第一章 二次根式单元检测试题（含解析）

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浙教版八下第1章单元检测试题
姓名__________班级：__________考号__________总分__________
、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列各式中不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
使有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
化简，结果是（　　）
A．2 B．4﹣4x C．4x﹣4 D．﹣2
下列各数中与2+的积是有理数的是（　　）
A．2+ B．2 C． D．2﹣
计算的结果正确的是（ ）．
A．1 B． C．5 D．9
若a=2+3，b=2﹣3，则下列等式成立的是（　　）
A．ab=1 B．ab=﹣1 C．a=b D．a=﹣b
已知（4+）?a=b，若b是整数，则a的值可能是（　　）
A． B．4+ C．4﹣ D．2﹣
若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（　　）
A． B． C．2 D．5
实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A． B．0 C． D．
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7+4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于﹣，设x＝﹣，易知＞，故x＞0，由x2＝（﹣）2＝3++3﹣﹣2＝2，解得x＝，即﹣＝．根据以上方法，化简+﹣后的结果为（　　）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
已知实数m满足+=，则m=　　　　　　．
计算的结果是_______.
当x_______时，=1-x．
如果最简根式与是同类二次根式，那么使有意义的的范围是________．
如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为3和9，那么阴影部分的面积为_____．
已知x=+1，则x2﹣2x﹣3=________．
、解答题（本大题共8小题，共64分）
计算下列各题：
； （2）
已知≈2.236,求的值（结精确到0.01）
计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）.
阅读下列解题过程，按要求回答问题．
化简：
解：原式=??①
=??????②
=?????③
=????④.
（1）上面的解答过程是否正确？若不正确，指出是哪一步出现错误；
（2）请写出你认为正确的解答过程．
已知非零实数a，b满足+|b-3|++4=a，求ab-1的值.
已知+=b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度 h（单位：m）近似满足公式 t=（不考虑风速的影响）
（1）从 50m 高空抛物到落地所需时间 t1 是多少 s，从 100m 高空抛物到落地所 需时间 t2 是多少 s；
（2）t2 是 t1 的多少倍？
（3）经过 1.5s，高空抛物下落的高度是多少？
能力拓展： A1：； A2：； A3：；A4：；…；写出An：．
（1）请观察 A1，A2，A3的规律，按照规律写出An：；
（2）请比较下列代数式的大小：
①和 ； ②和 ；
（3）请直接写出与 的大小关系．
答案解析
、选择题
【考点】二次根式的概念
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0判断．
解：A．∵a2+1是非负数，∴是二次根式；
B、被开方数是负数，二次根式无意义；
C、D中的被开方数都是非负数．
不是二次根式的是B．故选B．
主要考查了二次根式的概念．
【点评】二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式．（a≥0）是一个非负数．
二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，也就不是二次根式．
【考点】 二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，可得答案．
解：要使有意义，得
x﹣1≥0．
解得x≥1，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】先开方，再进行计算即可得到答案.
解：
故选A
【点评】此题重点考察学生对平方根的应用，把握开方方法是解题的关键.
【考点】分母有理化
【分析】利用平方差公式可知与2+的积是有理数的为2﹣，
解：∵（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1，
故选：D．
【点评】本题考查分母有理化，熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．
【考点】二次根式的乘除法
【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
解：
，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据已知a、b的值求出ab、﹣b的值，再判断即可．
解：∵a＝23，b＝23，
∴ab＝（23）×（23）＝8﹣9＝﹣1，a≠b，﹣b＝﹣（23）＝3
﹣23，即只有选项B正确，选项A．C、D都错误．
故选B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能根据运算法则正确求出ab和﹣b的值是解答此题的关键．
【考点】分母有理化
【分析】找出括号中式子的有理化因式即可得.
解:（4+）×（4-）=42-（）2=16-3=13，是整数，
所以a的值可能为4-，
故选C.
【点评】本题考查了有理化因式，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式的结构特征是解题的关键.
【考点】同类二次根式．
【分析】根据能合并的最简二次根式是同类二次根式列出方程求解即可．
解：∵最简二次根式和能合并，
∴2x+1=4x﹣3，
解得x=2．
故选C．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
【考点】绝对值，实数与数轴，二次根式的性质与化简
【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．
解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，
∴
=
=
=-2
故选A．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
【考点】无理数，平方差公式，二次根式的性质与化简，分母有理化
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
解：设x＝﹣，且＞，
∴x＜0，
∴x2＝6﹣3﹣2+6+3，
∴x2＝12﹣2×3＝6，
∴x＝，
∵＝5﹣2，
∴原式＝5﹣2﹣
＝5﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
、填空题
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质和化简解答即可．
解：因为实数m满足+=，
可得：m﹣2+=m，
可得：m﹣3=4，
解得：m=7，
故答案为：7
【点评】此题考查二次根式问题，关键是根据二次根式的性质和化简分析．
【考点】二次根式的乘除
【分析】直接相乘化简后即可得出答案
解：.
