(共16张PPT)
学习目标：
1、理解直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义。
2、会用直接开平方法解一元二次方程。
3、理解配方法。
4、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
学习重点：会用直接开平方法解一元二次方程
学习难点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
用因式分解法解方程 x2-9=0
解:
(x-3)
(x+3)
=0
解得x1=3,x2=-3
x1=3
x2=-3
解法二
若把x2=9看作某数的平方？
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
开平方法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程变形成
（2）
做一做：
（１）方程
的根是
；
（２）方程 的根是
；
开平方法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程变形成
（2）
用开平方法解下列方程:
这里的x可以是表示未知数的字母，也可以是含未知数的代数式.
(1)3x2－48=0;
(2)(2x－3)2=7
做一做：
选择适当的方法解下列方程
（2）
（4）
（1）
（3）
你能用开平方法解下列方程吗?
x2－10x＋
25
=
9
∵（x-5）2=9
16
0
∴x-5=±3
∴x1=8，x2=2
解：
x2-10x=-16
x2-10x+25=9
变形为
变形为
x2－10x+25=9
x2－10x+16=0
(x+b)
2
=a
的形式（ａ为非负数）
配方法
x2－10x+16=0
变形为
把一元二次方程的左边配成一个完全
平方式,右边为一个非负常数,然后用
开平方法求解,这种解一元二次方程的方法
叫做配方法.
x2+2x+___=(________)2
x2-2x+___=(________)2
x2+4x+___=(________)2
x2-4x+___=(________)2
x2+6x+___=(________)2
x2-6x+___=(________)2
x2+10x+___=(________)2
x2-10x+___=(________)2
1
x
+
1
1
x
-
1
4
x
+
2
4
x
-
2
9
x
+
3
9
x
-
3
25
x
+
5
25
x
-
5
用配方法解二次项系数是1的一元二次方程在时，添
上的常数项与一次项系数之间存在着什么样的关系？
常数项是一次项系数的一半的平方
添上一个适当的数，使下列的多项式成为一个完全平方式
填一填
例2、用配方法解下列一元二次方程
（1）
x2+6x=1
（2）x2+5x-6=0
（1）方程两边同加上9，得
即
即
（2）移项，得
方程两边同加上
，得
解：
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边，把二次项系数变为1;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.
用配方法解下列方程:
(2)－x2＋4x－3=0
（1）x2+12x=-9
一般地,对于形如
的方程,根据平方根的定义,可解得
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
开平方法解一元二次方程的基本步骤：
（1）将方程变形成
（2）
这里的x可以是表示未知数的字母，也可以是含未知数的代数式.
把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边是一个非负常数然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
配方法解一元二次方程的基本步骤：
移项:把常数项移到方程的右边,方程的
左边只有一次项和二次项及系数为1;
配方:方程两边都加上一次项系数
一半的平方;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
求解:解一元一次方程;
定解:写出原方程的解.(共13张PPT)
学习目标：
1、巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤；
2、会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。
学习重点：会用配方法解一元二次方程
学习难点：会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程
1、一元二次方程的一般形式：
常数项
二次项，
二次项系数
一次项，
一次项系数
（2）开平方法
（3）配方法
（1）因式分解法
2、一元二次方程的解法：
一般地，对于形如：
其中
a,b
是非负数,
这样的一元二次方程，可用开平方法
直接得出它的两个解或者将它转化为两个一元一次方程进行求解.
开平方法解一元二次方程：
移项:把常数项移到方程的右边;
求解:解一元一次方程;
开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
配方法解一元二次方程的基本步骤:
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;
二、小组合作
解下列方程：
完善“配方法”解方程的基本步骤：
把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a)
把常数项移到方程的右边;
把方程的左边配成一个完全平方式;
利用开平方法求出原方程的两个解.
★一除、二移、三配、四化、五解.
★一除、二移、三配、四化、五解.
★一除、二移、三配、四开、五解.
完善“配方法”解方程的基本步骤：
4、利用开平方法将方程两边开平方.
