第二章 一元二次方程单元测试（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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初中数学浙教版八年级下册第二章
一元二次方程
单元测试
考试时间：90分钟
满分：120分
姓名：__________
班级：__________考号：__________
一、单选题（共10题；共30分）
1.下表是一组二次函数
的自变量x与函数值y的对应值：
1
1.1
1.2
1.3
1.4
-1
-0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程
的一个近似根是（?
）
A.?1?????????????????????????????????????????B.?1.1?????????????????????????????????????????C.?1.2?????????????????????????????????????????D.?1.3
2.已知方程3x2+4x=0，下列说法正确的是（??
）
A.?只有一个根?????B.?只有一个根x=0?????C.?有两个根，x1=0，x2=
-
?????D.?有两个根，x1=0，x2=
3.用公式法解方程3x2＋4＝12x
，
下列代入求根公式正确的是
(??
)
A.?x＝
??????????????????????????????????????????????B.?x＝
C.?x＝
??????????????????????????????????????????????D.?x＝
4.一元二次方程x2﹣3
x+6＝0的根的情况为（?
）
A.?有两个不相等的实数根??????????B.?有两个相等的实数根??????????C.?只有一个实数根??????????D.?没有实数根
5.下列方程是关于x的一元二次方程的是（?????
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
6.用配方法解一元二次方程x2-4x-9=0，可变形为(??
)
A.?(x-2)2=9?????????????????????????B.?(x-2)2=13?????????????????????????C.?(x+2)2=9?????????????????????????D.?(x+2)2=13
7.方程
的根为（???
）
A.????????????????B.????????????????C.?，
???????????????D.?，
8.某小区中央花园有一块长方形花圃，它的宽为5m，若长边不变，将短边扩大，使得扩大后的花圃形状为正方形，且面积比原来增加15m?，设原来花圃长边为xm，可列方程(???
)
A.?x?+5x=15?????????????????????????B.?x2-5x=15?????????????????????????C.?(x-5)2=15?????????????????????????D.?x2-25=15
9.九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意列出方程为（???
）
A.?x(x－1)＝2070????????????B.?x(x＋1)＝2070????????????C.?x(x＋1)＝2070????????????D.?x(x－1)＝2070
10.设
是方程
的两个根，则
的值是（??
）
A.????????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?
二、填空题（共6题；共24分）
11.已知一元二次方程x2+2x+m=0的一个根是-1，则m的值为________。
12.方程
的根是________．
13.鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，红光养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡________只．
14.超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为：________
.
15.一个两位数两个数字的和为5，把这个两位数的个位数字与十位数字母互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为736，则原两位数是________.
16.已知实数
满足
，则
的值是________.
三、综合题（共8题；共66分）
17.如果
，求
的值.
18.解下列方程：
（1）
（2）
19.已知关于x的一元二次方程(x－m)2＋2(x－m)＝0（m为常数）.
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）若该方程有一个根为4，求m的值.
20.某商场销售一批衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元。为回馈顾客，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1）若每件衬衫降价5元，商场可售出多少件？
（2）若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？
21.“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约
万平方米，预计
年绿化面积约为
万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
（1）求每年绿化面积的平均增长率；
（2）已知每平方米绿化面积的投资成本为
元，若
年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么
年的绿化投资成本需要多少元？
22.如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）.
（1）要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2
，
那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）如果把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，那么它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）可以达到30cm2吗？请说明理由.
23.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13厘米，BC＝10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．
（1）求AD的长；
（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；
（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得S△PMD＝
S△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
24.我们已经知道(a﹣b)2≥0，即a2﹣2ab+b2≥0.所以a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号).
阅读1：若a、b为实数，且a＞0，b＞0.
∵(
)2≥0，∴a﹣2
+b≥0，∴a+b≥2
(当且仅当a=b时取等号).
阅读2：若函数y=x
(m＞0，x＞0，m为常数).由阅读1结论可知：x
即x
∴当x
即x2=m，∴x=
(m＞0)时，函数y=x
的最小值为2
.
