2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学）同步练习（含解析）

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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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初中数学浙教版八年级下册2.4
一元二次方程根与系数的关系
同步练习
一、单选题（共6题；共12分）
1.已知x1
，
x2是一元二次方程
的两根，则x1＋x2的值是（
）
A.?0??????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?－2??????????????????????????????????????????D.?4
2.若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则α2+β2+αβ的值为（　　）
A.?10???????????????????????????????????????????B.?9???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?5
3.已知m，n是关于x的一元二次方程
的两个解，若
，则a的值为（???
）
A.?﹣10????????????????????????????????????????B.?4????????????????????????????????????????C.?﹣4????????????????????????????????????????D.?10
4.已知
，
则
最小值是（????
）
A.?6??????????????????????????????????????????B.?3??????????????????????????????????????????C.?﹣3??????????????????????????????????????????D.?0
5.若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2＝18，则
的值是(?
??????)
A.?3?????????????????????????????????????????B.?－3?????????????????????????????????????????C.?5?????????????????????????????????????????D.?－5
6.已知一元二次方程a(x-x1)(x-x2)=0(a≠0，x1≠x2)与一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x1
，
若一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0有两个相等的实数根，则(???
)
A.?a(x1-x2)=d??????????????????????B.?a(x2-x1)=d??????????????????????C.?a(x1-x2)?=d??????????????????????D.?a(x2-x1)=d
二、填空题（共5题；共6分）
7.若
是关于
的方程
的一个根，则方程的另一个根是________.
8.已知一元二次方程2x?+bx+c=0的两个根为x1=1和x2=2，则b=________，c=________。
9.已知a，b是方程
的两根，则
的值是________．
10.一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是-3，另一个根是2，则这个方程是________。
11.写出一个关于x的一元二次方程，使方程的两根互为相反数，且二次项系数为1，此方程是________.
三、综合题（共6题；共54分）
12.已知x2﹣mx+9=0的一根为x1=4+
，求另一根x2和m的值．
如果方程2x2+4x+3k=0的两个根的平方和等于7，求k的值．
14.设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：
（1）（x1﹣x2）2；
（2）．
15.关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0
（1）有两个不相等的实数，求m的取值范围
（2）m取一个适当的实数求原方程的解
（3）若x1
，
x2是方程的两根且
，求m值．
16.探究与应用：
探究：一般地，对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，它的根是x=
?（b2﹣4ac≥0）．
（1）如果x1
，
x2是一元二次方程
ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x1+x2==________，x1?x2==________．（请用含a、b、c的代数式表示）
（2）应用：已知x1
，
x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用探究获得的根与系数关系：
填空：x1+x2=________，x1?x2=________．
（3）求值：（x1+1）（x2+1）．
17.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1
，
x2
，
那么x1+x2=﹣p，x1?x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．
（2）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求
+
的值；
（3）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解答】解：∵x1
，
x2是一元二次方程
的两根，∴x1+x2=2．
故答案为：B．
2.【答案】
C
【解答】解：根据题意得α+β＝2，αβ＝﹣3，
所以α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ
＝22﹣（﹣3）
＝7．
故答案为：C．
3.【答案】
C
【解答】解：∵m，n是关于x的一元二次方程
的两个解，∴m+n=3，mn=a．
∵
，即
，
∴
，解得：a=﹣4．
故答案为：C．
4.【答案】
A
【解答】∵
，
∴
m、n
是方程
的两根，
∴
，
∵
∵
，当
时代数式有最小值，最小值为6，
故答案为：A
5.【答案】
D
【解答】∵一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b
∴
a+b=3，ab=p
，
∵
a2－ab＋b2＝18
∴（a+b）2-3ab=18即9-3p=18
解之：p=-3
∴ab=-3
∵
故答案为：D
6.【答案】
B
【解答】解：∵一元二次方程a(x-x1)(x-x2)=0(a≠0，x1≠x2)与一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x1
，
∴x=x1是一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0的一个解
∴一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0只有一个解，
∴ax2-(ax1+ax2-d)x+ax1x2+e=0
∴
整理得：a(x2-x1)=d.
