【单元培优卷】第1章 二次根式（含解析）

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2020-2021学年浙教版八年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第1章二次根式
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·广东龙岭初级中学八年级月考）下列属于最简二次根式的是（）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级月考）已知点
P（x，y）在函数的图象上，那么点
P
应在平面直角坐标系中的（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（2020·广东广州六中八年级期中）下列计算错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·内蒙古九年级）估计的值在（
）
A．3和3.5之间
B．2.5和3之间
C．2和2.5之间
D．1.5和2之间
5．（2020·福建省南安市侨光中学九年级月考）把代数式根号外的因式移入根号内，化简后的结果为(
).
A．
B．
C．
D．
6．（2020·江苏八年级月考）若a+b=,ab=1,则式子的值为(
)
A．
B．
C．
D．
7．（2020·河南八年级月考）若，化简（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·绵阳南山中学双语学校初二月考）若a＝，b＝2+，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（2020·杭州江南实验学校八年级开学考试）设，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020·山西八年级期末）对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020·河南省初二期中）借助计算器可求得，，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想等于（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·安徽芜湖一中九年级）当时，的值为（
）
A．1
B．
C．2
D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020·江苏南通田家炳中学八年级月考）化简=__________．
12．（2020·福建八年级期中）比较大小：__________（填“＞”、“=”、“＜”）
13．（2020·江苏九年级期末）若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“+”“－”依次相间）的值为____.
14．（2020·江苏南通第一初中八年级期末）阅读理解:对于任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为__．
15．（2020·宁波外国语学校八年级期末）已知，且，则______．
16．（2020·宁波市第七中学八年级期末）实数a、b满足，则的最大值为_________．
17．（2020·四川天府七中八年级月考）若，，是实数，且，则________．
18．（2020·四川九年级期末）设，，，设，则S=________________
(用含有n的代数式表示，其中n为正整数)．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020·成都七中万达学校八年级月考）计算．
（1）．（2）．
20．（2020·河南八年级期末）若，求下列式子的值:
；.
21．（2020·全国九年级课时练习）观察下式：，
反之，，
根据以上可求：，
求：(1)
；
(2)你会算吗?
22．（2021·重庆八中八年级月考）如图（1）是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽，会徽的主体图案是由如图（2）的一连串直角三角形演化而成的．其中，所以，，，…，把的面积记为，的面积记为，的面积记为，…，如果把图2中的直角三角形继续作下去，请解答下列问题：
（1）请直接写出______，______；（2）求出的值．
23．（2020·北京市昌平区亭自庄学校八年级期中）小刚根据以往的学习经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.
以下是小刚的探究过程，请补充完整.
（1）具体运算，发现规律：
特例1：；特例2：；特例3：；
特例4：______（举一个符合上述运算特征的例子）；
（2）观察、归纳，得出猜想：
如果为正整数，用含的式子表示这个运算规律：______；
（3）请你证明猜想的正确性.
24．（2020·广东八年级月考）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”:
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而
当时，分母有最小值2，所以的最大值是2．
解决下述问题：（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
25．（2020·四川师范大学附属中学八年级月考）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知
ab2，ab
3
，求
a2
b2
．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令
xab
，
y
ab
，则
a
2
b2
(a
b)2
2ab
x2
2y
4
610．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：
（2）已知
m
是正整数，
a
，b
且
2a2
1823ab
2b2
2019
．求
m．
（3）已知，则的值为
2020-2021学年浙教版八年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第1章二次根式
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·广东龙岭初级中学八年级月考）下列属于最简二次根式的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式进行分析即可．
【详解】解：A、被开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、=11，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选：B．
【点睛】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
2．（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级月考）已知点
P（x，y）在函数的图象上，那么点
P
应在平面直角坐标系中的（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】根据平方及二次根式的非负性可得函数值y大于0，由二次根式有意义的条件可得x为非负数，由此可得点P的位置．
【详解】解：由分式及二次根式有意义的条件可得x<0，
又∵＞0，∴点P应在平面直角坐标系中的第二象限．故选：B．
【点睛】本题考查函数值及分式、二次根式有意义的条件，属于基础题，注意数学知识的融会贯通．
3．（2020·广东广州六中八年级期中）下列计算错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
【详解】A.
，正确；B.
，正确；
C.
，原式错误；D.
