，再根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出，最后根据，，，得到，即可得到结论．
【详解】
解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定方法和性质，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是要明确判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
13．（2020·浙江丽水市·八年级期末）如图正方形ABCD分割成为七巧板迷宫，点E，F分别是CD，BC的中点，一只蚂蚁从D处沿图中虚线爬行到出口F处，若AB=2，则它爬行的最短路径长为_____．
【答案】
【分析】
由图可知，蚂蚁从D处沿图中虚线爬行到出口F处，最短路径应是DE+EF的长，然后求解即可．
【详解】
解：正方形ABCD，点E，F分别是CD，BC的中点，AB=2，
CE=DE=CF=1，，
，
蚂蚁从D处沿图中虚线爬行到出口F处，最短路径应是DE+EF的长，即为；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及最短路径问题，关键是得到最短路径，然后由正方形的性质及勾股定理得到线段的长进行求解即可．
14．（2020·浙江宁波市·八年级期末）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝3，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则EF的长为_____．
【答案】
【分析】
连接BE，BD，证明△BCD是等边三角形，证得∠ABE＝∠CEB＝90°，由折叠可得AF＝EF，由EF2＝BE2+BF2可求出答案．
【详解】
解：如图，连接BE，BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴AB＝3＝BC＝CD，∠A＝60°＝∠C，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是CD中点，
∴DE＝＝CE，BE⊥CD，∠EBC＝30°，
∴BC=2CE=3
∴BE＝＝，
∵CD∥AB，
∴∠ABE＝∠CEB＝90°，
由折叠可得AF＝EF，
∵EF2＝BE2+BF2，
∴EF2＝+（3﹣EF）2，
∴EF＝，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查菱形的折叠问题，解题的关键是熟知菱形的性质、折叠的特点及勾股定理的应用．
15．（2019·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，矩形中，，点是上的一点，有，的垂直平分线交的延长线于点，连结交于点，若是的中点，，则的长是______.
【答案】
【分析】
根据矩形的性质和线段垂直平分线的性质得出EO的长，进而利用三角形全等得出EF的长，最后利用勾股定理得出FO即可．
【详解】
解：∵矩形ABCD，AB=8，AE=4，
∴∠A=90°，
∴
∵BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，
∴EO=BE＝，
∵G是CD的中点，
∴DG=GC，
在△EDG与△FCG中
∴△EDG≌△FCG（ASA），
∴EG=GF=5，
∴EF=10，
∴在Rt△EFO中，，
故答案为
【点睛】
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质、勾股定理解答．
16．（2019·浙江温州市·八年级期末）如图，菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE．若AE＝2，∠DCE＝30°，则菱形的边长为________．
【答案】
【分析】
由四边形ABCD为菱形性质得DC∥AB，则同旁内角互补，得∠CDE+∠DEB=180°，
结合DE⊥AB，则DE⊥DC，已知∠DCE=30°，设DE=x,
用勾股定理把DC、AD、和DE用含x的代数式表示，在Rt△AED中，利用勾股列关系式求得x=，
则.
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴DC∥AB，
∴∠CDE+∠DEB=180°，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥DC，
∵∠DCE=30°，
设DE=x,
则EC=2x，
?，
∴AD=DC=，
在Rt△AED中，有AD2=DE2+AE2
，
解得x=，
，
故答案为：.
【点睛】
本题考查菱形的基本性质，能够灵活运用勾股定理是本题关键.
17．（2020·温州外国语学校八年级月考）学习新知：如图
1、图
2，是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：
．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．
应用新知：如图
3，在中，，，是
内一点，且,，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】
过点A作AE⊥AD，过点B作BE⊥BD，AE与BE交于点E，连接DE、CE，如图，则易得四边形ADBE为矩形，可得AB=DE，于是求的最小值就转化为求DE的最小值，由题意中的结论知，于是CE的长可求，然后再根据三角形的三边关系可得当C、D、E三点共线时，DE取得最小值，问题即得解决．
【详解】
解：过点A作AE⊥AD，过点B作BE⊥BD，AE与BE交于点E，连接DE、CE，如图，
则四边形ADBE为矩形，∴AB=DE，
由题意中的结论知：，即，
解得：，
在△CDE中，由三角形的三边关系可得：，
∴当C、D、E三点共线时，，此时DE取最小值为，
即的最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题是阅读理解题型，主要考查了矩形的性质、三角形的三边关系定理等知识，正确理解题意、合理添加辅助线、熟练掌握矩形的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共6小题，共49分）
18．（2019·浙江温州市·八年级期末）如图，在正方形方格纸中，线段AB的两个端点和点P都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形．
（1）在图甲中画一个以AB为边的平行四边形，使点P落在AB的对边上(不包括端点)．
（2）在图乙中画一个以AB为对角线的菱形，使点P落在菱形的内部(不包括边界)．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据一组对边平行且相等是平行四边形，过P作AB的平行线，使其作为平行四边形的一边，并且使这条边等于AB，端点在格点上即可.方案不唯一.
（2）根据四条边相等的四边形是菱形，由三角形全等的性质构造菱形的四条边，且使P点在菱形的内部即可.方案不唯一.
【详解】
（1）解：如下图
（2）解：如下图
【点睛】
本题考查了平行四边形和菱形的判定，灵活应用两者的性质画符合题意的平行四边形及菱形是解题的关键.
