【单元培优卷】第2章 一元二次方程（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2020-2021学年浙教版八年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第2章一元二次方程
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·江西九年级期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·北京人大附中九年级开学考试）下列方程中，有两个不相等的实数根的是
(
)
A．x2+2＝0
B．（x﹣1）2＝0
C．x2+2x﹣1＝0
D．x2+x+5＝0
3．（2020·河北九年级期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
4．（2020·全国九年级专题练习）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（
）
A．0
B．1
C．3
D．不确定
5．（2019·湖北九年级期末）关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣3m+2＝0有一根为0，则另一根等于（　　）
A．1
B．2
C．1或2
D．﹣5
6．（2020·兰溪市外国语中学八年级月考）已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（
）
A．6
B．12
C．6或
D．12或
7．（2020·重庆八中八年级期末）某企业今年一月工业产值达20亿元，前三个月总产值达90亿元，求第二、三月份工业产值的月平均增长率．设月平均增长率为，则由题意可得方程（
）
A．
B．
C．
D．
8、（2020年成都市初三半期）根据下列表格对应值：
3.24
3.25
3.26
-0.02
0.01
0.03
判断关于的方程的一个解的范围是（
）
A.＜3.24
B.3.24＜＜3.25
C.3.25＜＜3.26
D.3.25＜＜3.28
9．（2020·浙江八年级期末）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（
）
A．2011
B．2013
C．2018
D．2023
10．（2020·福建九年级）若是关于方程的两个实数根，则实数的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020·上海民办张江集团学校八年级月考）方程的实根是_________________．
12．（2020·哈尔滨市松雷中学校八年级月考）一个小区用篱笆围成一个直角三角形花坛，花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆之和恰好为21米，围成的花坛如图所示，其中∠ACB=90°，若所修的直角三角形花坛面积是54平方米，则直角三角形的斜边AB长为________米．
13．（2020·广东深圳外国语学校九年级期末）已知方程的两实数根的平方和为，则k的值为____．
14．（2020·南京师范大学附属中学树人学校九年级月考）已知关于的方程的解都是整数，则整数的值为______．
15、（2020.浙江）已知方程没有实数根，则代数式.
16．（2020·江苏省初三月考）已知是一元二次方程的两个数根，且，则__________．
17、（2019成都市外国语实验学校初三直升考试）已知实数m，n满足，，则.
18．（2020·浙江九年级）设是方程所有根的绝对值之和，则的值为_____．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020·黑河市第二中学八年级期末）解下列方程
(1)．
　
(2)
(3)（用公式法）
(4)（用配方法）
20．（2020·重庆八年级期末）对于实数、，定义一种新运算“※”为：．
例如：，
．
（1）化简：．（2）若关于的方程有两个相等的实数根，求实数的值．
21．（2020·湖北九年级）
已知关于x的一元二次方程x2-2mx-3m2+8m-4=0
．（1）求证：原方程恒有两个实数根;（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取值范围．
22．（2020·余姚市兰江中学八年级期中）余姚某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元销售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销量可增加10千克．（销售利润=销售价—进价）
（1）如果每千克核桃降价元，那么每千克核桃的销售利润为________元，平均每天可销售_________千克；（用含的代数式表示）
（2）若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，每千克核桃应降价多少元？
（3）在（2）条件下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折销售？
23．（2020·浙江九年级）设是不小于的实数，使得关于的方程有两个实数根．（1）若，求的值；
（2）代数式有无最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．
24．（2020·山西九年级期中）图1所示是某广场地面示意图，该地面是由图2所示正方形地砖铺砌而成，某综合实践小组的同学测量图2所示地砖，得到，，且．于是他们抽象出如下两个数学问题：
问题（1）：若中间区域的边，求的长度；
问题（2）：若中间区域的面积为，求的长度．
请你帮助他们解决上面的两个问题．
25．（2020·江苏九年级期中）阅读理解：
转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．
例如：解方程
解：两边平方得：
解得：，
经检验，是原方程的根，
代入原方程中不合理，是原方程的增根．
∴原方程的根是．
解决问题：
（1）填空：已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为
；
（2）求满足的x的值；
（3）代数式的值能否等于8
?
