2.2 切线长定理 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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初中数学浙教版九年级下册2.2
切线长定理
同步练习
一、单选题（共9题；共27分）
1.如图，P为圆O外一点，
分别切圆O于
两点，若
，则
（??
）.
?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
（第1题）
（第2题）
2.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠P＝50°，则∠PAB的度数为（??
）
A.?50°???????????????????????????????????????B.?60°???????????????????????????????????????C.?65°???????????????????????????????????????D.?70°
3.如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PA＝AO，PD与⊙O相切于点D，BC⊥AB交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为1，则BC的长是（?
）
?1.5?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
（第3题）
（第4题）
4.如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO=20°，则∠C的度数是（　　）
A.?70°???????????????????????????????????????B.?50°???????????????????????????????????????C.?45°???????????????????????????????????????D.?20°
5.如图，AB，BC，CD，DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是（??
）
?14??????????????????????????????????????????B.?12??????????????????????????????????????????C.?9??????????????????????????????????????????D.?7
（第5题）
（第6题）
6.如图，
、
、
是
的切线，
、
、
是切点，
分别交
、
于
、
两点.如
，则
的度数为（???
）
A.?50°???????????????????????????????????????B.?60°???????????????????????????????????????C.?70°???????????????????????????????????????D.?75°
7.如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点
为60°角与直尺交点，点
为光盘与直尺唯一交点，若
，则光盘的直径是（???
）．
?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?6????????????????????????????????????????D.?3
（第7题）
（第8题）
（第9题）
8.如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（??
）
A.?2????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?4????????????????????????????????????????D.?4-
9.如图，在矩形ABCD中，AB=4，以AB为直径在矩形内作半圆，DF切该半圆于点E，点F在边BC上．设BF=x，y=tan∠CDF，则(???
)
A.?x2+4xy=4?????????????????????????????B.?x?-4xy=4?????????????????????????????C.?xy=4?????????????????????????????D.?xy+x?=4
二、填空题（共8题；共24分）
10.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为________.
（第10题）
（第11题）
（第12题）
11.如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝5，AC＝3，则BD的长为________．
12.如图，⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，△ABC的周长为18，则AE＝________.
13.如图，
，
是
的切线，
，
为切点，
是
的直径，
，则
的度数为________.
（第13题）
（第14题）
14.如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝________．
15.如图，在□ABCD中，AB＝5，AD＝6，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点C作⊙O的切线交AD于点N，切点为M．当CN⊥AD时，⊙O的半径为________．
（第15题）
（第16题）
（第17题）
16.如图，PA、PB是
的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上.若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝________°.
17.如图，将正方形
绕点
按逆时针方向旋转30°得到正方形
，已知
交
于点
，
，则四边形
的内切圆半径为________．
三、综合题（共6题；共49分）
18.如图，AB是⊙O的直径，PA
，
PC分别与⊙O相切于点A
，
点C
，
若∠P=60°，PA=
，求AB的长．
19.如图，
是
的直径，
切
于点
，点
是
上的一点，且
，
.
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
的半径为2，求弦
及
，
的长.
20.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，经过点C且半径为2的⊙O分别切AB，AD于点B，D。
（1）求的度数。
（2）求图中阴影部分的面积。
?????
21.如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
22.如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，点E是AB
的中点，连接CE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点H.
（1）若连接AO，试判断四边形AECO的形状，并说明理由；
（2）求证：AH是⊙O的切线；
（3）若AB＝6，CH＝2，则AH的长为________.
23.在
中，
，OA平分
交BC于点O
，
以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D
．
（1）如图1，求证：AB为
的切线；
（2）如图2，AB与
相切于点E，连接CE交OA于点F
．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若
，求
的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
D
【解答】∵P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=5，
∴PB=PA=5，
故答案为：D.
