5.3.2正方形的性质
正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是_____；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有
条对称轴．
一、正方形的性质
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等
2．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( )
图1
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
3．如图2，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连结EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC.其中正确结论的序号是( )
A．①②④
B．②④
C．①②③
D．①③④
图2
4．如图3，在正方形ABCD中，E是CD边上的点，过点E作EF⊥BD于F，若EF＝EC，则∠BCF的度数为____．
图3
5．如图4，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.
图4
二、正方形的性质与判定的综合
6．已知：如图5，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF.
图5
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等
2．如图5－3－6所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠EBC的度数是( )
A．45°
B．30°
C．22.5°
D．20°
图5－3－6
3．如图5－3－7，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB＝3，则AE＝____．
图5－3－7
4．如图5－3－8，直线l过正方形ABCD的顶点D且与BC交于点G，过A，C分别作直线l的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝4a，CF＝a，则正方形ABCD的面积为____．
图5－3－8
5．如图5－3－9，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF，求证：△ABE≌△BCF.
图5－3－9
6．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．如图5－3－10是一个七巧板迷宫，它恰好拼成了一个正方形ABCD，其中点E，P分别是AD，CD的中点，AB＝2，一只蚂蚁从A处沿图中实线爬行到出口P处，则它爬行的最短路径长为( )
A．3
B．2＋
C．4
D．3
图5－3－10
7．如图5－3－11，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则PA＋PE的最小值是____．
图5－3－11
8．如图5－3－12，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连结MN.
(1)求证：OM＝ON；
(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
图5－3－12
1．
如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（
）
A．
14
B．
15
C．
16
D．
17
2．
矩形、菱形、正方形都具有的性质是（
）
A．
对角线相等
B．
对角线互相平分
C．
对角线平分一组对角
D．
对角线互相垂直
3．
已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC和CD边上的中点，则△AEF的面积为（
）
A．
2.5
B．
1.5
C．
2
D．
4.
如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（
）
A．
45°
B．
60°
C．
70°
D．
75°
5.
如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（
）
A.
8
B.
8
C.
2
D.
10
6.
边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图中阴影部分），则这个风筝的面积是（
）
A.
2-
B.
C.
2-
D.
2
7.
已知：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED=
．
8．
如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.
若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为
m.
9.
如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F、DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为
.
10.
（广安中考）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．
11.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.
（1）求证：AE＝CF；
（2）连结DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连结EG，GF，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由.
参考答案
1—5.
CBBCD
6.
A
7.
45°
8.
4600
9.
13
10.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠CBE=90°，∵BF⊥CE，∴∠BCE+∠CBG=90°，∵∠ABF+∠CBG=90°，∴∠BCE=∠ABF，在△BCE和△ABF中，∠BCE=∠ABF，BC=AB，∠CBE=∠A，∴△BCE≌△ABF（ASA），
∴BE=AF．
11.
（1）在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°，在△ADE和△CDF中，∠ADE=∠CDF，AD=CD，∠A=∠C=90°，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF；
（2）四边形DEGF是菱形.
理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，∵AE=CF，∴AB-AE=BC-CF，即BE=BF，∵△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴BD垂直平分EF，又∵OG=OD，∴四边形DEGF是菱形.5.3.2正方形的性质
正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是_____；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有
条对称轴．
参考答案：
直角
四
一、正方形的性质
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( A )
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等
2．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( C )
图1
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
【解析】
∵在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OD＝OC＝OB，∴△ABC，△BCD，△ADC，△ABD，△AOB，△BOC，△COD，△AOD都是等腰三角形，共8个．故选C.
3．如图2，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连结EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC.其中正确结论的序号是( D )
A．①②④
B．②④
C．①②③
D．①③④
图2
第3题答图
【解析】
连结PC，如答图所示，
在正方形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝45°，AB＝CB，
∵在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴AP＝PC，∠BAP＝∠BCP，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形PECF是矩形，
∴PC＝EF，∠BCP＝∠PFE，
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①③正确；
∵PF⊥CD，∠BDC＝45°，∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PD＝PF，
∵矩形的对边PF＝EC，∴PD＝EC，故④正确；
只有点P为BD的中点或PD＝AD时，△APD是等腰三角形，故②错误．
综上所述，正确的结论有①③④.
4．如图3，在正方形ABCD中，E是CD边上的点，过点E作EF⊥BD于F，若EF＝EC，则∠BCF的度数为__67.5°__．
图3
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝∠CBD＝45°，
∵EF⊥BD，∴△DFE是等腰直角三角形，
∴DF＝EF，∠FED＝45°，
∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠FED＝∠EFC＋∠ECF，∴∠ECF＝22.5°，
∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＝67.5°.
5．如图4，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.
图4
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠AFB＋∠ABF＝90°.
∵BF⊥CE，
∴∠BEC＋∠ABF＝90°，
∴∠AFB＝∠BEC(等角的余角相等)．
在△AFB和△BEC中，
∴△AFB≌△BEC(AAS)，∴AF＝BE.
二、正方形的性质与判定的综合
6．已知：如图5，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF.
