2020-2021年浙教版八年级数学下册《2.4一元二次方程根与系数关系》同步训练（Word版 附答案）

2020-2021年浙教版八年级数学下册《2.4一元二次方程根与系数关系》同步训练（附答案）
1．已知一元二次方程x2﹣8x+c＝0有一个根为2，则另一个根为（　　）
A．10 B．6 C．8 D．﹣2
2．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（　　）
A．7 B．6 C．﹣2 D．0
3．设x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则x12x2+x1x22的值为（　　）
A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1
4．已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，则α4+3β的值是（　　）
A．4 B．4 C．5 D．5
5．设a，b是方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
6．设a，b是方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+4a+b的值为（　　）
A．2018 B．2020 C．2021 D．2024
7．已知a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两个根，若a、b、5为等腰三角形的边长，则n的值为（　　）
A．﹣4 B．8 C．﹣4或﹣8 D．4或﹣8
8．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（　　）
A．2020 B．﹣2021 C．﹣2019 D．2022
9．设a，b是方程?x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则?a2+b2+a+b的值是（　　）
A．0 B．2020 C．4040 D．4042
10．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于（　　）
A．2020 B．2019 C．2029 D．2028
11．已知α，β是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣αβ的值为　 　．
12．若x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣2020＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值是　 　．
13．α是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，α+β＝2，则β2﹣2β的值是　 　．
14．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为m，n，则代数式（m﹣n）2+5mn的值为　 　．
15．设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为　 　．
16．已知实数满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则+的值是　 　．
17．已知α、β为方程x2+4x+2＝0的二实根，则α3+14β+2069＝　 　．
18．已知a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根，则式子的值为　 　．
19．已知m，n是方程x2+5x+1＝0的两根，则m2﹣5n+2020＝　 　．
20．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣2020＝0的两个根，则α2+4α+β＝　 　．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若1是方程的一个根，求k的值及方程的另一个根．
22．关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设该方程两个同号的实数根为x1，x2，试问是否存在m使x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（a﹣3）x﹣a＝0．
（1）求证：无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程两根的平方和为21，求a的值．
24．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2．
（1）已知k＝2，求x1+x2+x1x2．
（2）若x1＝3x2，试求k值．
25．已知关于x 的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m 的值．
26．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣k2＝0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝14，试求出方程的两个实数根和k的值．
27．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，利用一元二次方程的求根公式x1+x2＝﹣，x1x2＝可得利用上述结论来解答下列问题：
（1）已知2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，则m+n＝　 　，mn＝　 　；
（2）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，求k的值．
参考答案
1．解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t＝8，解得t＝6，
即方程的另一个根是6．
故选：B．
2．解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2,α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7,
故选：A．
3．解：根据题意得x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣3，
所以原式＝x1x2（x1+x2）＝﹣3×（﹣3）＝9．
故选：A．
4．解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根，
∴α2﹣α﹣1＝0，α+β＝1，
∴α2＝a+1，
∴α4＝α2+2α+1，
则α4+3β＝α2+2α+1+3β＝α2﹣α﹣1+3α+3β+2＝3×1+2＝5．
故选：C．
5．解：∵a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2020，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2020﹣1＝2019．
故选：A．
6．解：∵a，b是方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a2+3a＝2021，a+b＝﹣3，
∴a2+4a+b＝（a2+3a）+（a+b）＝2021﹣3＝2018．
故选：A．
7．解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣n+1＝0的两根，
∴a+b＝6．
又∵等腰三角形边长分别为a，b，5，
∴a＝b＝3或a，b两数分别为1，5．
当a＝b＝3时，﹣n+1＝3×3，解得：n＝﹣8；
当a，b两数分别为1，5时，﹣n+1＝1×5，解得：n＝﹣4．
故选：C．