2.【答案】
C
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴PA=PB
∴∠PAB=∠PBA
∵∠P＝50°
∴∠PAB＝65°
故答案为：C
3.【答案】
D
【解答】解：连接OD，如图所示
∵PC切⊙O于D
∴∠ODP＝90°
∵⊙O的半径为1，PA＝AO，AB是⊙O的直径
∴PO＝1+1＝2，PB＝1+1+1＝3，OD＝1
∴由勾股定理得：PD＝
∵BC⊥AB，AB过O
∴BC切⊙O于B
∵PC切⊙O于D
∴CD＝BC
设CD＝CB＝x
在Rt△PBC中，由勾股定理得：PC2＝PB2+BC2
即
解得：x＝
即BC＝
故答案为：D
4.【答案】
B
【解答】解：∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴∠OBC=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO=20°，
∴∠BOC=40°，
∴∠C=50°．
故选B．
5.【答案】
D
【解答】解：∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，
∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，
∵AD＝2，BC＝5，
∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，
故答案为：D.
6.【答案】
C
【解答】解：连接OA、OE、OB，所得图形如下：
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，
∵AO=OE=OB，
∴△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠COD=
∠AOB，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=140°，
∴∠COD=70°．
7.【答案】
A
【解答】解：设三角板与圆的切点为C
，
连接OA、OB
，
如下图所示：
由切线长定理知
，
∴
，
在
中，
∴
∴光盘的直径为
，
故答案为：A．
8.【答案】
A
【解答】解：设AB、AC的切点分别为D、E，连结OD、OE，如图，
∵AB、AC与⊙O相切于点D、E，
∴AD=AE，∠ODB=∠OEC=90°，
又∵△ABC是边长为8的等边三角形，
∴AB=AC=BC=8，∠B=60°，
∴BD=CE，
∵OD=OE，
∴△ODB≌△OEC（SAS），
∴OB=OC=
BC=4，
在Rt△ODB中，
∴sin60°=
，
即OD=OBsin60°=4×
=2
，
∴⊙O的半径为2
.
故答案为：A.
9.【答案】
A
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠C=90°，AB=CD=4，
在Rt△CDF中，
∴CF=4y
∵以AB为直径在矩形内作半圆，DF切该半圆于点E，点F在边BC上，
∴AD=DE=BC=BF+CF=x+4y，EF=BF=x，
∴DF=DE+EF=x+4y+x=2x+4y，
在Rt△CDF中，
CD2+CF2=DF2
∴42+（4y）2=（2x+4y）2
解之：x2+4xy=4
故答案为：A
二、填空题
10.【答案】
12
【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴PA=PB=6；
同理，可得：EC=CA，DE=DB；
∴△PDC的周长=PC+CE+DE+DP=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PA=12.
故答案为：12.
11.【答案】
2
【解答】解：根据切线长定理，AP=AC，BP=BD，
所以BP=5-3=2，
所以BD=2.
故答案为：2.
12.【答案】
9
【解答】解：∵⊙O切△ABC的BC于D，切AB、AC的延长线于E、F，
∴BE＝BD，DC＝CF，AF＝AE，
∵△ABC的周长为18，
即AC+BC+AB＝AB+DB+DC+AC＝AB+BE+AC+CF＝18，
∴AE+AF＝18，
∴AE＝9，
故答案为：9.
13.【答案】
70°
【解答】解：连接OB：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠BAC＝35°，OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA＝35°，
∴∠PAB＝∠PBA＝55°，
∴∠P＝180°?∠PAB?∠PBA＝70°，
即∠P的度数是70°，
故答案为：70°．
14.【答案】
50°
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
∴∠BPA＝50°，
故答案为：50°．
15.【答案】
2或1.5
【解答】解：设半径为r，
∵AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，AB＝5，AD＝6
∴GC=r，BG=BF=6-r，
∴AF=5-（6-r）=r-1=AE
∴ND=6-（r-1）-r=7-2r，
在Rt△NDC中，NC2+ND2=CD2
，
（7-r）2+（2r）2=52
，
解得r=2或1.5.