阅读理解上述内容，解答下列问题：
（1）问题1：当x＞0时，
的最小值为________；当x＜0时，
的最大值为________.
（2）问题2：函数y=a+
(a＞1)的最小值为________.
（3）问题3：求代数式
(m＞﹣2)的最小值，并求出此时的m的值.
（4）问题4：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和16，求四边形ABCD面积的最小值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5=0的一个近似根为1.2，
故答案为：C
2.【答案】
C
【解答】解：因为3x2+4x=0
，故x=
=
，x1=0，x2=
-
故答案为：C
3.【答案】
D
【解答】解：把方程3x2＋4＝12x化为一般式，得3x2－12x＋4＝0，此时a＝3，b＝－12，c＝4.故答案为：D.
4.【答案】
D
【解答】解：∵x2﹣3
x+6＝0，
△＝（﹣3
）2﹣4×1×6＝﹣6＜0，
∴方程没有实数根，
即一元二次方程x2﹣3
x+6＝0的根的情况为没有实数根，
故答案为：D.
5.【答案】
C
【解答】解：A、方程
中的
不是整式，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意；
B、方程
可整理为
，是一元一次方程，此项不符题意；
C、方程
满足一元二次方程的定义，此项符合题意；
D、当
时，方程
不是一元二次方程，此项不符题意；
故答案为：C．
6.【答案】
B
【解答】解：
x2-4x-9=0，
∴
x2-4x=9，
∴
x2-4x+4=9+4，
∴（x-2）2=13.
故答案为：B.
7.【答案】
C
【解答】解：∵（4x-1）2=1，
∴4x-1=1或4x-1=-1，
解得：
，
,
故答案为：C．
8.【答案】
B
【解答】解：
扩大后的花圃形状为正方形，边为xm
∴面积=x2
原长方形花圃，它的宽为5m，
长边为xm
∴面积=5x
扩大后的花圃形面积比原来增加15m?
∴x2-5x=15
故答案为：B
9.【答案】
D
【解答】设全班有
x
名学生，由题意可得
.
故答案为：D.
10.【答案】
B
【解答】解：由已知得：
，
=－2
∴
=
=
5.
故答案为：B.
二、填空题
11.【答案】
1
【解答】解：把x=-1代入方程
x2+2x+m=0
，
得：1-2+m=0，
解得：m=1.
故答案为：1.
12.【答案】
x1=1，x2=3
【解答】解：
x1=1，x2=3，
故答案为：x1=1，x2=3．
13.【答案】
12
【解答】解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得：
x+1+x（x+1）=169，
整理，得
，
解得
（不正确舍去）．
答：设每只病鸡传染健康鸡12只．
故答案为：12．
14.【答案】
（12-x）（100+2x）=1400
【解答】设每箱降价x元，则每天的销售量为
箱，每箱利润为
元
由题意得：
故答案为：
.
15.【答案】
23或32
【解答】解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为（5-x）
根据题意可知
（10x+5-x）[10（5-x）+x]=736
x2-5x+6=0
解得，x1=2，x2=3
∴5-x=2或5-x=3
∴原来的两位数为23或32
16.【答案】
18
【解答】解：∵x=6-y,
∴x+y=6,
∵z2=xy-9,
∴xy=z2+9,
∴x、y是方程a2-6a+z2+9=0的两根,
∴△=(-6)2-4×(z2+9)≥0，
∴-z2≥0,
∴z=0,
∴△=0，
∴x=y,
∴x=6-x,
∴x=3,
y=3,
∴
??.
故答案为：18.
三、综合题
17.【答案】
解：设
则原方程可化为：
，即：
因式分解得：
解得：
，
又∵
，
∴
即
18.【答案】
（1）解：方程整理得：
，
∵
，
，
，
，
∴
，
∴
，
；
（2）解：原方程移项得：
，
提公因式得：
，
∴
或
，
∴
，
.
