(共17张PPT)
3.1 平方根
1.正数有两个平方根,它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根,符号 .
2.算术平方根:正数正的平方根和0的平方根,符号 .
实数
有理数
无理数
正有理数
零
负有理数
正无理数
负无理数
有限小数或
无限循环小数
无限不循环小数
有理数和无理数统称实数。
一般地，一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根(也叫做a的三次方根)
（其中a是被开方数，3是根指数，符号“ ”，读作“三次根号”）
记做:
3.3立方根
1.平方根、算术平方根
与立方根有何区别
平方根 算术平方根 立方根
表示方法
a的取值 a为任意实数
性质 正数的平方根有两个;
0的平方根是0;
负数没有平方根 正数的算术平方根是正数;
0的算术平方根是0;
负数没有算术平方根 正数的立方根是正数;
0的立方根是0;负数的立方根是负数
判断:
(1) 64的平方根是8 .
(2) 8是64的平方根.
对
2.分别指出下列各数中,哪些是有理数,哪些是无理数:
…(两个2之间依次多一个1)
有理数：
无理数：
1.下列各数有没有平方根 并说明理由.
196, 2.56, -4, (-2),
2.已知某数的一个平方根为 ,求这个数和它的另一个平方根.
解: 这个数为17,另一个平方根为
3.求各数的算术平方根: 289 , 0.01, ,
4.一个立方体的体积是125立方厘米,它的棱长是多少
5.求各数的立方根:
5
2.若一个数的平方根和立方根相同,则这个数是_____;若一个数的立方根和算术平方根相同则这个数是_____.
1.一个正方体的体积变为原来的64倍，它的棱长变为原来的_____倍.
3.存在一个平方,立方,绝对值,倒数,算术平方根,立方根都是它本身的数吗
例2、求下例各式的值：
（1）
（2）
（3）
解：
（1）
（2）
（3）
例题1
一个正方体木块的体积为125立方厘米，现把它锯成8块同样大小的正方体小木块，求每个小正方体木块的边长：
计算
（结果精确到0.01）
（精确到0.01）
（结果保留3个有效数字）
（结果保留3个有效数字）
求如图长方形和三角形组成的多边形的面积（结果精确到0.001平方分米）
2
如图，一架4米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足到底端C的距离（BC)为1米，如果梯子的顶端A沿墙壁下滑1米，那么梯足外移的距离也是1米吗？请你猜一猜，动手量一量，再算一算（结果精确到0.01米，线段AB,BC,AC满足
所以梯足外移的距离不是1米(共14张PPT)
3.4用计算器
进行开方
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
算一算
开方运算包括开平方和开立方。
首先找出“开平方”键和“开立方”键。
例1、用计算器计算：
注意：利用计算器计算的结果，我们约定统一用等号表示。
做一做
解：
例2、用计算器计算（结果保留四个有效数字）
解：（1）
（2）
例3、俗话说，登高望远。从理论上说，当人站在距地面h千米高处时，能看到的最远距离约为 ，上海金茂大厦观光厅高340米，人在观光厅里最多能看多远？（结果保留3个有效数字）
解：
65.3(千米)
答:最多大约能看到家5.3千米远.
为什么这里用了“≈”号？
你能利用计算器比较 和
的大小吗？
问题征答
解：
1.44224957＞1.414213562
（1）任意找一个你认为很大的正数，
利用计算器对它进行开平方运算，
对所得的结果再进行开平方运算……
随着开方次数的增加，你发现了什么？
（2）改用另一个小于1的正数试一试，
看看是否仍有类似的规律。
议 一 议
发现了这个数越来越接近于1.