若能，求出的值；若不能，请说明理由．
2020-2021学年浙教版八年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第2章一元二次方程
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2021·江西九年级期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、有2个未知数，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．（2020·北京人大附中九年级开学考试）下列方程中，有两个不相等的实数根的是
(
)
A．x2+2＝0
B．（x﹣1）2＝0
C．x2+2x﹣1＝0
D．x2+x+5＝0
【答案】C
【分析】先把方程化为一般式，再分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：A、△=02-4×1×2=-8＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；
B、x2-2x+1=0，△=（-2）2-4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以B选项错误；
C、△=22-4×1×（-1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项正确；
D、△=12-4×1×5=-19＜0，方程没有实数根，所以D选项错误．故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
3．（2020·河北九年级期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
【详解】解：
移项得，
二次项系数化1的，
配方得
即故选：A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．（2020·全国九年级专题练习）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（
）
A．0
B．1
C．3
D．不确定
【答案】A
【分析】把x=a代入3个方程得出a?a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a?a+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．
【详解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a?a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a?a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+）2+＞0，∴a+b+c=0．故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
5．（2019·湖北九年级期末）关于x的一元二次方程x2+5x+m2﹣3m+2＝0有一根为0，则另一根等于（　　）
A．1
B．2
C．1或2
D．﹣5
【答案】D
【分析】由根与系数的关系直接求得.
【解析】设方程的另一个根是a，则由根与系数的关系得：，解得：，故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解题的关键.
6．（2020·兰溪市外国语中学八年级月考）已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（
）
A．6
B．12
C．6或
D．12或
【答案】C
【分析】先用因式分解法解一元二次方程，再由三角形的形状分别求出三角形的面积．
【详解】解：∵x2?8x＋15＝0，∴（x?5）（x?3）＝0，∴x1＝3，x2＝5．
当x1＝3时，与另两边组成等腰三角形，可求得底边4上的高AD＝，
所以该三角形的面积是：4×÷2=2
当x2＝5时，与另两边组成直角三角形，即3，4，5符合直角三角形，
∴该三角形的面积＝3×4÷2＝6．综上所述，该三角形的面积是2或6．故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，综合性比较强，结合等腰三角形的面积和直角三角形的判定得出答案是解决问题的关键．
7．（2020·重庆八中八年级期末）某企业今年一月工业产值达20亿元，前三个月总产值达90亿元，求第二、三月份工业产值的月平均增长率．设月平均增长率为，则由题意可得方程（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设月平均增长率的百分数为x，根据某企业今年一月工业产值达20亿元，第一季度总产值达90亿元，可列方程求解．
【详解】设月平均增长率的百分数为x，20+20（1+x）+20（1+x）2=90．故选：C．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键看到是一季度的和做为等量关系列出方程．
8、（2020年成都市初三半期）根据下列表格对应值：
3.24
3.25
3.26
-0.02
0.01
0.03
判断关于的方程的一个解的范围是（
）
A.＜3.24
B.3.24＜＜3.25
C.3.25＜＜3.26
D.3.25＜＜3.28
【答案】B
【解析】当3.24＜＜3.25时，的值由负连续变化到正，
说明在3.24＜＜3.25范围内一定有一个的值，使，
即是方程的一个解.故选B.
【考点】利用夹逼法求近似解
9．（2020·浙江八年级期末）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（
）
A．2011
B．2013
C．2018
D．2023
【答案】B
【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【详解】解：与为同族二次方程．
，
，
∴，解得：．
，
当时，取最小值为2013.故选：B.
