5．3
.1正方形的判定
正方形的定义：有一组邻边相等并且
的平行四边形叫做正方形．
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
参考答案：有一个角是直角
一、正方形的概念
1．如图1所示，已知?ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠BAO＝∠DAO.
(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；
图1
(2)请添加一个条件使菱形ABCD为正方形．
解：(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵∠BAO＝∠DAO，∴∠BAO＝∠BCA，
∴AB＝CB，∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)添加∠ABC＝90°或AC＝BD等，
∵∠ABC＝90°，∴菱形ABCD为正方形．
二、正方形的判定
2．学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．上述四名同学的说法中，正确的是( D )
A．甲、乙
B．甲、丙
C．乙、丙、丁
D．甲、乙、丙、丁
3．如图2，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF.若使四边形ADCF是正方形，则应在△ABC中再添加一个条件为__∠ACB＝90°__．
图2
【解析】
∵E是AC中点，∴AE＝EC，
∵DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝BC，∴DF＝BC，
∵CA＝CB，∴AC＝DF，∴四边形ADCF是矩形．
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE∥BC，
∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°，∴矩形ADCF是正方形．
4.如图3，?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.
图3
(1)求证：?ABCD是矩形；
(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)AB＝AD(或AC⊥BD答案不唯一)．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形．
或∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形．
5．如图4，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED.
求证：四边形ABCD是正方形．
图4
第5题答图
证明：连结AC交BD于点O，如答图，
∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，
∵∠AED＝∠CED，∴∠AEO＝∠CEO，
∴△AEC为等腰三角形，∴OE⊥AC，
即AC⊥BD，∴AC和BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD为菱形，
而∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形．
1．下列说法正确的是( C )
A．有一个角是直角的四边形是正方形
B．有一组邻边相等的四边形是正方形
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．四条边都相等的四边形是正方形
2．小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( B )
A．1次
B．2次
C．3次
D．4次
【解析】
小红把原丝巾对折1次(共2层)，如果原丝巾对折后完全重合，即表明它是矩形；沿对角线对折1次，若两个三角形重合，表明一组邻边相等，即表明它是正方形，即最少对折两次．故选B.
3．在?ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下列给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__．
【解析】
①有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的矩形是正方形，即①正确；②BD为平行四边形的对角线，AB为平行四边形的其中一条边，所以AB＝BD时，平行四边形不可能是正方形，即②错误；③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，即③正确；④邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，即④正确．
4．如图5－3－1所示，已知?ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠BAO＝∠DAO.
(1)求证：?ABCD是菱形；
(2)请添加一个条件使菱形ABCD为正方形．
图5－3－1
解：(1)证明：在?ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
又∵∠BAO＝∠DAO，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝CB，∴?ABCD是菱形；
(2)答案不唯一，如添加∠ABC＝90°或AC＝BD等．
5.如图5－3－2，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．
图5－3－2
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，
又∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
6．已知：如图5－3－3，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
图5－3－3
证明：(1)在△ADE与△CDE中，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，
∵AD＝CD，∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形；
(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，
∴∠CBE＝180°×＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
7．如图5－3－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE.
(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由；
(2)在(1)的条件下，当∠A＝__45°__时四边形BECD是正方形．
图5－3－4
解：(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是菱形．
理由：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD.∵D为AB中点，
∴AD＝BD，∴BD＝CE，
∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，
∵DE⊥BC∴四边形BECD是菱形；
(2)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABC＝45°，
∵四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
1.
下列命题错误的是（
）
A．
有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形
B．
有一组邻边相等的矩形是正方形
C．
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
D．
有一个角是直角的菱形是正方形
2.
已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是（
）
A．
∠D=90°
B．
AB=CD
C．
AD=BC
D．
BC=CD
3.
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（
）
A.
BC=AC
B.
CF⊥BF
C.
BD=DF
D.
AC=BF
4.
顺次连结四边形ABCD各边中点所组成的四边形是正方形，则四边形ABCD的对角线（
）
A．
互相垂直但不相等
B．
相等且互相垂直
C．
相等但不互相垂直
D．
互相平分
5.