图5
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，
∴∠BAD＋∠ABC＝180°，
∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，
∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，
∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，
∵DH⊥CE，垂足为H，
∴∠DHE＝90°，∠EDH＋∠DEH＝90°，
∵∠ECO＋∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，
在△ECO和△FDO中，
∴△ECO≌△FDO(ASA)，∴OE＝OF.
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( A )
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等
2．如图5－3－6所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠EBC的度数是( C )
A．45°
B．30°
C．22.5°
D．20°
【解析】
在正方形ABCD中，∠BAC＝45°，
∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝22.5°.
图5－3－6
3．如图5－3－7，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB＝3，则AE＝__3__．
图5－3－7
【解析】
∵AC是正方形ABCD的对角线，AB＝3，
∴AC＝3，
∵∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，
∴∠DCE＝∠ECA，∵DC∥EB，
∴∠E＝∠DCE，∴∠E＝∠ECA，
∴AE＝AC＝3.
4．[2018·嘉兴一模]如图5－3－8，直线l过正方形ABCD的顶点D且与BC交于点G，过A，C分别作直线l的垂线，垂足分别为E，F.若AE＝4a，CF＝a，则正方形ABCD的面积为__17a2__．
图5－3－8
【解析】
在Rt△CDF中，CF⊥DG，∴∠CDF＋∠DCF＝90°，∵∠CDF＋∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，∵AE⊥DG，
∴∠AED＝∠DFC＝90°.
∵AD＝CD，∴△AED≌△DFC，∴DE＝CF＝a.
在Rt△AED中，AD2＝17a2，即正方形的面积为17a2.
5．如图5－3－9，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF，求证：△ABE≌△BCF.
图5－3－9
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF.
6．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．如图5－3－10是一个七巧板迷宫，它恰好拼成了一个正方形ABCD，其中点E，P分别是AD，CD的中点，AB＝2，一只蚂蚁从A处沿图中实线爬行到出口P处，则它爬行的最短路径长为( B )
A．3
B．2＋
C．4
D．3
图5－3－10
【解析】
∵正方形ABCD中，E，P分别是AD，CD的中点，
AB＝2，
∴AE＝DE＝DP＝，∠D＝90°，
∴EP＝
＝＝2，
∴蚂蚁从点A处沿图中实线爬行到出口点P处，它爬行的最短路程为AE＋EP＝＋2.
7．如图5－3－11，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则PA＋PE的最小值是____．
图5－3－11
第7题答图
【解析】
如答图，作出点E关于BD的对称点E′，E′在边BC上，连结AE′与BD交于点P，此时AP＋PE最小，
∵PE＝PE′，
∴AP＋PE＝AP＋PE′＝AE′，
在Rt△ABE′中，AB＝3，BE′＝BE＝1，
根据勾股定理，得AE′＝，
则PA＋PE的最小值是.
8．如图5－3－12，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连结MN.
(1)求证：OM＝ON；
(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
图5－3－12
第8题答图
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°，
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△OAM≌△OBN(ASA)，
∴OM＝ON；
(2)如答图，过点O作OH⊥AD于点H，
∵正方形的边长为4，
∴OH＝HA＝2，
∵E为OM的中点，∴HM＝4，
则OM＝＝2，
∴MN＝OM＝2.
1．
如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（
）
A．
14
B．
15
C．
16
D．
17
2．
矩形、菱形、正方形都具有的性质是（
）
A．
对角线相等
B．
对角线互相平分
C．
对角线平分一组对角
D．
对角线互相垂直
3．
已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC和CD边上的中点，则△AEF的面积为（
）
A．
2.5
B．
1.5
C．
2
D．
4.
如图，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，那么∠BEC等于（
）
A．
45°
B．
60°
C．
70°
D．
75°
5.
如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（
）
A.
8
B.
8
C.
2
D.
10
6.
边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图中阴影部分），则这个风筝的面积是（
）
A.
2-
B.
C.
2-
D.
2
7.
（黄冈中考）已知：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED=
．
8．
（绍兴中考）如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.
若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为
m.
9.
如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F、DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为
.
10.
（广安中考）如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．
11.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.
（1）求证：AE＝CF；
（2）连结DB交EF于点O，延长OB至点G，使OG＝OD，连结EG，GF，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由.
参考答案
1—5.
CBBCD
6.
A
7.
45°
8.
4600
9.
13
10.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠CBE=90°，∵BF⊥CE，∴∠BCE+∠CBG=90°，∵∠ABF+∠CBG=90°，∴∠BCE=∠ABF，在△BCE和△ABF中，∠BCE=∠ABF，BC=AB，∠CBE=∠A，∴△BCE≌△ABF（ASA），
∴BE=AF．
11.
（1）在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°，在△ADE和△CDF中，∠ADE=∠CDF，AD=CD，∠A=∠C=90°，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF；
（2）四边形DEGF是菱形.
理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，∵AE=CF，∴AB-AE=BC-CF，即BE=BF，∵△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∴BD垂直平分EF，又∵OG=OD，∴四边形DEGF是菱形.
