中小学教育资源及组卷应用平台
2020-2021学年浙江八年级数学下第五章《特殊平行四边形》测试卷2
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一，单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，菱形中，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由菱形得到AB=AD，进而得到∠ADB=∠ABD，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（
）
A．两组对边分别平行
B．对角线相等
C．两组对角分别相等
D．对角线互相垂直
【答案】B
【分析】
分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
【详解】
解：矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，
所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形的对角线相等且平分、菱形的对角线垂直且平分是解题的关键．
3．已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】
在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝10，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，进而可得出FC＝4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10．
设BE＝a，则CE＝8﹣a，
根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，∠AFE＝∠B＝90°，
∴FC＝4．
在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，
∴CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，
解得：a＝3，
∴8﹣a＝5．
故选C．
【点睛】
本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程，在Rt△CEF中，利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键．
4．下列判断错误的是（
）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
【答案】D
【分析】
分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．
【详解】
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，不符合题意；
B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，
∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，
∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，不符合题意；
C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，，故本选项正确，不符合题意；
D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．
5．如图，矩形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
相交于点
O,CE∥BD,
DE∥AC
,
AD＝2,
DE＝2,则四边形
OCED
的面积为（ ）
A．2
B．4
C．4
D．8
【答案】A
【详解】
连接OE，与DC交于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，
∵OD∥CE，OC∥DE，∴四边形ODEC为平行四边形，
∵OD=OC，∴四边形ODEC为菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，
∵DE∥OA，且DE=OA，∴四边形ADEO为平行四边形，
∵AD=，DE=2，∴OE=，即OF=EF=，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，
则S菱形ODEC=OE?DC=××2=．
故选A．
6．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为（
）
A．6
B．7
C．5
D．5.6
【答案】C
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE＝CE，设CE＝x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，
∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
设CE＝x，则ED＝AD?AE＝8?x，
在Rt△CDE中，CE2＝CD2＋ED2，
即x2＝42＋（8?x）2，
解得：x＝5，
即CE的长为5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质；熟练掌握勾股定理，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．
7．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【分析】
先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．
【详解】
解：如图
，
作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四边形ABNM′是平行四边形，
∴M′N=AB=1，
∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，
故选B．
8．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝54°，则∠B＝（ ）
A．54°
B．60°
C．66°
D．72°
【答案】D
【解析】
【分析】
过F作AB、CD的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点，由此可得BC=2EG=2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的值，由此得解．
【详解】
过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；
则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，
即G是BC的中点；
连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，
则BG=GE=FG=BC；
∵AE∥FG，
∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，
∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，
∴∠B=∠BEG=180°-108°=72°．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】C
【详解】
试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB，
∵AD=AB，
∴AE=AD，
又∠ABE=∠AHD=90°
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，
∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，
∴∠OHD=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，
∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选C．
【点睛】
考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质
10．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2017的坐标是（ ）
A．（0，21008）
B．（21008，21008）
C．（21009，0）
D．（21009，－21009）
【答案】B
【分析】
根据正方形性质和平面直角坐标系特点，观察点的坐标规律.
【详解】
观察,发现：A(0,1)、A1(1,1),A2(2,0),A3(2,?2),A4(0,?4),A5(?4,?4),A6(?8,0),A7(?8,8),A8(0,16),A9(16,16)…，
∴A8n+1(24n,24n)(n为自然数).
∵2017=252×8+1，
∴A2017(2252×4,2252×4),即点A2017的坐标是(21008,21008).
故选B.
【点睛】
考核知识点：点的坐标规律.
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．如图，在△ABC中，AD是高，E是AB的中点，EF⊥AD，交AC于点F，若AC=6，则DF的长为______.
【答案】3
【分析】
根据中位线的性质得到F是AC中点，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求解.
【详解】
∵AD是高，E是AB的中点，EF⊥AD，
∴EF是△ABC的中位线，
∴F点是AC中点，
∵AD是高，
∴△ACD是直角三角形，
∴DF=AC=3，
故填：3.
【点睛】
此题主要考查中位线与中线的性质，解题的关键是熟知中位线的判定与性质及直角三角形斜边上的中线是斜边的一半.
