第一章 解直角三角形 单元测试（含解析）

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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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初中数学浙教版九年级下册第一章
解直角三角形
单元测试
考试时间：120分钟
满分：150分
姓名：__________
班级：__________考号：__________
一、单选题（共10题；共40分）
1.如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（??
）
A.?扩大为原来的两倍?????????????????????B.?缩小为原来的
?????????????????????C.?不变?????????????????????D.?不能确定
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若
，则
的值为（??
）
A.?1????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
3.已知A为锐角，且cosA≤
，那么（??
）
A.????????????????????B.????????????????????C.????????????????????D.?
4.如下图要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取
的垂线
上的一点C，测得
米，
，则小河宽
为（??
）
?米???????????????B.?米???????????????C.?米???????????????D.?米
（第4题）
（第5题）
5.一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（??
）
A.?????????B.?
C.????????D.?
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子中不一定成立的是（???
）
A.?tanA=
?????????????????B.?sin2A+sin2B=1?????????????????C.?sin2A+cos2A=1?????????????????D.?sinA=sinB
7.如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为
，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（???
）
A.?米???????????????????????????B.?米???????????????????????????C.?米???????????????????????????D.?米
8.如图，某建筑物的顶部有一块标识牌
CD，小明在斜坡上
B
处测得标识牌顶部C
的仰角为
45°，
沿斜坡走下来在地面
A
处测得标识牌底部
D
的仰角为
60°，已知斜坡
AB
的坡角为
30°，AB＝AE＝10
米.则标识牌
CD
的高度是(????
?)米.
?15－5
?????????????????????????B.?20－10
?????????????????????????C.?10－5
?????????????????????????D.?5
－5
（第7题）
（第8题）
9.如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（??
）
（
a+
b）米??
B.?（
a+
b）米
C.?（a+
b）米
?D.?（a+
b）米
（第9题）
（第10题）
10.如图，在
中，
，
，
于点D
，
于点E
，
．连接DE
，
将
沿直线AE翻折至
所在的平面内，得
，连接DF
．
过点D作
交BE于点G
．
则四边形DFEG的周长为（???
）
A.?8???????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
二、填空题（共6题；共30分）
11.在
中，
为直角，
、∠B、∠C所对的边分别为a、B、c，且
，
，则tan∠B
=________．
12.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=
，AC=6，则BD的长是________.
13.如图，渔船在
处看到灯塔
在北偏东
方向上，渔船向正东方向航行了
到达
处，在
处看到灯塔
在正北方向上，则
处与灯塔
的距离是________．
（第13题）
（第14题）
14.如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝
，AC＝2
，AB的长________．
15.一座建于若干年前的水库大坝的横截面如图所示，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了________平方米.
（第15题）
（第16题）
16.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于________．
三、综合题（共8题；共80分）
17.（8分）计算：2cos245°+tan60°?tan30°﹣cos60°
18.（8分）在△ABC中，∠B=135°，AB=
，BC=1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AC的长．
19.（8分）如图，一根电线杆PQ直立在山坡上，从地面的点A看，测得杆顶端点P的仰角为45°，向前走6m到达点B，又测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别为60°和30°，求电线杆PQ的高度.（结果保留根号）.
20.?
（10分）
（1）已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=
，解直角三角形.
（2）已知△ABC中，∠A=45°，AB=4，BC=3，求AC的长.
21.（10分）如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上.量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm.
（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；
（2）当E点到水平桌面（AB所在直线）的距离介于45cm至46cm范围时，视线最佳，通过计算说明此时光线是否为最佳.（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，
＝1.73.）
22.（10分）某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，
，斜坡
长为
，坡度
．为了减缓坡面，防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过
时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶到地面的距离
．
（2）如果改造时保持坡脚
不动，坡顶
沿
削进到
处，问
至少是多少米?
23.（12分）一轮船以每小时30km的速度由西向东航行（如图），在途中C处接到台风警报，台风中心正以每小时20km的速度从B处由南向北移动，已知距台风中心200km的区域（包括边界）都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时，测得BC＝500km，BA＝300km.