，正确；故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的加减和乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2020·内蒙古九年级）估计的值在（
）
A．3和3.5之间
B．2.5和3之间
C．2和2.5之间
D．1.5和2之间
【答案】A
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再对根式进行估算，即可得出答案．
【详解】解：=2+
=；
∵4＜5＜6.25，∴2＜＜2.5，∴3＜＜3.5，即的值在3和3.5之间．故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法和估算无理数的范围，能估算出的范围是解答此题的关键．
5．（2020·福建省南安市侨光中学九年级月考）把代数式根号外的因式移入根号内，化简后的结果为(
).
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由负数没有平方根求出a的范围，判断出1-a为负数，变形即可得到结果．
【详解】∵且，∴，∴.
∴.故选C.
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，判断出1-a小于0是解本题的关键．
6．（2020·江苏八年级月考）若a+b=,ab=1,则式子的值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将化简，再将a+b=，ab=1代入计算.
【详解】==，
∵a+b=，ab=1，∴原式=-3，故选：B.
【点睛】此题考查二次根式的化简，异分母分式的加法法则，正确计算是解题的关键.
7．（2020·河南八年级月考）若，化简（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据公式可知：
由于，所以，再去绝对值，化简.
【详解】∵
原式故选：B
【点睛】本题考查了公式，解题的关键在于根据题目信息确定被开方数的符号.
8．（2021·绵阳南山中学双语学校初二月考）若a＝，b＝2+，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将a乘以可化简为关于b的式子，从而得到a和b的关系，继而能得出的值．
【解析】a＝?＝．
∴．故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．
9．（2020·杭州江南实验学校八年级开学考试）设，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先将a、b、c的值分子有理化，然后根据分数的比较大小方法即可得出结论．
【详解】解：=
∵＞＞∴＞＞∴故选A．
【点睛】此题考查的是二次根式比较大小，掌握分子有理化是解题关键．
10．（2020·山西八年级期末）对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据公式解答即可．
【详解】根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则
面积
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．
11．（2020·河南省初二期中）借助计算器可求得，，，仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】当根号内的两个平方的底数为1位数时，结果为5，当根号内的两个平方的底数为2位数时，结果为55，当根号内的两个平方的底数为3位数时，结果为555，据此即可找出规律，根据此规律作答即可．
【解析】解：∵，，，……
∴=．故选：D．
【点睛】本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是由前三个式子找到规律，再根据所找到的规律解答．
12．（2020·安徽芜湖一中九年级）当时，的值为（
）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】A
【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：原式=
将代入得，原式.
故选：A.
【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020·江苏南通田家炳中学八年级月考）化简=__________．
【答案】1
【分析】由题可得，，即可得出，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】由题可得，，∴，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．
12．（2020·福建八年级期中）比较大小：__________（填“＞”、“=”、“＜”）
【答案】＞
【分析】先将这两个数分别平方，通过比较两个数的平方的大小即可得解．
【详解】解：∵，且，
∴，∴故答案为：＞．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，两个二次根式比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的正的式子的值就大，负的式子就小．
13．（2020·江苏九年级期末）若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，则（其中“+”“－”依次相间）的值为____.
【答案】-22
【分析】先确定的整数部分的规律，根据题意确定算式的运算规律，再进行实数运算.
【详解】解：观察数据12=1，22=4，32=9，42=16，52=25,62=36的特征，得出数据1,2,3,4……2020中，算术平方根是1的有3个，算术平方根是2的有5个，算数平方根是3的有7个，算数平方根是4的有9个，…其中432=1849，442=1936,452=2025，所以在、中，算术平方根依次为1,2,3……43的个数分别为3,5,7,9……个，均为奇数个，最大算数平方根为44的有85个，所以=1-2+3-4+…+43-44=
-22
【点睛】本题考查自定义运算，通过正整数的算术平方根的整数部分出现的规律，找到算式中相同加数的个数及符号的规律，方能进行运算.