3、把方程的左边配成一个完全平方式;
2、把常数项移到方程的右边;
1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a)
5、求出原方程的两个解.
用配方法解
时,配方结果正确的是(
)
1.用配方法解下列方程:
（1）2x2+6x+3=0
★配方法解一元二次方程：
一除、二移、三配、四化、五解.(共14张PPT)
等腰
学习目标：
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程；
2、会用一元二次方程的判别式判定一元二次方程根的情况；
3、会用公式法解一元二次方程。
学习重点：会用公式法解一元二次方程。
学习难点：一元二次方程求根公式的推导过程；
知识回顾：
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成
5.开平方，求解
“配方法”解方程的基本步骤：
★一除、二移、三配、四化、五解.
用配方法解一元二次方程
2x2+4x+1=0
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)
解:把方程两边都除以
a,得x2
+
x+
=
0
解得
x=
-
±
∴当b2-4ac≥0时,
x
+
=±
∵4a2＞0
即
(
x
+
)2
=
移项，得
x2
+
x=
-
即
x=
用求根公式解一元二次方程的方法叫做
公式法。.
配方，得
x2
+
x+(
)2
=-
+(
)2
一般地,对于一元二次方程 ,
如果 ,那么方程的两个根为
这个公式叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式,我们可以由一元二次方程的系数
的值，直接求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
例1.用公式法解方程2x2+5x-3=0
解:
a=2
b=5
c=
-3
∴
b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
∴
x
=
=
=
即
x1=
-
3
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
求根公式
:
X=
4、写出方程的解：
x1=?,
x2=?
3、代入求根公式
:
X=
(a≠0,
b2-4ac≥0)
(a≠0,
b2-4ac≥0)
①
②
③
④
x2=
例2
用公式法解方程：
x2
–
x
-
=0
解：方程两边同乘以
3
得
2
x2
-3x-2=0
求根公式
:
X=
∴x=
即
x1=2,
x2=
-
例3
用公式法解方程：
x2
+3
=
2
x
解：移项，得
x2
-2
x+3
=
0
a=1，b=-2
，c=3
b2-4ac=(-2
)2-4×1×3=0
∴x=
x1
=
x2
=
=
=
=
=
当
时，一元二次
方程有两个相等的实数根。
b2-4ac=0
a=2，b=
-3，c=
-2.
∴b2-4ac=(-3)
2-4×2×(-2)=25.
当 时，方程没有实数根.
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
方程根的情况：
1、方程3
x2
+1=2
x中，
b2-4ac=-----
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0
有两个相等的实数根，则n=------.
动手试一试吧！
0
-1或4
3、练习:用公式法解方程
（1）
x2
-
x
-1=
0
（2）
x2
-
2
x+2=
0
（3）X(
X-1)=(X-2)2
（x1
=
1x2
=-
--）
（x1
=
x2
=
）
2
3
（x1
=
4,x2
=2）
解方程:
对于这个方程这种解法是否为最好的方法?
你还有其它的方法吗?
动手试一试：
求根公式
:
X=
一、由配方法解一般的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)
若
b2-4ac≥0 得
这是收获的
时刻，让我
们共享学习
的成果
这是收获的
时刻，让我
们共享学习
的成果
二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。
并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式
:
X=
(a≠0,
b2-4ac≥0)
4、写出方程的解：
x1=?,
x2=?
这是收获的
时刻，让我
们共享学习
的成果
四、计算一定要细心，尤其
是计算b2-4ac的值和代入公式
时，符号不要弄错。
三、当
b2-4ac=0时，一元二次
方程有两个相等的实数根。(共27张PPT)
2.2.1一元二次方程的解法
2.2.1一元二次方程的解法
学习目标
：
1、理解一元二次方程的根的概念．
2、掌握一元二次方程的因式分解的解法
学习重点：一元二次方程的解
学习难点：因式分解法解一元二次方程
一元二次方程有什么特点？
整式方程
未知个数数1个
含有未知数项的次数2次
含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都为2的方程。
什么是一元二次方程？
课前回顾
ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0）
b,c可以为零吗？
一元二次方程的一般形式：
a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.