（1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？若不会受到影响，说明理由；若会受到影响，求出受影响的时间（结果保留整数）.
（2）现轮船速度减慢为每小时vkm（v＜30），航向不变，在保证不受到台风影响的前提下，求v的最大值（结果保留整数）.
24.（14分）如图1，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是对角线AC的中点，点E从A点沿AB向点B运动，运动过程中连接OE，过O作OF⊥OE交BC于F，连接EF，
（1）当点E与点A重合时，如图2，求
的值；
（2）运动过程中，
的值是否与(1)中所求的值保持不变，并说明理由；
（3）当EF平分∠OEB时，求AE的长.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解答】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.
故答案为：C.
2.【答案】
B
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA=
cosB=
，
故答案为：B.
3.【答案】
B
【解答】∵cos60°=
，余弦函数值随角增大而减小，
∴当cosA≤
时，∠A≥60°，
又∠A是锐角，
∴60°≤A＜90°，
故答案为：B.
4.【答案】
A
【解答】解：在Rt△ACP中，tan∠ACP=
∴
米
故答案为：A.
5.【答案】A
【解答】解：sinA=
，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为，
故答案为：A．
6.【答案】
D
【解答】根据同角的三角函数的关系：tanA=
,sin2A+cos2A=1,sinB=sin(90°?A)=cosB，可知只有D不符合题意.
故答案为：D.
7.【答案】
A
【解答】由题意可得：sin
＝
＝
，
故BC＝2sin
（米）．
故答案为：A．
8.【答案】
A
【解答】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示.
?
在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB?cos30°＝5
（米），BM＝AB?sin30°＝5（米）.
在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，
∴DE＝AE?tan60°＝10
（米）.
在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋5
（米），∠CBN＝45°，
∴CN＝BN?tan45°＝10＋5
（米），
∴CD＝CN＋EN?DE＝10＋5
＋5?10
＝15?5
（米）.
故答案为：A.
9.【答案】
A
【解答】解：如图，
∵EF＝a米，∠A＝90°，∠AEF＝30°，
∴AF＝
EF＝
米，∠AFE＝60°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠MFG＝30°，
∴PQ＝NP＝MN＝FM＝
（米），
DQ＝QK?cos30°＝
（米），
∴AD＝AF+4FM+dq＝
a+4×
+
＝
a+
b（米），
故答案为：A.
10.【答案】
D
【解答】解：∵
，
于点D
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
∵
沿直线AE翻折得
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，
在
中，
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
在
中，
，
∴四边形DFEG的周长为：
，
故答案为：D
．
二、填空题
11.【答案】
【解答】解：
?
∵在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=1，a=
，
∴tan∠B=
?=
=
.
故答案是：
?
12.【答案】
2
【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD，
在Rt△AOB中，∵tan∠BAO=，
∴，
即：，
∴BO=1，
∴BD=2BO=2.
故答案为：2.
13.【答案】
【解答】由已知得：∠BAC=
，
在直角三角形ABC中，
(海里)
故答案为：
.
14.【答案】
5
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2
，
∴CD＝
AC＝
，AD＝
CD＝3，
在Rt△BCD中，tanB＝
，
∴
，
∴BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5.
15.【答案】
10
【解答】解：作AE⊥BC于E.
∵原来的坡度是1：0.75，
∴
，
∵AE=4，
∴BE=3，
设整修后的斜坡为AB′，
由整修后坡度为1：2，则
，
∴B′E=8，
∴
∵修整后的大坝横截增加部分为
ABB′
∴增加面积为
故答案为：10.
16.【答案】
3
【解答】解：平移CD到C′D′交AB于O′，如右图所示，
则∠BO′D′=∠BOD，
∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，
设每个小正方形的边长为a，
则O′B=
，O′D′=
，BD′=3a，
作BE⊥O′D′于点E，
则BE=
，
∴O′E=
=
，
∴tanBO′E=
，
∴tan∠BOD=3，
故答案为：3．
三、综合题
17.【答案】
解：原式=2×(
)2+
=1+1﹣
=
.
