第2章一元二次方程 单元检测试题（含解析）

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浙教版八下第2章一元二次方程单元检测试题
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列方程中，一元二次方程有（　　）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
关于的一元二次方程的常数项是0，则（　　）
A．＝4 B．＝2 C．＝2或＝-2 D．＝-2
两个连续奇数的积是323，若其中一个奇数为x，根据题意所列方程为（ ）
A．x（x+1）=323 B．x（x-1）=323 C．（x+1）（x-1）=323 D．x（x+2）=323
用公式法解方程，得到（ ）
A．C．
一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
一元二次方程3x2﹣1=2x+5两实根的和与积分别是（　　）
A．，﹣2 B．，﹣2 C．，2 D．，2
我县某乡镇冬枣园2014年产量为1000吨，2016年产量为1440吨，求该冬枣园冬枣产量的年平均增长率，设该冬枣园冬枣产量的年平均增长量为x，则根据题意可列方程为（　　）
A．1440（1﹣x）2＝1000 B．1000（1﹣x）2＝1440
C．1440（1+x）2＝1000 D．1000（1+x）2＝1440
一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15
输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：
x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9
输出 ﹣13.75 ﹣8.04 ﹣2.31 3.44 9.21
分析表格中的数据，估计方程（x+8）2﹣826=0的一个正数解x的大致范围为（　　）
A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9
1 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
一元二次方程3x﹣2＝x（2x﹣1）的一般形式是__________________________
若关于x的方程x2﹣mx+3=0有两个相等的实数根，则m=　　　　　　．
一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了36次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为_____．
方程的两根为、则的值为______．
如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．
已知：三角形的两边分别是3和4，第三边的长是方程x2﹣6x+5=0的根，第三条边是_____．
1 、解答题（本大题共8小题，共64分）
选择适当的方法解下列方程:
(1)7x(3x-4)=9(3x-4);(2)x2-6x+9=(5-2x)2;(3)2x2-5x-7=0;(4)x2-2x-1=0.
我们规定:x※y=x2-y.如:2※1=22-1,※2=()2-2.试判断x=3是否是方程x※x=2的一个解.
已知关于x的方程3x2－(a－3)x－a＝0(a>0)．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），
解：设，则有，
原方程可化为：，
续解：
在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA．OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．
（1）求这地面矩形的长；
（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？
已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围，
（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．
电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．
（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；
（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？
如图所示,△ABC中,∠B=90 ，AB=6cm，BC=8cm.
(1)点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发.
①经过几秒,使△PBQ的面积等于8
②线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分 若能，求出运动时间；若不能说明理由.
(2)若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1
答案解析
1 、选择题
【考点】一元二次方程的定义
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：①符合一元二次方程定义，正确；
②方程含有两个未知数，错误；
③不是整式方程，错误；
④符合一元二次方程定义，正确；
⑤符合一元二次方程定义，正确．
故选：B．
【点评】判断一个方程是否是一元二次方程时，首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是0．
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故选：A．
【点评】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
【考点】一元二次方程的一般形式
【分析】根据常数项为0，可得m2-4=0，同时还要保证m-2≠0，即可．
解：由题意得：m2-4=0，且m-2≠0，
解得：m=-2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】如果设其中一个奇数为x，当这个奇数为较大的奇数时，根据题意可列方程为x（x-2）=323；如果这个奇数为较小的奇数时，根据题意可列方程为x（x+2）=323．
解：设其中一个奇数为x，
当这个奇数为较大的奇数时，根据题意可列方程为x（x-2）=323；
如果这个奇数为较小的奇数时，根据题意可列方程为x（x+2）=323．
故填空答案为x（x+2）=323或x（x-2）=323．
故选D.
【点评】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
【考点】解一元二次方程﹣公式法
【分析】根据题意可得，此题采用公式法解一元二次方程．采用公式法时首先要将方程化简为一般式．
解：∵4y2=12y+3
∴4y2 12y 3=0
∴a=4，b= 12，c= 3
∴b2 4ac=192
∴y=.故选C.