借助计算器求下列各式的值，
你能发现什么规律？
利用你发现的规律试写出
的结果。
……
想一想
你发现了用计算器计算这些式子要注意什么吗
已知按一定规律排列的一组数，1，
，
，……，
，
如果从中选出若干个数使它们的和大于3，
那么至少要选出几个数？
试一试
3、任意找一个非零数，利用计算器
对它不断进行开立方运算，你发现了什么？
1、学会用计算器进行开方
说一说
今天你学会了什么呢？
2、学会用计算器进行数学规律的探索
3、知道数学中有许多有趣的计算
注意点:
1、用计算器得出的结果，是一个近似数，但一律用等号；
2、当根号里是一个算式时，用计算器计算时，一定要自觉将这个算式添上括号。(共20张PPT)
3.1
动
脑
筋？
一张正方形桌子的面积为 m2,则它的边长是多少？
4
25 m
49 m
练一练
4
4
0
±３
（5）（ ） = 25
２
（6）（ ）= 81
２
±5
±9
如果一个数的平方等于a，
那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
平方根的概念
说一说它们的平方根是多少？
4 ，9, 0，
你会吗
什么数的平方等于2？2的平方根如何表示呢？
求一个数的平方根的运算叫做开平方
平方根的表示方法：
一个正数a的正平方根用 表示
(读做“根号a”)；a的负平方根用
表示(读做“负根号a”)，因此，一个
正数a的平方根就用 表示，
(读做“正、负根号a”)，其中a叫做被
开方数。
议一议：
（1）一个正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
4
4
0
±３
1、一个正数有正、负两个平方根，
它们互为相反数；
2、0的平方根是0；
3、负数没有平方根
平方根的性质：
写一写： 求下列各数的平方根：
（1）9
（3）0.36
(5)(-25)2
（6）11
上面例子可以看到求一个数的平方根，可以转化为通过乘方运算来求．
算术平方根的概念： 正数正的平方根和零的平方根，统称算术平方根，一个数a(a≥0)的算术平方根记做
下列各数有没有平方根？如果有，
求出它的算术平方根；如果没有，
请说明理由：
议一议：
14
0.9
练习2：
判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3; ( )
（2）49的平方根是7 ； ( )
（3）（－2）2的平方根是±2 ；（ ）
（4）－1 是 1的平方根; （ ）
（5）若X2 = 16 则X = 4 （ ）
（6）7的平方根是±49. ( )
×
×
√
√
×
×
负数没有平方根
学习了本节课，
你有哪些收获？
1.平方与开方互为逆运算．根据这种运算关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根．
2．正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是它本身；负数没有平方根．
判断下面的说法是否正确，如不正确，说明理由，并加以改正。
﹣3的平方根是 9 ( )
9的平方根是﹣3 ( )
-3是9的平方根 ( )
4的平方根是±2 ( )
( )
( )
(﹣10)2没有平方根 ( )
如果x2 = a,则 a 一定是正数。 ( )
( )
√
×
×
×
√
√
×
×
比一比：看谁最快发现？
×
思考：
你能求出下列各式中的未知数x吗？
（1） x2＝49
（2）（x－1）2＝25(共19张PPT)
已知一个立方体模型边长为2cm,求立方体的体积？
(已知一个数,求它的立方)
(已知一个数的立方,求这个数)
如果已知立方体模型的体积为8cm3,求它的棱长呢？
——乘方运算
——开立方运算
一般地，一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根(也叫做a的三次方根)
（其中a是被开方数，3是根指数，符号“ ”，读作“三次根号”）
记做:
问题:
平方根的表示与立方根表示一样吗
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
-125的立方根是多少
问题: 8的立方根是多少
（1）27 （2）-27 （3）
（4）-0.008 (5) 0
例1求下列各数的立方根：
思考：
1.正数有立方根吗？负数呢？零呢？
一个正数有一个正的立方根
零的立方根是零。
一个负数有一个负的立方根
立方根的性质:
平方根的性质与立方根的性质有何区别
说一说：
例2 计算:
结论:
通过前面的计算你能发现了什么
1.互为相反数的两个数,它们的立方根
也是互为相反数
练一练:下列说法是否正确,并说明理由
1. 的立方根是 ;
2.负数不能开立方;
3.4的平方根是2；
4.互为相反数的数的立方根也是互为相反数;
5.立方根是它本身的数只有零;
6.平方根是它本身的数只有零;
7. 的立方根是4。
例3,计算:
1.平方根、算术平方根
与立方根有何区别
平方根 算术平方根 立方根
表示方法
a的取值 a为任意实数
性质 正数的平方根有两个;
0的平方根是0;
负数没有平方根 正数的算术平方根是正数;
0的算术平方根是0;
负数没有算术平方根 正数的立方根是正数;
0的立方根是0;负数的立方根是负数
3.若一个数的平方根和立方根相同,则这个数是_____;若一个数的立方根和算术平方根相同则这个数是_____.
2.一个正方体的体积变为原来的64倍，它的棱长变为原来的_____倍.
4.存在一个平方,立方,绝对值,倒数,算术平方根,立方根都是它本身的数吗
思考： 与 相等吗？
5.计算：
6.填空：
练一练
1.判断下列说法是否正确,并说明理由。
(1)
x
(2) 25的平方根是5
x
(3) -64没有立方根
x
(4) -4的平方根是
x
(5) 0的平方根和立方根都是0
√
7.挑战自我
已知
求 的立方根.