故答案为：2或1.5.
16.【答案】
219
【解答】解：连接AB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵∠P＝102°，
∴∠PAB＝∠PBA＝
（180°?102°）＝39°，
∵∠DAB＋∠C＝180°，
∴∠PAD＋∠C＝∠PAB＋∠DAB＋∠C＝180°＋39°＝219°，
故答案为：219°.
17.【答案】
【解答】解：作∠DAH与∠AEF的角平分线交于点O，则点O是四边形AEFG内切圆的圆心，过O作OH⊥AE，
则∠OAH=30°，∠AEO=45°，
故EH=OH=
OA，
设EH=x，则AH=
-x，AO=2x，
在Rt△AOH中，
∵AH2+OH2=OA2
，
故(
-x)2+x2=(2x)2
，
解得x=
或x=
（舍去），
∴四边形AEED的内切圆半径为：
．
故答案为：
．
三、综合题
18.【答案】
解：∵PA、PB是⊙D的切线，
∴PA＝PC，
∵∠P＝60°，
∴△PAC是等边三角形，
∴AC＝PA＝
，∠PAC＝60°，
∵PA是切线，AB是直径，
∴PA⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝
＝2．
19.【答案】
（1）证明：连接OB.
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=30°.
∴∠AOB=180°-30°-30°=120°.
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°.
∵四边形的内角和为360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-120°=90°.
∴OB⊥PB.
又∵点B是⊙O上的一点，
∴PB是⊙O的切线.?
（2）解：连接OP；
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=
∠APB=30°.
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4，
∴PA=
＝
＝2
.
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2
.
20.【答案】
（1）解：∵在菱形ABCD中，∠A=60°
∴∠C=∠A=60°
∴
的度数为120°．
（2）解：连结OA，OB，OD．
∵⊙O分别切AB，AD于点B，D.
∴OB⊥AB，OD⊥AD，且OA平分∠BAD.
∴∠OAB=∠OAD=30°
∴
∴
．
=
．
21.【答案】
（1）解：连接OF；
根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBE+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°
（2）解：由（1）知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC=
=10cm，
∴BE+CG=BC=10cm
（3）解：∵OF⊥BC，
∴OF=
=4.8cm
22.【答案】
（1）解：连接AO，四边形AECO是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E是AB的中点，
∴AE＝
AB.
∵CD是⊙O的直径，
∴OC＝
CD.∴AE∥OC，AE＝OC.
∴四边形AECO为平行四边形.
（2）证明：由（1）得，四边形AECO为平行四边形，
∴AO∥EC
∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC.
∵OF＝OC
∴∠OCF＝∠OFC.
∴∠AOD＝∠AOF.
∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF
∴△AOD≌△AOF.
∴∠ADO＝∠AFO.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADO＝90°.
∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF.
∵点F在⊙O上，
∴AH是⊙O的切线.
（3）
【解答】解：（3）∵HC、FH为圆O的切线，AD、AF是圆O的切线
∴AD=AF,CH=FH=2,
设AD=x,则AF=x,AH=x+2,BH=x-2，
在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2,
即（x+2）2=62+（x-2）2,
解得x=
∴AH=
+2=
.
23.【答案】
（1）证明：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵OA平分
交BC于点O，
∴OG=OC，
∴点G在
上，
即AB与
相切；
（2）解：①OA垂直平分CE，理由是：
连接OE，
∵AB与
相切于点E，AC与
相切于点C，
∴AE=AC，
∵OE=OC，
∴OA垂直平分CE；
②∵
，
则FC=2OF，在△OCF中，
，
解得：OF=
，则CF=
，
由①得：OA⊥CE，
则∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°，
∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°，
∴△OCF∽△OAC，
∴
，即
，
解得：AC=6，
∵AB与圆O切于点E，
∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴
，设BO=x，BE=y，
则
，
可得：
，
解得：
，即BO=5，BE=4，
∴tanB=
=
.
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