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解题的步骤.
【考点】根的判别式．
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【考点】根与系数的关系．
【分析】设这个一元二次方程的两个根分为x1、x2，然后把方程化为一般形式，然后根据根与系数的关系进行判断．
解：设这个一元二次方程的两个根分为x1、x2，
方程3x2﹣1=2x+5化为一元二次方程的一般形式为：3x2﹣2x﹣6=0，
所以x1+x2=，x1x2==﹣2．
故选B．
【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,
【考点】一元二次方程的应用
【分析】根据2016年的产量＝2014年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
解：设该冬枣园产量的年平均增长率为x，则2015年的产量为1000（1+x）吨，2016年的产量为1000（1+x）（1+x）＝1000（1+x）2吨，
根据题意，得1000（1+x）2＝1440，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】方程利用配方法求出解即可．
解：方程变形得：x2﹣8x=1，
配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2=17，
故选C
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【考点】估算一元二次方程的近似解．
【分析】根据表格中的数据，可以知道（x+8）2﹣826的值，从而可以判断当（x+8）2﹣826=0时，x的所在的范围，本题得以解决．
解：由表格可知，
当x=20.7时，（x+8）2﹣826=﹣2.31，
当x=20.8时，（x+8）2﹣826=3.44，
故（x+8）2﹣826=0时，20.7＜x＜20.8，
故选C．
【点评】本题考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．　
1 、填空题
【考点】一元二次方程的一般形式
【分析】首先去括号，然后移项，把等号右边化为0即可．
解：3x-2=x（2x-1），
3x-2=2x2-x，
3x-2-2x2+x=0，
-2x2+4x-2=0，
2x2-4x+2=0，
故题答案为：2x2-4x+2=0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值．
解：∵关于x的方程x2﹣mx+3=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣m）2﹣4×3=0，
即m2=12，
∴m=±2．
故题答案为：±2．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：熟记（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 方程没有实数根是解题的关键．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设到会的人数为x人，则每个人握手（x-1）次，根据总共握手36次，列方程即可．
解：设到会的人数为x人，则每个人握手（x﹣1）次，
由题意得， x（x﹣1）=36，
故答案是： x（x﹣1）=36．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
【考点】根与系数的关系
【分析】直接根据韦达定理x1·x2=可得．
解：∵方程的两根为x1、x2，
∴x1·x2==-3，
故答案为：-3．
【点评】本题主要考查韦达定理，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则x1+x2= ，x1·x2=．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
解：设道路的宽为x m，根据题意得：
（10﹣x）（15﹣x）＝126，
解得：x1＝1，x2＝24（不合题意，舍去），
则道路的宽应为1米；
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
【考点】三角形的三边关系，解一元二次方程-因式分解法
【分析】分解因式后得出（x-1）（x-5）=0，推出x-1=0，x-5=0，求出方程的解，根据三角形的三边关系定理得出结论即可．
解：x2-6x+5=0，
（x-1）（x-5）=0，
x-1=0，x-5=0，
解得：x1=1；x2=5，
∵4-3=1，
由于三角形两边之和大于第三边，
只能取x=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，能根据三角形的三边关系定理确定第三边的值是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
1 、解答题
【考点】解一元二次方程
【分析】（1）用因式分解法解方程即可.
（2）方程左边配方成完全平方，用直接开方法解方程即可.
(3)用公式法解方程即可.
(4)用配方法解方程即可.
解：(1)(因式分解法)移项,得7x(3x-4)-9(3x-4)=0,
即(3x-4)(7x-9)=0.
故3x-4=0,或7x-9=0.
所以x1=,x2 =.
(2)(直接开平方法)原方程可变形为(x-3)2=(5-2x)2.
直接开平方,得x-3=±(5-2x).
解得x1=,x2=2.
