2020-2021学年浙教版八年级下册数学课件 3.3 方差与标准差（15张）

3.3 方差和标准差
1.了解方差、标准差的概念；
2.会求一组数据的方差、标准差，并会用它们表
示数据的离散程度；
3.能用方差分析和解决一些实际问题
重点：方差的概念生成和计算
难点：对方差公式的理解，方差如何表示数据的离散程度。
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲命中环数
7
8
8
8
9
乙命中环数
10
6
10
6
8
0
1
2
2
3
4
5
4
6
8
10
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
成绩（环）
射击次序
⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩；
教练的烦恼
？
⑵ 请根据这两名射击手的成绩在下图中画出折线统计图；
⑶ 现要挑选一名射击手
参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较
适宜？为什么？
谁的稳定性好？应以什么数据来衡量？
甲每次射击成绩与平均成绩的偏差的和：
乙每次射击成绩与平均成绩的偏差的和：
（7-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（9-8）=
（10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）=
（10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2= ？
（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2= ？
0
0
怎么办？
甲每次射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：
乙每次射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：
2
16
想一想
上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？
——与射击次数有关！
所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差.
在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的
波动越大,越不稳定.
S2= [(x1－ )2＋ (x2－ )2 ＋…＋ (xn－ )2 ]
1
n
一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数
练一练：
小明和小聪最近5次数学测验的成绩如下
（单位：分）
小聪：76、84、80、87、73；
小明：78、82、79、80、81；
哪位同学的成绩比较稳定？
例题： 为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中
抽出10株苗，测得苗高如下（单位：cm）：
甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；
乙：11，16，17，14，13，19， 6， 8，10，16；
问：哪种小麦长得比较整齐？
X甲＝ （cm）
X乙＝ （cm）
S2甲＝ （cm2）
S2乙＝ （cm2）
因为S2甲< S2乙，所以甲种小麦长得比较整齐。
解:
数据的单位与方差的单位一致吗？
为了使单位一致，可用方差的算术平方根：
S = [ (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 ]
来表示，并把它叫做标准差.
标准差越小,波动越小,越稳定.
特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据
都没有偏差，即每个数都一样 。
做一做：
(1)一个样本的方差是
则这个样本中的数据个数是____，平均数是____
100
8
(4)数据1、2、3、4、5的方差是_____,标准差是____
2
(3)某样本的方差是9，则标准差是______
3
S2= [(x1－ 8 )2＋ (x2－8 )2 ＋…＋ (x100－8 )2 ]
(2)甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且射击成绩的平均数x甲 = x乙，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是S2甲————S2乙。
<
探索发现
已知三组数据（1）1、2、3、4、5；
（2）11、12、13、14、15和（3）3、6、9、12、15。
1、求这三组数据的平均数、方差和标准差。
2、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？
想看一看下面的问题吗？
平均数
方差
标准差
1、2、3、4、5
11、12、13、14、15
3、6、9、12、15
3
2
2
13
2
2
2
3
9
18
请你用发现的结论来解决以下的问题：
已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为X，方差为Y,标准差为 。
则
①数据a1+3，a2 + 3，a3 +3 ，…，an +3的平均数为--------，方差为-------，
标准差为----------。
②数据a1-3，a2 -3，a3 -3 ，…，an -3的平均数为 ----------，方差为--------，
标准差为----------。
③数据3a1，3a2 ，3a3 ，…，3an的平均数为-----------，方差为-----------，
标准差为----------。
④数据2a1-3，2a2 -3，2a3 -3 ，…，2an -3的平均数为 ----------，
方差为---------，标准差为----------。
反思提高
X+3
Y
X-3
Y
3X
9Y
2X-3
4Y
Y
2
总结：
若x1，x2，x3，x4，…，xn方差为S2，
则x1＋a，x2＋a，x3＋a，x4＋a，…，xn＋a的
方差仍是S2，而ax1，ax2，ax3，ax4，…，axn的
方差是a2S2。
若x1，x2，x3，x4，…，xn平均数为x，
则x1＋a，x2＋a，x3＋a，x4＋a，…，xn＋a的
平均数是x+a，而ax1，ax2，ax3，ax4，…，axn
的平均数是ax。
（探究题）已知数据x1、x2、x3、x4、x5的
平均数是2，方差是 ， 那么另一组数据
2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的
平均数和方差分别是（ ）

A、2， B、4，

C、2， D、3，
D
拓展提高
小结：谈谈自己这节课已学到什么？
1.方差:各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这 批数据的方差.
2.方差用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小).在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.
3.标准差:方差的算术平方根叫做标准差.
S2= [ (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 ]
S = [ (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 ]
计算一组数据的方差的一般步骤：
1、利用平均数公式计算这组数据的平均数X
2、利用方差公式计算这组数据的方差S2
总结：
若x1，x2，x3，x4，…，xn方差为S2，
则x1＋a，x2＋a，x3＋a，x4＋a，…，xn＋a的
方差仍是S2，而ax1，ax2，ax3，ax4，…，axn的
方差是a2S2。
若x1，x2，x3，x4，…，xn平均数为x，
则x1＋a，x2＋a，x3＋a，x4＋a，…，xn＋a的
平均数是x+a，而ax1，ax2，ax3，ax4，…，axn
的平均数是ax。
由方差和标准差的定义，应知道：
1.方差也是一个平均数.它是衡量数据
稳定性的一个统计量；
2.求某组数据的方差时，应先求出数据
的平均数；
3.方差的单位是数据单位的平方；标准差
与数据的单位相同.
4.方差、标准差越小，折线的波动越小，表明数据的离散程度越小, 数据越稳定。
5.如果方差与标准差为零，说明数据
都没有偏差，即每个数据都一样 。