如图是甲，乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（
）
A．
甲、乙都可以
B．
甲、乙都不可以
C．
甲不可以，乙可以
D．
甲可以，乙不可以
6．
黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是
.
7.
如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是
.
8.
矩形各内角的平分线所构成的四边形是
形．
9.
在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件.
下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD，其中正确的序号是
.
10.
如图所示，在Rt△ABC中，CF为∠ACB的平分线，FD⊥AC于D，FE⊥BC于点E，试说明四边形CDFE是正方形.
11.如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED.
点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F.
求证：四边形ABCD是正方形.
答案：
1—5.
ADDBA
6.
正方形
7.
有一组邻边相等的矩形是正方形
8.
正方
9.
①③④
10.
∵∠FEC=∠ECD=∠CDF=90°，∴四边形ECDF是矩形.
∵CF平分∠ACB，FD⊥AC，FE⊥BC，∴EF=DF，∴四边形ECDF是正方形.
11.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠BCD=90°.
∵∠BAE=∠BCE，∴∠BAD-∠BAE=∠BCD-∠BCE，即∠EAD=∠ECD.
∵∠AED=∠CED，ED=ED，∴△AED≌△CED.
∴AD=CD.
∴矩形ABCD是正方形.5．3
.1正方形的判定
正方形的定义：有一组邻边相等并且
的平行四边形叫做正方形．
正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
一、正方形的概念
1．如图1所示，已知?ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠BAO＝∠DAO.
(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；
图1
(2)请添加一个条件使菱形ABCD为正方形．
二、正方形的判定
2．学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．上述四名同学的说法中，正确的是( )
A．甲、乙
B．甲、丙
C．乙、丙、丁
D．甲、乙、丙、丁
3．如图2，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF.若使四边形ADCF是正方形，则应在△ABC中再添加一个条件为____．
图2
4.如图3，?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.
图3
(1)求证：?ABCD是矩形；
(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形并说明理由．
5．如图4，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED.
求证：四边形ABCD是正方形．
图4
第5题答图
1．下列说法正确的是( )
A．有一个角是直角的四边形是正方形
B．有一组邻边相等的四边形是正方形
C．有一组邻边相等的矩形是正方形
D．四条边都相等的四边形是正方形
2．小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( )
A．1次
B．2次
C．3次
D．4次
3．在?ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下列给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是____．
4．如图5－3－1所示，已知?ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠BAO＝∠DAO.
(1)求证：?ABCD是菱形；
(2)请添加一个条件使菱形ABCD为正方形．
图5－3－1
5.如图5－3－2，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．
图5－3－2
6．已知：如图5－3－3，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
图5－3－3
7．如图5－3－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE.
(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由；
(2)在(1)的条件下，当∠A＝____时四边形BECD是正方形．
图5－3－4
1.
下列命题错误的是（
）
A．
有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形
B．
有一组邻边相等的矩形是正方形
C．
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
D．
有一个角是直角的菱形是正方形
2.
已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是（
）
A．
∠D=90°
B．
AB=CD
C．
AD=BC
D．
BC=CD
3.
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（
）
A.
BC=AC
B.
CF⊥BF
C.
BD=DF
D.
AC=BF
4.
顺次连结四边形ABCD各边中点所组成的四边形是正方形，则四边形ABCD的对角线（
）
A．
互相垂直但不相等
B．
相等且互相垂直
C．
相等但不互相垂直
D．
互相平分
5.
如图是甲，乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（
）
A．
甲、乙都可以
B．
甲、乙都不可以
C．
甲不可以，乙可以
D．
甲可以，乙不可以
6．
黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是
.
7.
如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是
.
8.
矩形各内角的平分线所构成的四边形是
形．
9.
在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件.
下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD，其中正确的序号是
.
10.
如图所示，在Rt△ABC中，CF为∠ACB的平分线，FD⊥AC于D，FE⊥BC于点E，试说明四边形CDFE是正方形.
11.如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED.
点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F.
求证：四边形ABCD是正方形.