8．解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2021，
∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2021﹣（﹣1）+1＝﹣2019，
故选：C．
9．解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，
∴则?a2+b2+a+b＝（a2+a）+（b2+b）＝2021+2021＝4042．
故选：D．
10．解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2020+8＝2028．
故选：D．
11．解：∵α，β是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，
∴α2﹣3α﹣2＝0，αβ＝﹣2，
∴α2﹣3α＝2，
∴α2﹣3α﹣αβ＝（α2﹣3α）﹣αβ＝2﹣2＝0，
故答案为0．
12．解：∵x1，x2是一元二次方程x2+4x﹣2020＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣2020，
则x1+x2﹣x1x2＝﹣4﹣（﹣2020）＝2016，
故答案为2016．
13．解：设一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的另一个根是x2，
∴α+x2＝2，
∵α+β＝2，
∴方程的另一个根是β，
∴β2﹣2β﹣4＝0，
∴β2﹣2β＝4，
故答案为4．
14．解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为m，n，
∴m+n＝4，mn＝﹣3，
则原式＝m2﹣2mn+n2+5mn
＝m2+2mn+n2+mn＝（m+n）2+mn＝42﹣3＝16﹣3＝13，
故答案为：13．
15．解：由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝1，
＝4x1﹣1，
∴＝4﹣x1，
∴原式＝4﹣x1+4+x1﹣1
＝4（+）﹣1＝4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1＝4×16﹣8﹣1＝55，
故答案为：55
16．解：∵a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，
∴a、b是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝6，ab＝4，
∴+＝＝＝7．
故答案为7．
17．解：∵α、β是x2+4x+2＝0的二实根．
∴α+β＝﹣4．
α2+4α+2＝0．
α2＝﹣4α﹣2．
α3＝﹣4α2﹣2α＝﹣4（﹣4α﹣2）﹣2α＝14α+8．
∴α3+14β+2069＝14α+8+14β+2069＝14（α+β）+2077＝14×（﹣4）+2077＝﹣56+2077＝2021．
故答案为：2021．
18．解：∵a、b是方程2x2+5x+1＝0的两实数根，
∴a+b＝﹣，a?b＝，
∴a＜0，b＜0，
∴＝+＝＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
19．解：∵m为方程x2+5x+1＝0的根，
∴m2+5m+1＝0，
∴m2+5m+1＝0，
∴m2﹣5n+2020＝﹣5m﹣1﹣5n+2020
＝﹣5（m+n）+2019，
∵m，n是方程x2+5x+1＝0的两根，
∴m+n＝﹣5，
∴m2﹣5n+2020＝﹣5×（﹣5）+2019＝2044．
故答案为2044．
20．解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣2020＝0的两个根，
∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣2020＝0，
∴α2+3α＝2020，
∴α2+4α+β＝α2+3α+α+β＝2020﹣3＝2017，
故答案为：2017．
21．解：（1）根据题意得△＝22+4k＞0，
解得k＞﹣1；
（2）把x＝1代入方程可得1+2﹣k＝0，解得k＝3，
∴方程为x2+2x﹣3＝0，解得x＝1或x＝﹣3，
即方程的另一根为﹣3．
22．（1）证明：∵△＝m2﹣4×1×（m﹣2）
＝m2﹣4m+8
＝（m﹣2）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：不存在，
理由是：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣2＝0的两个同号的实数根，
∴x1+x2＝﹣m，x1?x2＝m﹣2＞0，
∴x12+x22+m（x1+x2）＝（x1+x2）2﹣2x1?x2+m（x1+x2）＝m2﹣2（m﹣2）﹣m2＝﹣2（m﹣2）＜0，
∵m2+1＞0，
∴不存在m使x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1成立．
23．（1）证明：∵△＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣a）＝a2﹣2a+9＝（a﹣1）2+8＞0，
∴无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根分别为m、n，
∴m+n＝a﹣3，mn＝﹣a，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（a﹣3）2+2a，
由题意可得（a﹣3）2+2a＝21，
解得a＝6或a＝﹣2．
24．解：（1）∵方程x2﹣4x+k﹣3＝0的两个实数根是x1、x2，k＝2，
∴x1+x2＝4，x1x2＝k﹣3＝﹣1，
∴x1+x2+x1x2＝4﹣1＝3．
（2）∵x1+x2＝4，x1＝3x2，
∴x1＝3，x2＝1，
∴k＝x1x2+3＝6．
25．解：（1）∵方程有实数根，
∴△＝25﹣4m≥0，
解得，m≤；
（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1?x2＝m，
∵3x1﹣2x2＝5，
∴3x1+3x2﹣5x2＝5，
∴﹣5x2＝﹣10，
解得，x2＝2，
把x＝2代入原方程得，m＝6．
26．解：（1）证明：∵在方程x2﹣6x﹣k2＝0中，△＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣k2）＝36+4k2≥36，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1，x2为方程x2﹣6x﹣k2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝6，
∵x1+2x2＝14，
∴x2＝8，x1＝﹣2．
将x＝8代入x2﹣6x﹣k2＝0中，得：64﹣48﹣k2＝0，
解得：k＝±4．
答：方程的两个实数根为﹣2和8，k的值为±4．
27．解：（1）∵一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0的两个根为m，n，
∴m+n＝，mn＝﹣．
故答案为：；﹣．
（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝2﹣k．
∵（x1+x2+2）（x1+x2﹣2）+2x1x2＝﹣2，即（x1+x2）2﹣4+2x1x2＝﹣2，
∴（k﹣1）2﹣4+2（2﹣k）＝﹣2，
整理，得：k2﹣4k+3＝0，
∴k＝，
∴k1＝3，k2＝1．
当k＝3时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，
∴k＝3符合题意；
当k＝1时，原方程为x2+1＝0，
∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴k＝1不符合题意，舍去．
∴k的值为3．