布置作业
一：作业本 3.3
二：课本作业题
三: 数学精编
四: 准备计算器
1．立方根的定义与性质
2．如何求一个数的立方根（开立方）
3．立方根与平方根的区别(共15张PPT)
是非题:
16的平方根是42
16的算术平方根是4
-4是16的平方根
16的平方根是4与-4
平方根等于本身的数1,0
算术平方根等于本身的数是1
-1的平方根是+1与-1
3的算术平方根记作3=
求下列各数的平方根与算术平方根
0, 9, 81, 7, 0.36, 0.0001, ,2500
填空:
REAL NUMBER
REAL NUMBER
温州实验中学分校
WENZHOUSHIYANZHONGXUEFENXIAO
3.2 实数
“海神错判”
约公元600年，毕达哥拉斯学派认为宇宙万物的总规律是服从整数化，认为世界上一切现象，都能归结为整数或整数之比。正当毕氏学派津津乐道地高唱“万物皆数”时，该学派的一位成员希伯索斯利用推理的方法发现，边长为1的正方形的对角线长既不是整数，也不是整数的比（分数）所能表示的.这个发现被人们看成是“荒谬”和违反常识的事。对于只有整数和整数比概念的他们来说，这意味着边长为1的正方形的对角线长竟然不能用任何“数”来表示！这在数学史上称为第一次数学危机。最后希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传就因为这一发现，毕达哥拉斯学派把希伯索斯投入大海中处死。
是介于1和2之间的一个数，请在表中的空白处填上适当的不等号.
…… ……
合作学习：
像 这种无限不循环小数叫做无理数（irrational number）.
无理数广泛存在着，无理数一般有三种情况：
①如 等，但 等是有理数；
③1.010010001…（两个1之间依次多一个0），
95.6868868886…（两个6之间依次多一个8）等.
② 等；
有理数和无理数统称为实数（real number）.
（1）在 中，
属于有理数的有：______________________；
属于无理数的有：_________________________；
属于实数的有：___________________________.
课内练习
注：把数从有理数扩充到实数以后，有理数中的
相反数和绝对值的概念同样适用于实数.
（2） 的相反数是__________； 的相反数是__________.
（3） ________； _________；
（4）一个数的绝对值是 ，则这个数是______.
典例分析
例：把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“<”号连接）：
（1）在实数范围内，每一个数都可以用数轴上的点表示出来；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，我们说实数和数轴上的点一一对应.
（2）在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大.
在 （两个3之
间依次多一个0）， 中，
①属于正数的有：__________________________；②属于无理数的有：________________________；③属于实数的有：__________________________；④上面无理数的相反数依次是：______________；⑤上面无理数的绝对值依次是：______________；⑥上面无理数用“<”号连接是：______________.
P73课内练习2
探究学习
1、判断下列说法是否正确，并举例说明理由.
①两个无理数的和一定是无理数；
②两个无理数的积一定是无理数；
③两个无理数的商可能是有理数.
（1）无理数、实数的概念，实数的分类；
（2）知道实数与数轴上的点一一对应，能将实数表示在数轴上；
（3）相反数、绝对值、数的大小比较法则同样适用于实数.
小结：
作业：（1）作业本3.2；
（2）同步3.2(共14张PPT)
3.5实数的运算
一个物体自由下落时，它所经过的距离h米和时间t秒之间的关系我们可以 用 来估计。
计算
面积为2的正方形的边长是什么？
面积为1的正方形的边长又是什么？
1
那么这两个正方形的边长的和是什么？
边长的差又是什么？
例1 计算
（精确到0.001）；
解：
（1）按键顺序为
8
-
0.748343301
9
=
∴
练习:
(精确到0.01);
(结果保留3个有效数字);
(精确到0.01).
例1 计算
(2)
练习:
1.
2.
(结果保留3个有效数字)
(精确到0.01)
(结果保留4个有效数字)
实数运算的法则
实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减. 如果遇到括号，则先进行括号里的运算.
例2 计算
（精确到0.01）.
跳伞运动员跳离飞机,在未打开降落伞前,下降的高度d(米)与下降的时间t(秒)之间
有关系式: (不计空气阻
力)(精确到0.01)
(2)如果共下降1000米,则前一个500米与后一个500米所用的时间分别是多少
好高啊
下降高度d
下降时间t
100
4.47
200
6.32
500
10.00
1000
14.14
活动与探究1
计算
填表：
探究题：
（1）计算： （精确到0．０１）
（2)能计算下题吗？
这节课，你有什么收获，能与我们一起分享吗？
通过这节课的学习，你有那些收获，能与我们一起分享吗？
作业：作业本3.5，同步3.5.