19.【答案】
（1）解：方法1：(x－m)2＋2(x－m)＝0，即(x－m)(x－m＋2)＝0
∴x1＝m，x2＝m－2
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
方法2：∵
(x－m)2＋2(x－m)＝0，即x2－2mx＋m2＋2x－2m＝0
即x2＋(2－2m)x＋m2－2m＝0
a＝1，b＝2－2m，c＝m2－2m
b2－4ac＝(2－2m)2－4(m2－2m)＝4＞0.
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：方法1：∵该方程有一个根为4
∴m＝4或m－2＝4
∴m＝4或6
.
方法2：∵该方程有一个根为4，
∴(4－m)2＋2(4－m)＝0
即m2－10m＋24＝0解得m＝4或6
方法3：x＝
＝
＝
，
解得x1＝m，x2＝m－2.
∴m＝4或m－2＝4
即m＝4或6
.
20.【答案】
（1）解：由题意得：
20+5×2=30.
答：若每件衬衫降价5元，商场可售出30件.
（2）解：若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价x元，根据题意得
（40-x）（20+2x）=1200
解之：x1=10，x2=20
答：若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价10元或20元.
（2）根据每一件的利润×销售量=1200，设未知数，列方程求出方程的解即可。
21.【答案】
（1）解：设每年绿化面积的平均增长率为x．可列方程
1000（1+x）2=1210
解方程，得：x1=0.1x2=-2.1（不合题意，舍去）
所以每年绿化面积的平均增长率为10%．
（2）解：
（万平方米）
（元）
答：2021年的绿化投资成本需要798600000元．
22.【答案】
（1）解：设剪去的正方形边长为xcm，由题意，得
（10-2x）（8-2x）=48，即x2-9x+8=0
解得x1=8（不合题意，舍去），x2=1.
∴剪去的正方形的边长为1cm.
（2）解：它的侧面积可以达到30cm2.理由如下：
设剪去的正方形边长为ycm，
若按图1所示的方法剪折，
解方程2（8-2y）y+2×
y=30，得该方程没有实数解.
若按图2所示的方法剪折，
解方程2（10-2y）y+2×
?y=30，
得y1=
，y2=3.
∴当按图2所示的方法剪去的正方形边长为
cm或3cm时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到30cm2.
23.【答案】
（1）
解：∵AB＝AC＝13，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝5cm，且∠ADB＝90°，
∴AD2＝AC2﹣CD2
∴AD＝12cm．
（2）解：AP＝t，PD＝12﹣t，
又∵由△PDM面积为
PD×DC＝15，
解得PD＝6，∴t＝6．
（3）解：假设存在t，
使得S△PMD＝
S△ABC
．
①若点M在线段CD上，
即
时，PD＝12﹣t，DM＝5﹣2t，
由S△PMD＝
S△ABC
，
即
，
2t2﹣29t+50＝0
解得t1＝12.5（舍去），t2＝2．
②若点M在射线DB上，即
．
由S△PMD＝
S△ABC
得
，
2t2﹣29t+70＝0
解得
，
．
综上，存在t的值为2或
或
，使得S△PMD=
△ABC
．
24.【答案】
（1）2；?2
（2）9
（3）解：
=
∵m＞﹣2，
∴
≥
=4
当m+2=
时成立，即m=0（-4舍去）时，最小值为4.
（4）解：设S△BOC＝x，已知S△AOB＝4，S△COD＝16
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD＝S△AOB：S△AOD
∴x：16＝4：S△AOD
∴S△AOD＝
∴四边形ABCD面积＝4＋16＋x＋
≥20＋
＝36
当且仅当x＝8时取等号，即四边形ABCD面积的最小值为36.
【解答】解:（1）当x＞0时，
≥2
＝2；
当x＜0时，
＝?（?x?
）
∵?x?
≥2
＝2
∴?（?x?
）≤?2
∴当x＞0时，x＋
的最小值为2；当x＜0时，x＋
的最大值为?2.
故答案为：2；?2；
（
2
）y=a+
=
a-1+
+1
∵a-1＞0
∴y=a-1+
+1≥
+1=2×4+1=9
故答案为：9；
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