(共20张PPT)
5.1 矩形(2)
回顾：矩形有哪些性质？
O
A
B
C
D
(1)AB CD，AD BC
//
=
//
=
(2)∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90O
(3) OA=OB=OC=OD
（矩形的对角线相等且互相平分）
木工师傅
(1)测量两组对边,发现两组对边分别相等;
(2)将直角尺靠紧窗框的一个角,测得这是直角.
由此说明这个窗框是矩形
你知道这是为什么吗
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形定义判定：
2、要判定一个四边形是矩形只要说明几个角是直角？为什么？
A
B
C
D
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形
1、命题“矩形的四个角都是直角”的逆命题是什么？
合作学习
请大家自己进行证明
逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形。
真命题
测量两组对边,发现两组对边分别相等;
测量对角线，发现两条对角线相等.
由此说明这个窗框是矩形
你知道这是为什么吗 （用所学的知识去证明）
A
B
C
D
已知：
如图，在□ABCD中，AC=BD
求证：
□ABCD是矩形
想一想
你觉得矩形还有其它判定方法吗？
证法一
A
B
C
D
证明：
在□ABCD中，AB=CD
又∵AC=BD，BC=CB
∴⊿ABC≌⊿DCB
∴∠ABC=∠DCB
又∵∠ABC+∠DCB=180°
∴∠ABC=∠DCB=90°
∴□ABCD是矩形
已知：
如图，在□ABCD中，AC=BD
求证：
□ABCD是矩形
A
B
C
D
O
在□ABCD中，AO=OC，BO=DO，
证明：
又∵AC=BD
∴AO=BO=CO
∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB
∵∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=180°
∴∠OBA+∠OBC=90°即∠ABC=90°
∴□ABCD是矩形
证法二
已知：
如图，在□ABCD中，AC=BD
求证：
□ABCD是矩形
A
B
C
D
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形；
几何语言：
∵AC=BD
∴□ ABCD是矩形
矩形有几种判定方法？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（定义）
有三个角是直角的四边形是矩形（矩形的判定定理1）
对角线相等的平行四边形是矩形（矩形的判定定理2）
四边形
平行四边形
矩形
有一个角是直角
对角线相等
有三个角是直角
方法总结：
1、判断下命题是否正确，并说明理由。
（1）对角互补的平行四边形是矩形。
（2）一组邻角相等的平行四边形是矩形。
（3）对角线相等的四边形是矩形。
（4）内角都相等的四边形是矩形。
练一练
2、如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE=CG=BF=DH.
求证：四边形EFGH是矩形
A
B
C
D
E
F
G
H
O
证明：
在矩形ABCD中， AC=BD ，
AO=CO=BO=DO
∵AE=CG=BF=DH
∴ OE=OG=OF=OH, EG=FH
∴四边形EFGH是平行四边形
∴四边形EFGH是矩形
练一练
例1、已知：如图，AC与BD相交于点O，AB CD 且∠1=∠2 。 求证：四边形ABCD是矩形
［问题］一张四边形纸板ＡＢＣＤ形状如图，
（１）若要从这张纸板中剪出一个平行四边形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ＡＢＣＤ的四条边上，可怎样剪？
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
⑵四边形ＡＢＣＤ满足什么情况下中点四边形ＥＦＧＨ为矩形？并说明理由．
解：分别取ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，可剪得中点四边形ＥＦＧＨ为平行四边形．
两条对角线互相垂直，ＡＣ⊥ＢＤ
例2、一张四边形的纸板ABCD的形状如图（1），它的两条对角线互相垂直。如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可以怎么剪？
(
2
)
(
1
)
O
O
D
B
C
A
A
C
B
D
G
F
H
E
解：
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
理由如下：
∵ＧＨ是⊿ＡＣＤ的中位线
∴ＧＨ∥ＡＣ
１
２
３
∵ＡＣ⊥ＢＤ
∴∠１＝９０°