故答案为：B.
二、填空题
7.【答案】
【解答】解：设方程的另一个根为y，
则y+
＝4
，
解得y＝
，
即方程的另一个根为
,
故答案为：
．
8.【答案】
-6；4
【解答】解：∵一元二次方程2x?+bx+c=0的两个根为x1=1和x2=2，
∴
解之
：b=-6，c=4.
故答案为：-6，4.
9.【答案】
3
【解答】∵
，
是方程
的两根，
∴
，
，
，
故答案为：3．
10.【答案】
x2+x-6=0
【解答】解：∵一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是-3，另一个根是2，
∴x2-（-3+2）x+2×（-3）=0
∴x2+x-6=0
故答案为：x2+x-6=0.
11.【答案】
x2?4=0
【解答】∵方程的两根互为相反数，根据两根之和公式可知一次项系数为0，
为了保证方程有意义，△必须大于等于0.
所以一元二次方程可写为x2?4=0.
故答案为：x2?4=0.
三、综合题
12.【答案】解：∵x1、x2是方程x2﹣mx+9=0的两个根，
∴x1+x2=m，x1?x2=9，
∵x1=4+
，
∴x2=
=4﹣
，m=4+
+4﹣
=8．
答：方程的另一根为4﹣
，m的值为8
13.【答案】解：∵方程2x2+4x+3k=0有实数根，
∴△=42﹣4×2×3k=16﹣24k≥0，
解得：k≤
．
设方程2x2+4x+3k=0的两个根为x1、x2
，
则有：x1+x2=﹣2，x1?x2=
k，
∵
=7，
∴
﹣2x1?x2=4﹣3k=7，
解得：k=﹣1．
故k的值为﹣1
14.【答案】
解：根据根与系数的关系可得：x1+x2=﹣2，x1?x2=．
（1）（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+2x1x2﹣4x1x2=（x1+x2）2﹣4x1x2==10．（2）=x1x2+1+1+==．
15.【答案】
（1）解：∵方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数，
∴△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，
解得：m＜1．
∴方程有两个不相等的实数时，m的取值范围为m＜1
（2）解：取m=0，当m=0时，原方程为x2﹣4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3
（3）解：∵方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0的两根为x1
，
x2
，
∴x1+x2=﹣2（m﹣2），x1?x2=m2﹣3m+3，
∴
+
=
﹣2x1?x2=[﹣2（m﹣2）]2﹣2（m2﹣3m+3）=2m2﹣10m+10=6，
即m2﹣5m+2=0，
解之得：m1=
，m2=
．
∵△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4≥0，
∴m≤1，
∴m=
16.【答案】
（1）﹣
；
（2）﹣
；
（3）（x1+1）（x2+1）=x1?x2+（x1+x2）+1=﹣
﹣2+1=﹣
【解答】解：（1）探究：∵x=
，
∴x1+x2=
+
=﹣
，x1?x2=
×
=
．
故答案为：﹣
；
．
应用：（2）∵x1
，
x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，
∴x1+x2=﹣
=﹣2，x1?x2=
=﹣
．
故答案为：﹣2；﹣
．
17.【答案】
（1）解：当p=﹣4，q=3，则方程为x2﹣4x+3=0，
解得：x1=3，x2=1
（2）解：∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，
∴a、b是x2﹣15x﹣5=0的解，
当a≠b时，a+b=15，a﹣b=﹣5，
+
=
=
=
=﹣47；
当a=b时，原式=2
（3）解：设方程x2+mx+n=0，（n≠0），的两个根分别是x1
，
x2
，
则
+
=
=﹣
，
?
=
=
，
则方程x2+
x+
=0的两个根分别是已知方程两根的倒数
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