12．如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是__________．
【答案】
【分析】
先求出的度数，即可求出.
【详解】
解：由题意可得，，
故答案为
【点睛】
本题考查了等腰与等边三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.
13．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________使平行四边形ABCD是矩形.
【答案】AC=BD或∠ABC=90°
【分析】
根据矩形的判定方法即可解决问题；
【详解】
若使平行四边形ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC=BD（对角线相等的平行四边形是矩形）；∠ABC=90°（有一个角是直角的平行四边形是矩形）等，任意写出一个正确答案即可，如：AC=BD或∠ABC=90°．
故答案为：AC=BD或∠ABC=90°
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键．
14．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE⊥DF，垂足为点O，△AOD的面积为，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【分析】
先证得△ADF△BAE，再利用等量代换即可求得阴影部分的面积等于△AOD的面积．
【详解】
正方形ABCD中，
∠DAF=∠ABE=90，AD=AB，
∵AE⊥DF，
∴∠DOA=∠DAF
=90，
∴∠DAO+∠ADF
=∠DAO
+∠FAO
=90，
∴∠ADF
=∠FAO，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF△BAE，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得阴影部分的面积等于△AOD的面积是解题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D’处，则重叠部分△AFC的面积为___________．
【答案】10
【分析】
先证AF=CF，再根据Rt△CFB中建立方程求出AF长，从而求出△AFC的面积.
【详解】
解：∵将矩形沿AC折叠，
∴∠DCA=∠FCA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴DC∥AB，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠FCA=∠FAC，
∴AF=CF，
设AF为x，
∵AB=8，BC=4，
∴CF=AF=x，BF=8-x，
在Rt△CFB中，
，即，
解得：x=5，
∴S△AFC=，
故答案为：10.
【点睛】
本题是对勾股定理的考查，熟练掌握勾股定理知识是解决本题的关键.
16．如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝_____．
【答案】4
【分析】
由矩形的性质可得AO=CO=5=BO=DO，由S△DCO=S△DPO+S△PCO，可得PE+PF的值．
【详解】
解：如图，设AC与BD的交点为O，连接PO，
∵四边形ABCD是矩形
∴AO=CO=5=BO=DO，
∴S△DCO=S矩形ABCD=10，
∵S△DCO=S△DPO+S△PCO，
∴10=×DO×PF+×OC×PE
∴20=5PF+5PE
∴PE+PF=4
故答案为4
【点睛】
本题考查了矩形的性质，利用三角形的面积关系解决问题是本题的关键．
17．如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为_____．
【答案】或4
【解析】
分析：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
详解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
.
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=；
②当∠A'FE=90°时，如图2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
综上所述，AB的长为4或4；
故答案为4或4.
点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
三、解答题（本大题共6小题,共49分）
18．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，点E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点．
（Ⅰ）求证：四边形AECD是菱形；（Ⅱ）若AC＝4，AB＝5，求四边形ABCD的面积．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）15.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先证四边形ADCE是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求AE=CE，即可得四边形AECD是菱形；
（Ⅱ）由题意可求S△AEC=S△ACD=S△ABC，即可求四边形ABCD的面积．
【详解】
证明（Ⅰ）∵AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBE
∵F是AE中点
∴AF＝EF且∠AFD＝∠BFE，∠ADB＝∠DBE
∴△ADF≌△BEF
∴BE＝AD
∵AB⊥AC，E是BC中点
∴AE＝BE＝EC
∴AD＝EC，且AD∥BC
∴四边形ADCE是平行四边形
且AE＝EC
∴四边形ADCE是菱形；
（Ⅱ）∵AC＝4，AB＝5，AB⊥AC
∴S△ABC＝10
∵E是BC中点
∴S△AEC＝S△ABC＝5
∵四边形ADCE是菱形
∴S△AEC＝S△ACD＝5
∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝15.
故答案为：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）15.