（三角形的中位线平行于第三边
且等于第三边的一半）
∴∠２＝∠１＝９０°
∵ＥＨ是⊿ＡＢＤ的中位线
∴ＥＨ∥ＢＤ
∴∠３＝∠２＝９０°，
４
５
（三角形的中位线平行于第三边）
同理可得：∠４＝９０°， ∠５＝９０°
∴四边形ＥＦＧＨ是矩形．
（三个角是直角的四边形是矩形）
做一做
1、已知：如图，Rt△ABC≌Rt△CDA，且AD的对应边是CB，∠B=∠D=Rt∠； 求证：四边形ABCD是矩形。
A
D
C
B
2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点； 求证：四边形MNPQ是矩形。
A
Q
P
N
M
D
C
B
做一做
3、在直角坐标系中有点A（a，b），B（a，c），C（-a，-b），D（-a，-c）（a≠0，b≠c）。若要使四边形ABCD是矩形，b，c应满足什么条件？说明你的理由。
做一做
谈谈你的收获、感受？！
下课了!(共15张PPT)
八年级数学下册
Q1:六根火柴棒所围成的平行四边形的形状是
唯一的吗
Q2:你能拼出面积最大的平行四边形吗
这时它的面积是多少
它们有什么共同特点？
其实我还是平行四边形啊!只是我比较特殊而已,大家发现了我的特殊之处吗
A D
B C
A D
B C
α
A D
B C
A D
B C
A D
B C
A D
B C
矩形：
木门
纸张
电脑显示器
有一个角是直角的平行四边形。
实质上：矩形是特殊的平行四边形。
特殊
思考：有一个角是直角的四边形是矩形吗？
矩形的性质的研究
我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质.你能说出矩形有哪些性质吗
E 。
五、矩形 两条对角线互相平分
三、矩形的两组对角分别相等
二、矩形的两组对边分别相等
一、矩形的两组对边分别平行
四、矩形的邻角互补
A
B
C
D
□
如图，四边形ABCD是矩形。
O
探索矩形特殊性质：
A
B
C
D
(1)矩形的四个角的度数分别为多少？
(2)对角线AC与BD间有什么关系？
A
B
C
D
O
定理1: 矩形的四个角都是直角
∵四边形ABCD是矩形ABCD，
∴ ∠BAD＝∠CDA =
∠BCD＝∠ABC ＝Rt∠
定理2:矩形的对角线相等且互相平分．
∵AC，BD是矩形ABCD的对角线
∴ AC＝BD,OA=OB=OC=OD.
思考：对角线AC、BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？有多少对全等三角形？
思考：对角线AC、BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？有多少对全等三角形？
例1 已知:矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点0,
∠AOD=120°, AB = 4cm,
求（1）判断△AOB的形状；
（2）矩形对角线的长.
A D
B C
O
解:∵四边形ABCD是矩形
∴AC = BD( )
∵OA= OC = AC
OB= OD = BD( )
矩形的对角线相等
∴ OA= OB
平行四边形的对角线互相平分
∵∠AOD=120°
∴∠AOB=180°－∠AOD = 60°
∴ △AOB 是等边三角形∴OA=OB=AB=4cm
∴BD=AC = 2OA=8cm.
O
OA= OC = AC
OB= OD = BD( )
A
B
C
D
O
探索矩形的对称性:
矩形是中心对称图形,又是轴对称图形
想一想
矩形是轴对称图形吗？对称轴有几条
是中心对称图形吗？
矩形的两条对角线将矩形分成四个面积相等的等腰三角形( )
试一试
2.判断题
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
( ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
C
1.在矩形ABCD中,AE⊥BD于E，
若BE=OE=1，则AC=_____,
AB＝______∠AOB=_____________.
2.在矩形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点.
求证：四边形AEFD是矩形.
练一练
O
（1）
（2）
2
4
60度
已知:如图,在矩形ABCD中,M为BC的中点.
求证:
（2）若要使∠AMD是直角，应添加什
么条件？
（1）AM=DM.
已知:如图,过矩形ABCD的顶点作CE//BD，交AB的延长线于E。 求证：∠CAE=∠CEA
A
B
C
D
E
相信你,一定行
小结 反思
1.一个定义：
2.二个定理:
3.二个结论:
(1)矩形的两条对角线被交点分成的四条线段 相等
(2)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形
这节课你学到了什么 还有什么困惑吗？
谢 谢！
下课了!