14．（2020·江苏南通第一初中八年级期末）阅读理解:对于任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为__．
【答案】3
【分析】根据（、均为正实数），对代数式进行化简求最小值．
【详解】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，故答案为：3．
【点睛】准确理解阅读内容，灵活运用题中结论，求出代数式的最小值．
15．（2020·宁波外国语学校八年级期末）已知，且，则______．
【答案】．
【分析】利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．
【详解】∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴原式．
故答案是：．
【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．
16．（2020·宁波市第七中学八年级期末）实数a、b满足，则的最大值为_________．
【答案】52．
【分析】首先化简，可得|a-2|+|a-6|+|b+4|+|b-2|=10，然后根据|a-2|+|a-6|≥4，|b+4|+|b-2|≥6，判断出a，b的取值范围，即可求出的最大值．
【详解】解：∵，
即，∴，
∴，
∵，，∴
，，
∴2≤a≤6，-4≤b≤2，∴的最大值为，故答案为52．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，算术平方根的性质．解题的关键是要明确化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
17．（2020·四川天府七中八年级月考）若，，是实数，且，则________．
【答案】21
【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得，，的值，从而得到答案．
【详解】∵
∴
∴
∴
∴∴∴∴．
【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．
18．（2020·四川九年级期末）设，，，设，则S=________________
(用含有n的代数式表示，其中n为正整数)．
【答案】
【分析】先根据题目中提供的三个式子，分别计算的值，用含n的式子表示其规律，再计算S的值即可．
【详解】解：∵，∴；
∵，∴；
∵，∴；……
∵，
∴；
∴
故答案为：
【点睛】本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子的理解．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020·成都七中万达学校八年级月考）计算．
（1）．（2）．
【答案】（1）；
（2）
【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算以及化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
（2）先根据平方差公式去括号，再去绝对值以及运算0指数幂，最后进行加减运算即可．
【详解】（1）．
（2）．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则是解题关键．
20．（2020·河南八年级期末）若，求下列式子的值:
；.
【答案】（1）4；（2）3．
【分析】先由x、y的值求得x+y，x－y与xy的值；
（1）根据平方差公式分解因式后把x+y，x－y的值代入计算即可；
（2）通分后分子根据完全平方公式变形，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，=5－1=4．
（1）==2×2=4；
（2）====3．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解、分式的运算和二次根式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
21．（2020·全国九年级课时练习）观察下式：，
反之，，
根据以上可求：，
求：(1)
；
(2)你会算吗?
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题给出的规律对进行完全平方公式的变化即可；
（2）利用完全平方公式，且根式的值恒大于等于0，即可将进行分解.
【详解】（1）
（2）∵，∴原式=
【点睛】此题考查二次根式，解题关键在于根据数字的规律型结合完全平方公式即可求解.
22．（2021·重庆八中八年级月考）如图（1）是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽，会徽的主体图案是由如图（2）的一连串直角三角形演化而成的．其中，所以，，，…，把的面积记为，的面积记为，的面积记为，…，如果把图2中的直角三角形继续作下去，请解答下列问题：
（1）请直接写出______，______；（2）求出的值．
【答案】（1）；；（2）979．
【分析】（1）根据求出的结果得出规律，即可得出答案；（2）把求出的面积代入，再进行计算即可．
【详解】解：（1）由规律可得，OAn=，∴Sn=，故答案为：；；
（2）=
===979．
【点睛】本题考查了勾股定理以及二次根式的运算，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
23．（2020·北京市昌平区亭自庄学校八年级期中）小刚根据以往的学习经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.
以下是小刚的探究过程，请补充完整.
（1）具体运算，发现规律：
特例1：；特例2：；特例3：；
特例4：______（举一个符合上述运算特征的例子）；
（2）观察、归纳，得出猜想：
如果为正整数，用含的式子表示这个运算规律：______；
（3）请你证明猜想的正确性.
【答案】（1）（合理即可）；（2）；（3）见解析.
【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例4；
（2）根据特例中被开方数与序号数之间的关系，可以写出相应的猜想；
（3）根据二次根式和分式的运算法则对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子．
【详解】解：（1）特例4：（合理即可）
（2）由特例可知，运算规律为：；
（3）证明：.
∵为正整数，∴，∴，即.
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分式的运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．（2020·广东八年级月考）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”:
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：
因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而
当时，分母有最小值2，所以的最大值是2．
解决下述问题：（1）比较和的大小；
（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为．
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最下值0得到的最小值．
【详解】解：（1），
，
而，，，；
（2）由，，得，，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．
25．（2020·四川师范大学附属中学八年级月考）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知
ab2，ab
3
，求
a2
b2
．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令
xab
，
y
ab
，则
a
2
b2
(a
b)2
2ab
x2
2y
4
610．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
（1）计算：
（2）已知
m
是正整数，
a
，b
且
2a2
1823ab
2b2
2019
．求
m．
（3）已知，则的值为
【答案】（1）；（2）2；（3）9
【分析】（1）先将式子的每一项进行分母有理化，再计算即可；（2）先求出的值，再用换元法计算求解即可；（3）先利用计算得出的值，再对进行变形求解即可；
【详解】解：（1）原式
（2）∵a
，b
∴
∵2a2
1823ab
2b2
2019∴
∴∴∴2∵m
是正整数∴m=2．
（3）由得出∴
∵
∵∴．
【点睛】本题考查的知识点是分母有理化以及利用换元思想求解，解此题的关键是读懂题意．理解分母有理化的方法以及利用换元方法解题的方法．
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