【点睛】
本题考查菱形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是利用三角形中线的性质求三角形的面积．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF、AD．
（1）求证：四边形BFCE是菱形；
（2）若BC＝4，EF＝2，求AD的长．
【答案】（1）详见解析；（2）2
【分析】
（1）根据平行线的判定定理得到四边形BFCE是平行四边形，根据直角三角形的性质得到BE＝CE，于是得到四边形BFCE是菱形；
（2）连接AD，根据菱形的性质得到BD＝BC＝2，DE＝EF＝1，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DF＝ED，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC的中点，
∴BE＝CE，
∴四边形BFCE是菱形；
（2）解：连接AD，
∵四边形BFCE是菱形，BC＝4，EF＝2，
∴BD＝BC＝2，DE＝EF＝1，
∴BE＝＝，
∴AC＝2BE＝2，
∴AB＝＝＝2，
∴AD＝＝2．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，三角形的中位数的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
【答案】（1）详见解析；（2）AE＝5．
【分析】
（1）由“ASA”可证△COF≌△AOE，可得EO＝FO，且GO＝HO，可证四边形EHFG是平行四边形；
（2）由题意可得EF垂直平分AC，可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的长．
【详解】
证明：（1）∵对角线AC的中点为O
∴AO＝CO，且AG＝CH
∴GO＝HO
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB
∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA
∴△COF≌△AOE（ASA）
∴FO＝EO，且GO＝HO
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）如图，连接CE
∵∠α＝90°，
∴EF⊥AC，且AO＝CO
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，
∴AE2＝（9﹣AE）2+9，
∴AE＝5
【点睛】
此题主要考查特殊平行四边形的证明与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的运用.
21．如图在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x，y轴上，已知OA＝3，点D为y轴上一点，其坐标为(0，1)，CD＝5，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段A﹣C﹣B的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒
(1)求B，C两点坐标；
(2)①求△OPD的面积S关于t的函数关系式；
②当点D关于OP的对称点E落在x轴上时，求点E的坐标；
(3)在(2)②情况下，直线OP上求一点F，使FE+FA最小．
【答案】（1）B（0，5），C（3，5）；（2）①S＝－；②E（1，0）；（3）AD的长度就是AF+EF的最小值，则点F即为所求
【解析】
【分析】
（1）由四边形OACB是矩形，得到BC＝OA＝3，在Rt△BCD中，由勾股定理得到BD＝
＝4，OB＝5，从而求得点的坐标；
（2）①当点P在AC上时，OD＝1，BC＝3，S＝，当点在BC上时，OD＝1，BP＝5+3﹣t＝8﹣t，得到S＝×1×（8﹣t）＝﹣
t+4；
②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，得到点D的对称点是（1，0），求得E（1，0）；
（3）由点D、E关于OP对称，连接AD交OP于F，找到点F，从而确定AD的长度就是AF+EF的最小值，在Rt△AOD中，由勾股定理求得AD＝
，即AF+EF的最小值＝．
【详解】
解：（1）∵四边形OACB是矩形，
∴BC＝OA＝3，
在Rt△BCD中，∵CD＝5，BC＝3，
∴BD＝
＝4，
∴OB＝5，
∴B（0，5），C（3，5）；
（2）①当点P在AC上时，OD＝1，BC＝3，
∴S＝，
当点在BC上时，OD＝1，BP＝5+3﹣t＝8﹣t，
∴S＝
×1×（8﹣t）＝﹣
t+4；（t≥0）
②当点D关于OP的对称点落在x轴上时，点D的对称点是（1，0），
∴E（1，0）；
（3）如图2∵点D、E关于OP对称，连接AD交OP于F，
则AD的长度就是AF+EF的最小值，则点F即为所求．
故答案为（1）B（0，5），C（3，5）；（2）①S＝－；②E（1，0）；（3）AD的长度就是AF+EF的最小值，则点F即为所求
【点睛】
本题考查平面直角坐标系中求点的坐标，动点问题，求三角形的面积，根据轴对称的性质求对称点，求线段和的最小值．
22．在Rt△ABC中，∠BAC=90°,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF
的面积．
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）10．
【分析】
（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；
（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
【详解】
（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵AD为BC边上的中线
∴DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=AC?DF=×4×5=10．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．
23．在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化.
