2.3 三角形的内切圆 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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初中数学浙教版九年级下册2.3
三角形的内切圆
同步练习
一、单选题（共9题；共36分）
1.如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（??
）
?三条边的垂直平分线的交点??????B.?三条角平分线的交点??????C.?三条中线的交点??????D.?三条高的交点
（第1题）
（第3题）
（第4题）
2.下列关于三角形的内心说法正确的是（??
）
A.?内心是三角形三条角平分线的交点??????????????????????B.?内心是三角形三边中垂线的交点
C.?内心到三角形三个顶点的距离相等??????????????????????D.?钝角三角形的内心在三角形外
3.如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°.则∠BOC等于（??
）
A.?125°????????????????????????????????????B.?120°????????????????????????????????????C.?115°????????????????????????????????????D.?100°
4.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则其内切圆半径为（??
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（??
）
?56°???????????????????????????????????????B.?62°???????????????????????????????????????C.?68°???????????????????????????????????????D.?78°
（第5题）
（第6题）
（第7题）
6.如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，若∠B=50°，∠C=60°，连接OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（??
）
A.?45°??????????????????????????????????????B.?55°??????????????????????????????????????C.?65°??????????????????????????????????????D.?70°
7.如图，△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于点D，连接DB、DC，若AB是⊙O的直径，OI⊥AD，则
的值为(
???)
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
8.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（??
）
????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
（第8题）
（第9题）
9.如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H。设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为(???
)
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?π
二、填空题（共6题；共24分）
10.在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为________．
11.如图，已知⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，P是⊙O上异于E、F的一动点，若∠
A+∠C=x°，∠EPF=y°，则y与x的函数关系式为
________
.
12.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是________°.
13.在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3
，以点A为圆心作圆A，要使B、C两点中的一点在圆A外，另一点在圆A内，那么圆A的半径长r的取值范围是________．
14.如图，在
中，
，
，
，
为
的内切圆，点D是斜边AB的中点，则
________．
15.已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为________．
三、综合题（共5题；共40分）
16.如图，有一块三角形材料（△ABC），请你画出一个圆，使其与△ABC的各边都相切.
17.如图，I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D.DB与DI相等吗？为什么？
18.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC.
（1）求证：DG是⊙O的切线；
（2）若DE＝6，BC＝6
，求优弧
的长.
19.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于E，DE⊥BE.
（1）试说明AC是△BED外接圆的切线；
（2）若CE=1，BC=2，求△ABC内切圆的面积.
20.在△ABC中，∠C=
，⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均相切，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n.
（1）当
=90°时，AC=6，BC=8时，m=________，n=________.
（2）当
取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示，并直接写出答案）.①如图，
=90°；②如图，
=60°.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故答案为：B．
2.【答案】
A
【解答】解：∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，
∴A选项正确，B、C、D选项均错误，
故答案为：A.
3.【答案】
C
【解答】解：
⊙O是△ABC的内切圆
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB
又
∠ABC=50°，∠ACB=80°
∴
=25°、
°
∴
180°
=115°
故答案为：C.
4.【答案】
B
【解答】∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC=
.
∴内切圆半径是(5+12-13)÷2=2.
故答案为：B.
5.【答案】
C
【解答】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故答案为：C．
6.【答案】B
【解答】解：∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠A=70°，
∴∠EOF=110°，
∴∠EDF=
∠EOF=55°．
故答案为：B．
7.【答案】
D
【解答】解：连接BI，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∵弧CD=弧CD，
∴∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD，
∴ID=BD，
∴设ID
=BD=x,
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AD，
∴∠BDA=90°，
∵OI⊥AD，
∴AI=DI，
∴AD=2DI=2x，
∴AB=
，
∵弧BD=弧BD，
∴∠BCD=∠BAD，
∴
，
故答案为：D.
8.【答案】
C
【解答】解：如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即
，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，
根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2
，
即
，
由B中关系可得：
，解得
，则
，
所以C错误，D正确；
故答案为：C.
9.【答案】
B
【解答】解：如图，连OI，PI，AI。
∵PH⊥OA
∴∠PHO=90°，
∴∠HOP+∠OPH=90°
又∵I为△OPH的内心
∴∠IOP=∠IOA=∠HOP，∠IPO=∠OPH
∴∠IOP+∠IPO=(∠HOP+∠OPH）=45°
∴∠PIO=180°-（∠IPO+∠IOP）=180°-45°=135°
又∵OP=OA，OI=OT，∠IOP=∠IOA
∴△OPI≌△OAI
∴∠AIO=∠PIO=135°
∴点I在以OA为弦，并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上
过A、I、O三点作⊙O′，连O′A，O′O，在优弧AO取点P，连PA，PO。
∴∠APO=180°-∠AIO=180°-135°=45°
∴∠AO′O=90°
∴O′O=OA=×2=
∴弧OA的长=.