【点评】此题考查了二次根式的乘除，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】根据二次根式的性质化简得出即可．
解：∵，
∴1-x≥0，
∴x≤1．
故答案为：≤1．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【考点】同类二次根式
【分析】根据同类二次根式的定义求出a的值，再由二次根式及分式有意义的条件求出x的取值范围即可．
解:∵最简根式与是同类二次根式，∴3a﹣8=17﹣2a，解得：a=5，∴4a﹣2x=20﹣2x．
∵+有意义，∴，
解得：x≤10且x≠3．
故答案为：x≤10且x≠3．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
【考点】二次根式的应用
【分析】设两个正方形的边长是x、y（x＜y），得出方程x2＝3，y2＝9，求出x＝，y＝3，代入阴影部分的面积是（y﹣x）x求出即可．
解：设两个正方形的边长是x、y（x＜y），则x2＝3，y2＝9，x，y＝3，则阴影部分的面积是（y﹣x）x＝（33．
故答案为：33．
【点评】本题考查了二次根式的应用，主要考查学生的计算能力．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】首先把所求的式子化成(x-1)2-4的形式，然后代入数值计算即可求解．
解：原式=x2?2x+1?4=(x?1)2?4，
当x=+1时，原式=3?4=?1.
故答案是：?1.
【点评】本题考查了二次根式的化简、代值问题，注意要先化简，再代值．
、解答题
【考点】二次根式的加减
【分析】先化简二次根式，然后去括号合并同类二次根式即可.
解：原式
；
原式
．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义和同类二次根式的合并，熟练掌握同类二次根式的定义和同类二次根式的合并的方法是解答本题的关键.化成最简二次根式后被开方式相同的二次根式是同类二次根式；合并的方法是把系数相加减，根号和被开方式不变.
【考点】二次根式的加减
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项，把=2.236代入进行计算即可．
解：原式=4- =4-
∵=2.236，
∴原式≈0.45．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解题的关键．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】（1）先分别求出每个数的算数平方根，然后进行有理数的加减
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；
（3）利用二次根式的除法法则进行计算；
（4）利用二次根式的乘法法则进行计算；
（5）利用平方差公式进行计算；
（6）利用平方差公式进行计算；
解：（1）.
（2）.
（3）
（4）
（5）
（6）.
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．
【考点】二次根式的乘除
【分析】（1）根据y＜x＜0，即可得到=x-y，即可作出判断；
（2）首先把被开方数中的式子的分母分解因式，即可把能开方的因式开出，然后分子分母同时乘以x，即可得到能开方的因式，即可化简．
解:（1）不正确，
∵y＜x＜0，∴y-x<0，
∴=x-y，
∴②③出现错误；
（2）原式=???=?????=?-x=????=????.
【点评】本题考查了二次根式的化简，正确理解是解此题的关键.
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】先根据二次根式的意义确定：（a-5）（b2+1）≥0，a≥5，再化简，由绝对值和二次根式的非负性列等式可得结论．
解：由题意得(a-5)(b2+1)≥0，
∴a≥5，
因为+|b-3|++4=a.
即+|b-3|++4=a，
a-4+|b-3|++4=a，
∴|b-3|+=0，
又因为|b-3|≥0，≥0，
故|b-3|==0，
则b=3，a=5，
故ab-1=52=25.
【点评】考查了二次根式的性质和化简及非负数的性质，解题的关键是将所给的式子化为非负数的和为0的等式，然后利用非负性求出a、b的值，本题属于中等题型．
【考点】二次根式的定义，二次根式有意义的条件
【分析】（1）根据被开方数是非负数，即可求得a的值；
（2）根据（1）的结果即可求得b的值，然后利用平方根的定义求解．
解：根据题意得：，
解得：a=17；
（2）b+8=0，
解得：b=﹣8．
则a2﹣b2=172﹣（﹣8）2=225，
则平方根是：±15．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握二次根式的定义，二次根式有意义的条件是解本题的关键．　
【考点】二次根式的应用
【分析】（1）将h=50代入t1=进行计算即可；将h=100代入t2=进行计算即可；
（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；
（3）将t=1.5代入公式t=进行计算即可．
解：（1）当 h=50 时，t1= =（秒）；
当 h=100 时，t2===2（秒）；
（2）∵=，
∴t2 是 t1 的倍．
（3）当 t=1.5 时，1.5=， 解得 h=11.25，
∴下落的高度是 11.25 米．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
【考点】分母有理化
【分析】（1）观察A1，A2，A3的规律可知，即可得到结论；
（2）根据（1）的结论即可得到结果；
（3）利用（1）的结论进行填空即可．
解:（1）观察 A1，A2，A3的规律可知；
（2）∵；； ＞
∴＜；
∵＝，
＝； ＜，
∴＜；
（3）∵＝，＝，＜，
∴＜．
【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
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