1.3 解直角三角形 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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初中数学浙教版九年级下册1.3
解直角三角形
同步练习
一、单选题（共6题；共24分）
1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则tanA的值（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
2.如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）都为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（?
）
?5m???????????????????????????????????????B.?6m???????????????????????????????????????C.?7m???????????????????????????????????????D.?8m
（第2题）
（第3题）
（第4题）
3.如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（??
）
A.?tan55°＝
??????????B.?tan55°＝
??????????C.?sin55°＝
??????????D.?cos55°＝
4.有一副三角板，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，如图，将这副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，则AF的长为（??
）
A.?2??????????????????????????????B.?2
﹣2??????????????????????????????C.?4﹣2
??????????????????????????????D.?2
﹣
5.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：
，坝高BC＝3m，则AB的长度为（
??）
?6m???????????????????????????????????B.?3
m???????????????????????????????????C.?9m???????????????????????????????????D.?6
m
（第5题）
（第6题）
6.某兴趣小组想测量一座大楼
AB的高度.如图，大楼前有一段斜坡BC
，已知
BC的长为
12
米它的坡度
.在离
C点
40
米的
D处，用测量仪测得大楼顶端
A的仰角为
37度，测角仪DE的高度为
1.5米，求大楼AB
的高度约为（?
）米（
）
A.?39.3?????????????????????????????????????B.?37.8?????????????????????????????????????C.?33.3?????????????????????????????????????D.?25.7
二、填空题（共6题；共24分）
7.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为________米.
（第7题）
（第8题）
（第10题）
8.如图，在一次测绘活动中，小华同学站在点A的位置观测停泊于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向900米处，船C在点A南偏东15°方向1200米处，则船B与船C之间的距离为________米．
9.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m
，
那么边AB上的高为________．
10.四边形ABCD中，连接AC，BD，∠CAB＝∠BCD＝90°，AC＝AB，?
tan∠CAD
，若
，则BD的长度________
11.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°
，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为________米（结果保留根号）．
（第11题）
（第12题）
12.如图，
中，
，
，
于点D，点E是线段CD的一个动点，则
的最小值是________.
三、综合题（共5题；共52分）
13.如图，A
，
B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km
．
现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：
≈1.4，
≈1.7）
14.如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD
，
测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E
，
又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB
．
（结果带根号）
15.如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图.量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm.托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动.(结果精确到0.1mm)
（1）如图2，若∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，求点A到底座DE的距离；
（2）为了观看需要，在(1)的情况下，将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上(如图3)，则此时点A到底座DE的距离与(1)中比是升高了还是降低了，若升高，升高了多少？若降低，降低了多少？(参考数据：
)
16.2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上(A点)生成，向西北方向移动.并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆.“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30?的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域.已知上海位于舟山市北偏西7?方向，且距舟山市250千米.
（1）台风中心从生成点(A点)到达B岛的速度是每小时多少千米？
（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？(结果保留整数，参考数据：
，
，
；
，
，
.)
17.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：
，AB=10米，AE=15米．（i=1：
是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）
（1）求点B距水平面AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：
1.414，
1.732）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3
∴BC=
∴
故答案为：B
2.【答案】
A
【解答】解：如下图：
∵AB的坡度为0.75=，
∴，
即：，
∴AC=3，
∴AB=5，
∴相邻两树间的坡面距离为5
m.
故答案为：A.
3.【答案】
B
【解答】解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，
∴sin55°＝
，cos55°＝
，tan55°＝
，
故答案为：B.
4.【答案】
D
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，
AC＝
＝2
，
则EF＝AC＝2
，
∵∠E＝45°，
∴FC＝EF?sinE＝
，
∴AF＝AC﹣FC＝2
﹣
，
故答案为：D.
5.【答案】
A
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：
，
∴
，即
，
解得，AC＝3
，
由勾股定理得，AB
6（m），
故答案为：A．
6.【答案】
C
【解答】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H.
∵在Rt△BCF中，
=
，
∴设BF=k，则CF=
k，BC=2k.
又∵BC=12，
∴k=6，
∴BF=6，CF=
，
∵DF=DC+CF，
∴DF=40+
，
∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=
，
∴AH=tan37°×（40+
）≈37.785（米），
∵BH=BF-FH，
∴BH=6-1.5=4.5.
∵AB=AH-HB，
∴AB=37.785-4.5≈33.3.
故答案为：C.
二、填空题
7.【答案】
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，
∴tanα＝
，
∴AB＝
＝
（米）.
故答案为：
.