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题的关键．
10．（2020·福建九年级）若是关于方程的两个实数根，则实数的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根得到（a-m）（a-n）=-1＜0，进而判断出m＜a＜n，同理判断出m＜b＜n，即可得出结论．
【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程（x-m）（x-n）+1=0的根，
∴（a-m）（a-n）+1=0，∴（a-m）（a-n）=-1＜0，
∵m＜n，∴m＜a＜n，同理：m＜b＜n，∵a＜b，∴m＜a＜b＜n．故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出（a-m）（a-n）＜0是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020·上海民办张江集团学校八年级月考）方程的实根是_________________．
【答案】或
【分析】利用因式分解法可解方程．
【详解】解：，，，，，，，
故答案为：，，．
【点睛】本题主要考查高次方程的解法，掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．（2020·哈尔滨市松雷中学校八年级月考）一个小区用篱笆围成一个直角三角形花坛，花坛的斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆之和恰好为21米，围成的花坛如图所示，其中∠ACB=90°，若所修的直角三角形花坛面积是54平方米，则直角三角形的斜边AB长为________米．
【答案】15
【分析】设AC=x，直角三角形面积为S，先用x表示出BC边的长，再根据三角形的面积公式即可得到S与t之间的函数关系式，然后将S=54代入解析式中求出x的值，最后利用勾股定理求斜边．
【详解】解：设AC=x，直角三角形面积为S，则BC=21-x，根据题意可得：
当S=54时，
整理可得
解得：
∴AC=9，BC=12或AC=12，BC=9
∴
故答案为：15．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用及一元二次方程的应用，熟知三角形的面积及勾股定理的公式是解答此题的关键．
13．（2020·广东深圳外国语学校九年级期末）已知方程的两实数根的平方和为，则k的值为____．
【答案】3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得出和的值，然后将平方和变形为和的形式，代入便可求得k的值．
【详解】∵，设方程的两个解为
则，
∵两实根的平方和为，即=
∴解得：k=3或k=－11
∵当k=－11时，一元二次方程的△＜0，不符，需要舍去故答案为：3
【点睛】本题考查根与系数的关系，注意在最后求解出2个值后，有一个值不符需要舍去．
14．（2020·南京师范大学附属中学树人学校九年级月考）已知关于的方程的解都是整数，则整数的值为______．
【答案】0或1或
【分析】分和两种情况，再分别解一元一次方程和一元二次方程，然后根据解都是整数即可得．
【详解】由题意，分以下两种情况：
（1）当时，方程为，解得，满足解是整数；
（2）当时，方程为一元二次方程，
因式分解，得，解得，
方程的解都是整数，k也是整数，一定是整数，整数或；
综上，整数的值为0或1或，故答案为：0或1或．
【点睛】本题考查了解一元一次方程、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
15、（2020.浙江八年级期中）已知方程没有实数根，则代数式.
【答案】2
【分析】由方程没有实数根，得，求的a的范围，然后根据此范围化简代数式。
【解析】∴，即，，得
则代数式
【考点】根的判别式。
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式。当时，方程没有实数根。同时考查了一元二次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。
16．（2020·江苏省初三月考）已知是一元二次方程的两个数根，且，则__________．
【答案】－8
【分析】根据是一元二次方程的两个数根，可得，，则有，，即，=5，代入代数式即可求解．
【解析】∵是一元二次方程的两个数根，
∴
，
，∴，∴，
∴，∴
∴∴，
故答案为：-8．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，也考查了换元法的解方程方法，熟悉相关性质是解题的关键．
17、（2019成都市外国语实验学校初三直升考试）已知实数m，n满足，，则.
【答案】
【分析】根据题意：由得：；
由得：，又因为，即，因此可以把，作为一元二次方程的两根，由根与系数的关系得：.
【解析】∵，
∴，
∵
∴∴把，作为一元二次方程的两根
∴
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【点睛】本题考查的是用构造一元二次方程，利用根与系数的关系解答问题，本题的关键是利用已知进行变形是关键所在，不要忽视了这个条件隐含的题意。
18．（2020·浙江九年级）设是方程所有根的绝对值之和，则的值为_____．
【答案】383
【分析】采用序列化方法，设，，，，，猜它们都相等并说明，得到，化为一元二次方程，即可求出结果.