(3)(公式法)a=2,b=-5,c=-7,b2-4ac=(-5)2-4×2×(-7)=25+56=81,
所以x= .
所以x1= ,x2=-1.
(4)(配方法)移项,得x2-2x=1.
配方,得x2-2x+1=1+1,
即(x-1)2=2.
直接开平方,得x-1=±.
所以方程两根为x1=+1,x2=-+1.
【点评】考查解一元二次方程，熟练掌握直接开方法，公式法，配方法，因式分解法是解题的关键.
【考点】一元二次方程的解
【分析】根据x※y= x2-y运算，可得关于x的一元二次方程，再进行判断则可得答案.
解：由题意知x※x=2可化为x2-x=2,
当x=3时,x2-x=32-3=6≠2,
所以x=3不是方程x※x=2的一个解.
【点评】本题考查新定义运算及一元二次方程的解，难度不大，注意理解新定义所表示的运算法则．
【考点】解一元二次方程，根的判别式
【分析】（1）先计算根的判别式得到△=（a＋3）2，然后根据a>0得到△＞0，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）利用公式法求得方程的两个解为x1＝－1，x2＝，再由方程有一个根大于2，列出不等式，解不等式即可求得a的取值．
（1）证明：Δ＝（a－3）2－4×3×（－a）＝（a＋3）2.
∵a>0，
∴（a＋3）2>0，即Δ>0.
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵Δ＝（a＋3）2＞0，由求根公式得x＝，
∴x1＝－1，x2＝.
∵方程有一个根大于2，
∴>2.
∴a>6.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【考点】解一元二次方程-因式分解法，换元法解一元二次方程，无理方程
【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后进行检验确定原方程的解．
解：续解：，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
，，
，
经检验都是方程的解．
【点评】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据题意表示出长方形的长，进而利用长×宽=面积，求出即可；
（2）分别计算出每一规格的地板砖所需的费用，然后比较即可．
（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得：
x（20﹣x）=96，
解得x1=12，x2=8（舍去），
答：这地面矩形的长是12米；
（2）规格为0.80×0.80所需的费用：96×（0.80×0.80）×55=8250（元）．
规格为1.00×1.00所需的费用：96×（1.00×1.00）×80=7680（元）．
因为8250＜7680，
所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．　
【考点】根的判别式，根与系数的关系
【分析】（1）根据根的判别式，可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围，
（2）由根与系数的关系，用a表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围，再求其值即可．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，
解得a＜2，
（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，
∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，
∴36﹣3（2a+5）≤30，
∴a≥﹣，∵a为整数，
∴a的值为﹣1，0，1．
【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x．等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可．
（2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案．
解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，
根据题意列方程：150（1+x）2=216，
解得x1=﹣220%（不合题意，舍去），x2=20%．
答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%．
（2）二月份的销量是：150×（1+20%）=180（辆）．
所以该经销商1至3月共盈利：（2800﹣2300）×（150+180+216）=500×546=273000（元）．
【点评】本题考主要查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
【考点】一元二次方程的应用，三角形的面积公式
【分析】（1）①经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可求解；②根据 列出方程，解方程即可解答；（2）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x≤4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上（4＜x≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）；列方程进行讨论求解即可．
解：（1）①设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2
（6-x） 2x=8
解得x1=2，x2=4
∴经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；
② ，
，
，
∵b2-4ac=36-4×12=-12＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）设经过x秒，
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，即当时，
（6-x）（8-2x）=1，
x2-10x+23=0，
解得,(舍)
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，即当4＜x≤6时，
（6-x）（2x-8）=1，
x2-10x+25=0，
x1=x2=5
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，即当x6时，
（x-6）（2x-8）=1，
x2-10x+23=0，
，（舍）
综上所述，经过（）秒或5秒或（）秒后，△PBQ的面积为1.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确找出等量关系，列出方程，再求解．解决第（2）问时，注意分三种情况进行求解．
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