∴内心I所经过的路径长为。
故答案为：B.
二、填空题
10.【答案】2
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，
∴BC=
，
设这个三角形的内切圆半径为r，
由三角形的面积可得
即
，
解得
．
故答案为:2．
11.【答案】
或
【解答】解：连接
、
、
、
，
为
的内切圆，
、
、
为切点，
，
，
，
，
，
有两种情况：①当
在优弧
上时，
，②当
在劣弧
上时，
，
，
即：y与x的函数关系式为：
或
；
故答案为：
或
.
12.【答案】
135
【解答】解：∵AB是⊙O的直径
∴
∴
∵I是△ABC的内心
∴IA、IB是角平分线
∴
∴
故答案为：135.
13.【答案】
3＜r＜6
【解答】解：∵Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3
，
∴AB＝6，
如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r＞3，
点B在圆A外，则r＜6，
因而圆A半径r的取值范围为3＜r＜6．
故答案为：3＜r＜6；
14.【答案】
2
【解答】解：
，
，
，
，
连接OE、OF、OQ
，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴
，
，
，
，
，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CE=CF=OE=OF，
，
，
∴AQ=AF=6-2=4，
∵D为AB的中点，
，
∴DQ=5-4=1，
．
故答案为2．
15.【答案】
【解答】解：∵三角形三边分别为3、4、5，
∴32+42＝52
，
∴三角形是直角三角形，
如图，设Rt△ABC
，
∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
设Rt△ABC的内切圆的半径为r
，
则OD＝OE＝r
，
∵∠C＝90°，
∴CE＝CD＝r
，
AE＝AN＝3﹣r
，
BD＝BN＝4﹣r
，
∴4﹣r+3﹣r＝5，
解得r＝1，
∴AN＝2，
在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝
，
∴OM＝
．
则该三角形内心与外心之间的距离为
．
故答案为：
．
三、综合题
16.【答案】解：正确画出两条角平分线，确定圆心；确定半径；正确画出圆并写出结论。
?????????????????????????????????
【解答】正确画出两条角平分线，确定圆心；确定半径。
??????????????????????????????????????????????
17.【答案】
解：DB＝DI，
理由如下：连接BI，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC，
∵I是△ABC的内心，
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，
由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴DB＝DI.
18.【答案】
（1）证明：连接OD交BC于H，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∴
＝
，
∴OD⊥BC，BH＝CH，
∵DG∥BC，
∴OD⊥DG，
∴DG是⊙O的切线
（2）解：连接BD、OB，如图，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD+∠ABE＝∠DBC+∠CBE＝∠DBE，
∴DB＝DE＝6，
∵BH＝
BC＝3
，
在Rt△BDH中，sin∠BDH＝
＝
＝
，
∴∠BDH＝60°，
而OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6，
∴∠BOC＝120°，
∴优弧
的长＝
＝8π.
19.【答案】
（1）证明：作BD的中点O，连接OE.
∵DE⊥BE，
∴BD是圆的直径.
∵OB=OE，
∴∠EBO=∠BEO，
又∵∠CBE=∠EBO，
在直角△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠CEB+∠BEO=90°，即∠CEO=90°.
∴OE⊥AC，
∴AC是△BED外接圆的切线；
（2）解：在Rt△BCE中，BE=
，
∵∠CBE=∠DBE，∠C=∠BED=90°，
∴△CBE∽△EBD，
∴
，
∴
，
∴DE=
，BD=
，
∵OE∥BC，
∴
，
∴
，
∴AE=
，
∴
，
∴OA=
，
∴AB=
，AC=
，
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的内切圆的半径r=
=
∴圆的面积是：π
.
20.【答案】
（1）2；12
（2）解：①如图，
由（1）可知，
，
，即
，
由这两个式子可得
；
②如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF、CP，
由切线长定理得
，
∵
，
，
∴
平分
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
.
【解答】解：（1）如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF，连接OA、OB、OC，
∵
，
∴
，解得
，
根据题意四边形DPEC是正方形，
∴
，
由切线长定理得
，
，
∴
；
故答案为：2,12；
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