8.【答案】
1500
【解答】解：∵∠NAB=75°，∠SAC=15°，
∴∠BAC=180°-75°-15°=90°，
在Rt△ABC中，∵AB=900，AC=1200，
∴.
故答案为：1500.
9.【答案】
msinαcosα
【解答】解：如图所示：
根据题意可得：AC＝mcosα，BC＝msinα，
∴
AC?BC＝
mh
，
即h＝msinαcosα，
故答案是：msinαcosα．
10.【答案】
【解答】解：过点D作DE⊥AC，交AC于点E
，如图所示：
∵∠CAB＝90°，AC＝AB
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠ACB
=45°
∵∠BCD＝90°
∴∠ACD=45°
∴△DCE为等腰直角三角形
∵
∴DE=CE=1
∵tan∠CAD
∴AE=2
∴AC=AB=3
∴BC=
∴BD=
=
故答案为：
．
11.【答案】
【解答】解：由题意，得∠CAD=30°，∠BAD=60°，
则在Rt△ADC中，
米，
在Rt△ADB中，
米，
∴
米．
故答案为：
．
12.【答案】
【解答】解：如图，作EG⊥AC于G，BH⊥AC于H，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵tanA=
=3，设AD=a，CD=3a，
∵AB=AC=10，
则有：102=a2+9a2
，
∴a2=10，
∴a=
或
（舍），
∴CD=3a=
，
∵AB=AC，CD⊥AB，BH⊥AC，
∴BH=CD=
，
∵∠ECG=∠ACD，∠CGE=∠CDA，
∴sin∠ECG=
=
=
，
∴EG=
EC，
∴BE+
EC=BE+EG，
∴BE+EG≥BH，
∴BE+
EC≥
，
∴BE+
EC的最小值为
.
故答案为：
.
三、综合题
13.【答案】
解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
设CD＝x．
在Rt△ACD中，sin∠A＝
，AC＝
＝2x，
在Rt△BCD中，sin∠B＝
，BC＝
＝
x，
∵AC+BC＝2x+
x＝68，
∴x＝
，
在Rt△ACD中，tan∠A＝
，AD＝
，
在Rt△BCD中，tan∠B＝
，BD＝
＝20，
AB＝20
+20≈54，
AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）．
答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．
14.【答案】
解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝
，
∴FG＝
＝
＝
．
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝
，
∴CG＝
=
AG．
又CG?FG＝40，
即
AG?
＝40，
∴AG＝20
，
∴AB＝20
＋1.5．
答：这幢教学楼的高度AB为（20
＋1.5）米．
15.【答案】
（1）解：如图1，
过A作
，交ED的延长线于M，过C作
于占F，过C作
，
由题意知，
，
，∠DCB＝90°，∠CDE＝60°，
在
中，
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
在Rt△AFC中，
∵易得四边形MNCF为矩形，
∴
∴
∴点A到底座DE的距离为109.3mm；
（2）解：连接AD，并过A作AQ⊥DB于点Q，如图2，
已知
，
，
在
中，
在
中，
根据
得
，
即
∴
又
，则
，且
答：降低了，降低8.1mm.
16.【答案】
（1）解：由题意得，AB=980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时.
∴
(千米).
答：台风中心从生成点(A点)到达B岛的速度是每小时25千米.
（2）解：过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，
∴∠SHZ=
90°，
∵∠NZD=30°，∠CZN=7°，
∴∠CZD=∠CZN+∠NZD=7°
+
30°=37°.
在Rt△SHZ中，sin∠CZD
=
.
∵∠CZD=37°，SZ=250千米，
∴SH=SZ·sin∠CZD=
(千米).
∵150千米<170千米，
∴设台风中心移动到E处时上海开始遭受台风影响
到F处影响结束.即SE=SF=170(千米).
∵在Rt△SEH中，∠SHE=
90°，
，
∴
.
∴EF=2EH≈160(千米).
∴上海遭受这次台风影响的时间为
(小时).
答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时.
17.【答案】
（1）解：过B作BG⊥DE于G，
在Rt△ABF中，i=tan∠BAH=
，∴∠BAH=30°
∴BH=
AB=5（米）.
答：点B距水平面AE的高度BH为5米.
（2）解：由（1）得：BH=5，AH=5
，
∴BG=AH+AE=5
+15.
在Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=5
+15.
在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=15，
∴DE=
AE=15
.
∴CD=CG+GE﹣DE=5
+15+5﹣15
=20﹣10
≈2.7（米）.
答：宣传牌CD高约2.7米.
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