课前回顾
我们怎么获得这个一元二次方程的解呢?
想想以前学习过的知识，有没有能够解决这一问题的方法呢?
探究1
请选择：
若A·B=0则
（
）
（A）A=0；
（B）B=0；
（C）A=0且B=0；（D）A=0或B=0
D
你能用上面的结论解方程(2x+3)(2x-3)=0吗?
做一做
做一做下面这题，这是给大家一个小提示哟！
探究1
根据上述结论：
若A·B=0,则
A=0或B=0
我们可以得到：
(2x+3)(2x-3)=0
归纳
前面解方程时利用了什么方法呢?
因式分解:
把一个多项式化成几个整式的积的形式.
像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
把下列各式因式分解
（1）x?-3x
（2）x?-4x+4
（3）25x?-16
x(x-3)
(x-2)?
(5x-4)(5x+4)
练习1
请利用因式分解解下列方程：
（1）y2－3y＝0;
解：
y（y-3）=0
∴
y=0或y-3=0
∴
x1=0，
x2=3
想一想以前学过几种因式分解的方法呢?
探究2
提取因式法
解：移项，得
4x2-9=0
（2x+3）（2x-3）=0
∴x1=-1.5，
x2=1.5
(2)
4x2=9
探究2
公式法
探究2
情境导入中的方程应该用什么方法呢?
如何因式分解呢?
分析∵
(-1)
×(+4)＝-4
(-1)
＋(+4)＝+3
常数项
一次项系数
x
x
-1
+4
化为一般式：
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
探究2
(1)提取公因式法
(2)公式法:
a2－b2=(a+b)
(a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
(3)十字相乘法
因式分解的主要方法:
归纳
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。
将方程的左边分解因式；
若方程的右边不是零，先移项，使方程的右边为零；
因式分解法解方程的基本步骤：
归纳
（1）x2－3x＝0;
(2)
25x2=16
解：（1）x（x-3）=0
∴
x=0或x-3=0
∴
x1=0，
x2=3
（2）移项，得
25x2-16=0
（5x+4）（5x-4）=0
∴x1=-0.8，
x2=0.8
∴
5x+4=0或5x-4=0
典题精讲
例1：解下列方程：
例2
、解下列一元二次方程：
（1）（x－5)
(3x－2)=10;
解：(1)
化简方程，得
3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，
得
x(3x－17)=0,
∴x=0
,或3x－17=0
典题精讲
例2
、解下列一元二次方程：
(2)
(3x－4)2=(4x－3)2.
(2)移项，得（3x－4)2－(4x－3)2=0.
将方程的左边分解因式，得
〔(3x－4)+(4x－3)〕〔(3x－4)－(4x－3)〕=0,
即
(7x－7)
(-x－1)=0.
∴7x－7=0,或
-x－1=0.
∴x1=1,
x2=-1
典题精讲
∴x1=x2=
∴(x
－
)2=0,
即
x2
－2
x+(
)2=0.
解:
移项，得
x2
－2
x+2=0,
典题精讲
例3
2、关于x的一元二次方程
的两个解为
，则
分解因式的结果为____________________.
1、构造一个一元二次方程,要求:
①常数项不为零;②有一个根为-3.
课堂练习
3、填空：
（1）方程x2+x=0的根是
；
（2）x2－25=0的根是
。
X1=0,
x2=-1
X1=5,
x2=-5
。
X1=4,
x2=-2
(1)5x2=4x;
(2)x2+6x-7=0
4、用分解因式法解方程:
利用十字相乘法：
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).
解方程:
解:方程两边都除以
得:
移项得:
合并同类项得:
下列解一元二次方程的方法对吗?若不对请改正。
应用提高
不正确哟！不能约分，这样会少了一个答案哟！
解:移项得:
方程左边因式分解得:
解答
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、一元二次方程的解法。
2、因式分解法解一元二次方程。
布置作业
教材31页习题第2、4题和作业本。