【详解】解：设，，，，，
猜想它们都相等，而，，，
，∴，
若，由知，，由知，，
由知，，由知，，
由知，，与矛盾，同理若，则可推出，
则猜想成立，即
,∴，∴，
∴==383.故答案为：383.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据方程的形式理解题意.
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020·黑河市第二中学八年级期末）解下列方程
(1)．
　
(2)
(3)（用公式法）
(4)（用配方法）
【答案】（1），；（2），；（3）；（4），．
【分析】（1）先移项，然后利用因式分解法解方程，即可得到答案；
（2）利用因式分解法解方程，即可得到答案；（3）利用公式法解方程，即可得到答案；
（4）先整理方程，然后利用配方法解方程，即可得到答案．
【详解】解：（1），∴，
∴，∴，；
（2），∴，∴，；
（3），
∴，∴；
（4），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，；
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
20．（2020·重庆八年级期末）对于实数、，定义一种新运算“※”为：．
例如：，
．
（1）化简：．（2）若关于的方程有两个相等的实数根，求实数的值．
【答案】（1）；（2）的值为10．
【分析】（1）根据定义运算列出分式，然后进行化简计算；
（2）根据定义运算列出方程并进行化简整理，然后利用一元二次方程根的判别式列方程求解即可．
【详解】解：（1）
（2）由题意得：
化简整理得：
由题意知：且
化简得：
∴（舍），∴的值为10．
【点睛】本题考查分式的化简和一元二次方程根的判别式，正确理解题意准确进行计算是解题关键．
21．（2020·湖北九年级）
已知关于x的一元二次方程x2-2mx-3m2+8m-4=0
．（1）求证：原方程恒有两个实数根;（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）m＜0或m＞
【分析】（1）判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．
（2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个小于5，另一个大于2，列出不等式组，求出m的取值范围
【详解】解:
(1)
∴原方程恒有两个实数根
（2）
x2-2mx-3m2+8m-4=0，分解因式得：[x-（3m-2）][x+（m-2）]=0，
x-（3m-2）=0，x+（m-2）=0，x1=3m-2，x2=2-m，
由题意或
，解得：m＜0或m＞．
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，根的判别式，解一元二次方程-公式法，解题关键在于掌握运算法则.
22．（2020·余姚市兰江中学八年级期中）余姚某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元销售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销量可增加10千克．（销售利润=销售价—进价）
（1）如果每千克核桃降价元，那么每千克核桃的销售利润为________元，平均每天可销售_________千克；（用含的代数式表示）
（2）若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，每千克核桃应降价多少元？
（3）在（2）条件下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折销售？
【答案】（1），；（2）应降价4元或6元；（3）九折．
【分析】（1）依题意直接可用含x的代数式表示即可；（2）根据每天的利润=每千克的利润×每天的销量，结合（1）可以列出关于x的方程求解即可；（3）根据（2）中的答案，结合尽可能让利于顾客，赢得市场，确定降价6元，从而得到销售折扣．
【详解】解：（1）原来每千克的利润为60-40=20元，现在每千克降价x元，故每千克的销售利润为元，又根据单价每降低1元，则平均每天的销量可增加10千克，可知现在平均每天的销量为千克；故答案为：，
（2）设每千克核桃应降价x元，（60-x-40）（100+10x）=2240，
整理得：
解得，x1=4，x2=6，即每千克核桃应降价4元或6元；
（3）由（2）可知每千克核桃可降价4元或6元，
∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元，此时售价为：60-6=54（元），
∴
即该店应按原价的九折出售；