18.【答案】
（1）解：延长CB，过点A作AD⊥BC，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，
在Rt△ABD中，AB=
，∠ABD=45°，
∴AD=AB×sin45°=2，
∴△ABC的面积=
×BC×AD=1；
（2）解：∵∠ABD=45°，∠D=90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AD=2，
∴DB=2，DC=DB+BC=2+1=3，
在Rt△ACD中，AC=
=
．
19.【答案】
解：延长PQ交地面与点C，
由题意可得：AB=6m，∠PCA=90°，∠PAC=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，
设CQ=x，则在Rt△BQC中，BC=
QC=
x，
∴在Rt△PBC中PC=
BC=3x，
∵在Rt△PAC中，∠PAC=45°，则PC=AC，
∴3x=6+
x，
解得x=
=3+
，
∴PQ=PC-CQ=3x-x=2x=6+
，则电线杆PQ高为（6+
）米.
20.【答案】
（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=60°，AB=2BC=2
，
∴AC=
=3；
（2）解：如图，过点B作BD⊥AC于D，
∵∠A=45°，
∴∠ABD=∠A=45°，
∴AD=BD，
∵AB=4，
,
∴AD=BD=
，
在Rt△BCD中，BC=3，
∴
，
∴AC=AD+CD=
+1.
21.【答案】
（1）解：如图所示：过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，故四边形DNMF是矩形，则∠NDF＝90°，
∵∠A＝60°，∴∠ADF＝120°，∴∠EDF＝135°﹣120°＝15°，
即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；
（2）解：如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，
∴∠ABC＝30°，∴AC＝
AB＝8cm，
∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，
∴DN＝AD?cos30°≈41.57cm，则FM＝41.57cm，
∵灯管DE长为15cm，∴sin15°＝
＝
＝0.26，解得：EF＝3.9（cm），
∴E点到水平桌面（AB所在直线）的距离为：3.9+41.57≈45.5（cm），
∵45cm＜45.5cm＜46cm，∴此时光线最佳.
?
22.【答案】
（1）解：∵坡度
，
∴
，设
，
，
根据勾股定理，
，则
，解得
，
∴
；
（2）解：如图，连接AF，过点F作
于点H，
由（1）得
，
设
，
∵
，
∴
，解得
，
∴BF至少是10米．
23.【答案】
（1）轮船会受到台风影响.
∵BC＝500km，BA＝300km，
∴AC＝
＝400km.
设当轮船接到报警后经过t小时受到台风影响，
则（400﹣30t）2+（300﹣20t）2＝2002
，
解得t1＝
，t2＝
，
∴受影响的时间为t＝
≈11小时，
答：轮船会受到台风影响；受影响的时间为11小时；
（2）由题意得，（400﹣vt）2+（20t﹣300）2≥2002对任意t恒成立，
∴（400+v2）t2﹣（12000+800v）t+210000≥0恒成立，
故（12000+800v）2﹣4（400+v2）×210000≤0，
∴v≥48+8
（舍去），v≤48﹣8
，
∴v的最大值是48﹣8
≈11.
答：v的最大值约为11.
24.【答案】
（1）解：如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴AC=
，
，
当点E与A重合时，
∵O是对角线AC的中点，OF⊥OE，
∴AF=FC，
∴∠OEF=∠FCA，
∴
；
（2）解：运动过程中，
的值是否与(1)中所求的值保持不变.
理由：∵平移后点E和点F与其对应点
和
的连接经过同一点B，
∴△EOF与
平移后的图形是位似图形，
∴∠OEF的大小不变，
∴运动过程中，
的值也不变；
（3）解：当EF平分∠OEB时，
，
?
，
，
设
，
?
，
∵BF+FC=BC，
∴
，
解得，
，
，
在Rt△BFC中，
，
?，
.
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