19．（2019·浙江八年级月考）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
【答案】解：（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°．
∴平行四边形AEBD是矩形．
（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD．
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．
【解析】
试题分析：（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
20．（2019·浙江湖州市·八年级月考）如图：在△ABC中∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，
垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
求证：（1）AE＝CD．（2）若AC＝12cm，求BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）根据DB⊥BC，CF⊥AE，得出∠D＝∠AEC，再结合∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，证明△DBC≌△ECA，即可得证；
（2）
由（1）可得△DBC≌△ECA，可得CE=BD，根据BC=AC=12cm
AE是BC的中线，即可得出，即可得出答案．
【详解】
证明：（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．
∴∠D＝∠AEC．
又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，
在△DBC和△ECA中，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE＝CD；
（2）
由（1）可得△DBC≌△ECA
∴CE=BD，
∵BC=AC=12cm
AE是BC的中线，
∴，
∴BD=6cm．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，证明△DBC≌△ECA解题关键．
21．（2020·浙江杭州市·八年级期末）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．
（1）AE＝________，EF＝__________
（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（相遇时除外）
（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．
【答案】（1）t，
；（2）详见解析；（3）当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形
【分析】
（1）先利用勾股定理求出AC的长度，再根据路程=速度×时间即可求出AE的长度，而当0≤t≤2.5时，
；当2.5＜t≤5时，即可求解；
（2）先通过SAS证明△AFG≌△CEH，由此可得到GF＝HE，，从而有，最后利用一组对边平行且相等即可证明；
（3）利用矩形的性质可知FG=EF,求出GH，用含t的代数式表示出EF,建立方程求解即可．
【详解】
（1）
当0≤t≤2.5时，
当2.5＜t≤5时，
∴
故答案为：t，
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，
∵
G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝BG，CH＝DH，
∴AG＝CH，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
在△AFG与△CEH中，，
∴，
∴
GF＝HE，
∴四
边
形
EGFH是平行四边形．
（3）解：如图所示，连接GH，
由（1）可知四边形EGFH是平行四边形
∵点
G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，
∴
GH＝BC＝4，
∴
当
EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①当0≤t≤2.5时,AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，
解得：t＝0.5
②当2.5＜t≤5时，,AE＝CF＝t，EF＝2t-5＝4，
解得：t＝4.5
即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定及矩形的性质，掌握平行四边形的判定方法及矩形的性质是解题的关键．
22．（2020·杭州市公益中学八年级期末）如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F，作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O．
（1）判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
（2）若AB＝3，AD＝4，求FG的长．
【答案】（1）四边形BFDG是菱形，见解析；（2）FG＝
【分析】
（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定得到四边形BFDG是平行四边形，再根据折叠性质和平行线性质可得∠FBD＝∠FDB，进而可得DF＝BF，根据菱形的判定即可得出结论；
（2）根据矩形的性质和勾股定理可求得BO和BF的长，再根据菱形的性质和勾股定理即可求出FG的长．
【详解】
解：（1）四边形BFDG是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴FD∥BG，
又∵DG∥BE，
∴四边形BFDG是平行四边形，
由折叠性质得：∠EBD＝∠CBD，
∵AD∥BC
∴∠CBD＝∠FDB
∴∠FBD＝∠FDB，
∴DF＝BF，
∴四边形BFDG是菱形；
（2）∵AB＝3，AD＝4，
∴BD＝5．
∴OB＝BD＝．
设DF＝BF＝x，
∴AF＝AD﹣DF＝4﹣x．
∴在Rt△ABF中，由AB2+AF2＝BF2得：32+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝，
即BF＝，
∵四边形BFDG是菱形，
∴BD⊥FG，
∴FO＝＝，
∴FG＝2FO＝．
【点睛】
本题考查矩形的性质、折叠的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理，是一道与平行四边形有关的综合题，难度适中，熟练掌握折叠的性质和特殊平行四边形的判定与性质是解答的关键．
23．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分交于点E，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求；
（3）在（2）的条件下，若，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）135°；（3）
【分析】
（1）证明∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°即可解决问题；
（2）证明△DCE是等腰直角三角形，得到∠DEC=45°，CD=CE，结合∠BDE得到∠CBD=∠ADB=30°，从而说明△OCD是等边三角形，得到CE=OC=CD，结合∠BCA的度数，根据三角形内角和求出∠COE，再加上∠COD的度数即可；
（3）作OF⊥BC于F，求出OF=CD=1，再求出EC，可得BE，从而计算面积．
【详解】
解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）由（1）可得：AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴OD=OC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=45°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴∠DEC=45°，CD=CE，
∵∠BDE=15°，
∴∠DBC=∠ADB=45°-15°=30°，
∴∠BDC=60°，又OD=OC，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC=CD=CE，∠DCO=∠COD=60°，
∴∠OCE=30°，
∴∠COE=∠CEO=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+75°=135°；
（3）作OF⊥BC于F．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF=CD=1，
∵EC=CD=AB=2，
∴AC=BD=4，
∴BC==，
∴BE=BC-CE=-2，
∴△BOE的面积===．
【点睛】
本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．
试卷第1页，总3页
试卷第1页，总3页