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，理解销售问题中的有关概念和公式，据此建立方程求解，注意（3）尽可能让利于顾客的理解．
23．（2020·浙江九年级）设是不小于的实数，使得关于的方程有两个实数根．（1）若，求的值；
（2）代数式有无最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)m=1；(2)有最大值4
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到，解得，又因为m是不小于﹣1的实数，则；再根据根与系数的关系得到,，接着利用完全平方公式得，代入整理，然后解方程即可得到满足条件的m的值；（2）先通分，再把，整体代入所求代数式整理得，然后根据m的取值范围，利用一次函数的性质确定代数式的最大值．
【详解】解：(1)根据题意得，解得，
∵m是不小于﹣1的实数，∴，∵，，
又∵，∴，
∴，整理得，
解得，(舍)，∴．故答案为：；
(2)代数式有最大最值4，
∵且，∴当时，代数式的值最大，最大值是4．故答案为：4．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，同时也考查了根的判别式．
24．（2020·山西九年级期中）图1所示是某广场地面示意图，该地面是由图2所示正方形地砖铺砌而成，某综合实践小组的同学测量图2所示地砖，得到，，且．于是他们抽象出如下两个数学问题：
问题（1）：若中间区域的边，求的长度；
问题（2）：若中间区域的面积为，求的长度．
请你帮助他们解决上面的两个问题．
【答案】（1）AE的长度是cm；（2）AE的长度为40cm．
【分析】（1）先根据边形EFGH是正方形，AE=AH=CF=CG，得到
、
、
、
为等腰直角三角形，进而推出四边形EFGH是矩形，再通过设AE=xcm，由勾股定理得出EH、EF得长度，最后以为等量关系列出一元一次方程，解出即可.
（2）设AE的长为tcm，由勾股定理得出EH=tcm，EF=（100-t）cm，然后以中间区域的面积为为等量关系列一元二次方程解答即可.
【详解】（1）∵四边形EFGH是正方形，AE=AH=CF=CG，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，BE=BF=DG=DH.
∴∠AEH=∠AHE=∠BEF=∠BFE=45°，∴∠HEF=90°.
同理∠EFG=∠FGH=90°.∴四边形EFGH是矩形.
设AE=xcm，则BE=（100-x）cm.
根据勾股定理可得EH=xcm，EF=（100-x）cm.
∴（100-x）=2x.解得x=.答:AE的长度是cm.
（2）设AE的长为tcm，由（1）可知，EH=tcm，EF=（100-t）cm.
根据题意可得（100-t）·t=4800.
整理，得t?-100t+2400=0.解得t1=40，t2=60.
当t=40时，100-t=60.
当t-60时，100-t=40（不会题意，舍去）.
∴t=40.
答：AE的长度为40cm.
【点睛】本题考查几何图形与方程的综合应用问题，通过几何证明与勾股定理寻找边之间的关系，再由等量关系列出正确的方程是本题的关键.
25．（2020·江苏九年级期中）阅读理解：
转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．
例如：解方程
解：两边平方得：
解得：，
经检验，是原方程的根，
代入原方程中不合理，是原方程的增根．
∴原方程的根是．
解决问题：
（1）填空：已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为
；
（2）求满足的x的值；
（3）代数式的值能否等于8
?
若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）2；（2）3；（3）不能，理由见解析
【分析】（1）根据方程解的定义把x=1代入方程，解关于a的无理方程即可；
（2）类比提供的例题解方程，并检验即可求解；（3）将原方程变形为，两边平方，整理，再平方，得到此方程无解，得出结论即可．
【详解】解：（1）把x=1代入方程得，两边平方得
3-a=1，解得a=2，
经检验，a=2是方程的解，故答案为：a=2；
（2）
两边平方得：
解得：，
经检验，x2=-2代入原方程中不合理，是原方程的增根，x1=3是原方程的根
∴原方程的根是x=3；
（3）不能．
，
原方程变形得，
两边平方得
整理得，两边平方得，此方程无解，
∴代数式的值不等于8．
【点睛】本题考查学生的学习能力，能理解文本和提供的例题并结合所学知识灵活运用是解题的关键．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)