（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是
，与的位置关系是
；
（2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，
请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).
(3)
如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若
,
,求四边形的面积.
【答案】（1）BP=CE；
CE⊥AD；（2）成立，理由见解析；（3）
.
【解析】
【分析】（1）①连接AC，证明△ABP≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE；②根据菱形对角线平分对角可得，再根据△ABP≌△ACE，可得，继而可推导得出
，即可证得CE⊥AD；
（2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD
仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可；
（3）连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE的长，AP长，由△APE是等边三角形，求得，
的长，再根据，进行计算即可得.
【详解】（1）①BP=CE，理由如下：
连接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE
，∠PAE=60°
，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE；
②CE⊥AD
，
∵菱形对角线平分对角，
∴，
∵△ABP≌△ACE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∴CF⊥AD
，即CE⊥AD；
（2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD
仍然成立，理由如下：
连接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=120°
，
∠BAP=120°＋∠DAP，
∵△APE是等边三角形，
∴AP=AE
，
∠PAE=60°
，
∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，，
∴∠DCE=30°
，∵∠ADC=60°，
∴∠DCE＋∠ADC=90°
，
∴∠CHD=90°
，∴CE⊥AD，
∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD
仍然成立；
(3)
连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ABC
，
∵∠ABC=60°，，
∴∠ABO=30°
，∴
，
BO=DO=3，
∴BD=6，
由(2)知CE⊥AD，
∵AD∥BC，∴CE⊥BC，
∵
，
，
∴，
由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5，
∴，
∵△APE是等边三角形，∴
，
，
∵，
∴，
=
=
=，
∴四边形ADPE的面积是
.
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质等，熟练掌握相关知识，正确添加辅助线是解题的关键.
试卷第1页，总3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2020-2021学年浙江八年级数学下第五章《特殊平行四边形》测试卷2
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一，单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，菱形中，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
2．矩形具有而菱形不具有的性质是（
）
A．两组对边分别平行
B．对角线相等
C．两组对角分别相等
D．对角线互相垂直
3．已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
4．下列判断错误的是（
）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
5．如图，矩形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
相交于点
O,CE∥BD,
DE∥AC
,
AD＝2,
DE＝2,则四边形
OCED
的面积为（ ）
A．2
B．4
C．4
D．8
6．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点、，连接，则的长为（
）
A．6
B．7
C．5
D．5.6
7．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
8．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF＝54°，则∠B＝（ ）
A．54°
B．60°
C．66°
D．72°
9．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
10．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2017的坐标是（ ）
A．（0，21008）
B．（21008，21008）
C．（21009，0）
D．（21009，－21009）
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．如图，在△ABC中，AD是高，E是AB的中点，EF⊥AD，交AC于点F，若AC=6，则DF的长为______.
12．如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数是__________．
13．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件________使平行四边形ABCD是矩形.
14．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE⊥DF，垂足为点O，△AOD的面积为，则图中阴影部分的面积为_____．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D’处，则重叠部分△AFC的面积为___________．
16．如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝_____．
17．如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为_____．
三、解答题（本大题共6小题,共49分）
18．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，点E是BC的中点，AE与BD交于点F，且F是AE的中点．
（Ⅰ）求证：四边形AECD是菱形；（Ⅱ）若AC＝4，AB＝5，求四边形ABCD的面积．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF、AD．
（1）求证：四边形BFCE是菱形；
（2）若BC＝4，EF＝2，求AD的长．
20．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
21．如图在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x，y轴上，已知OA＝3，点D为y轴上一点，其坐标为(0，1)，CD＝5，点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段A﹣C﹣B的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒
(1)求B，C两点坐标；
(2)①求△OPD的面积S关于t的函数关系式；
②当点D关于OP的对称点E落在x轴上时，求点E的坐标；
(3)在(2)②情况下，直线OP上求一点F，使FE+FA最小．
22．在Rt△ABC中，∠BAC=90°,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF
的面积．
23．在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化.
（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是
，与的位置关系是
；
（2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，
请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).
(3)
如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若
,
,求四边形的面积.
试卷第1页，总3页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
