5．2
菱形（一）
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形+一组邻边相等=菱形）
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）
一、菱形的概念
1．如图1，要使平行四边形ABCD成为菱形时，需添加的一个条件是( )
图1
A．AC＝AD
B．AB＝BC
C．∠ABC＝90°
D．AC＝BD
2．如图2，AC是平行四边形ABCD的对角线，当它满足以下：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠B＝∠3；④∠1＝∠3中某一条件时，平行四边形ABCD是菱形，这个条件可以是( )
图2
A．①或②
B．②或③
C．③或④
D．①或④
二、菱形的四条边都相等
3．如图3，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是____．
图3
4．如图4，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB
于点
E，作DF⊥BC
于点F，连结EF.
求证：(1)△ADE≌△CDF；
(2)∠BEF＝∠BFE.
图4
三、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
5．下列性质中菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
6．如图5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(
)
图5
A．AB∥DC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
7．如图6，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连结OB，OD，求证：OB＝OD.
图6
四、菱形的面积
8．如图7，在菱形ABCD中，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积是____．
图7
1.菱形不具备的性质是( )
A．四条边都相等
B．对角线一定相等
C．是轴对称图形
D．是中心对称图形
2．如图5－2－1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB∥DC
B．∠DAO＝∠DCO
C．AC⊥BD
D．OA＝OD
图5－2－1
3．如图5－2－2，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )
图5－2－2
A．20
B．24
C．40
D．48
4．如图5－2－3，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为( )
A．24
B．18
C．12
D．9
图5－2－3
5．如图5－2－4，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为____．
图5－2－4
6．如图5－2－5，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，其周长为24
cm，则该菱形面积为____cm2.
图5－2－5
7．如图5－2－6，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2，AC＝2.
(1)求菱形ABCD的周长；
(2)求BD的长；
(3)求菱形ABCD的面积．
图5－2－6
8．如图5－2－7，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.
图5－2－7
9．如图5－2－8，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是( )
A.
B．1
C.
D．2
图5－2－8
第9题答图
10．如图5－2－9，已知四边形ABCD是菱形，DF⊥AB于点F，BE⊥CD于点E.
(1)求证：AF＝CE；
(2)若DE＝2，BE＝4，求菱形的边长．
图5－2－9
11．如图5－2－10，点A，B，C，D依次在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，已知BE∥CF，∠A＝∠D，AE＝DF.
(1)求证：四边形BFCE是平行四边形；
(2)若AD＝10，EC＝3，∠EBD＝60°，当四边形BFCE是菱形时，求AB的长．
图5－2－10
12．如图5－2－11，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连结
CE，OE，连结AE交OD于点F.
(1)求证：OE＝CD；
(2)若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．
图5－2－11
1.
如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是(
)
A.
B．2
C．6
D．12
2．菱形的两条对角线分别是12和16，则此菱形的边长是(
)
A．10
B．8
C．6
D．5
3.
如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于(
)
A．50°
B．60°C．70°
D．80°
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为(
)
A．1
B.
C．2
D.
5．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P，P′分别是
EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为(
)
A．28
B．24
C．32
D．32－8
6．如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于E点，则下列式子不成立的是（
）
A．DA=DE
B．DB=CE
C．∠EAC=90°
D．∠ABC=2∠E
7.
如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=（BC﹣AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（
）．
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
9．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（
）
A．8cm和4cm
B．4cm和8cm
C．8cm和8cm
D．
4cm和4cm
10．四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，AB=5cm，AO=4cm，则两条对角线AC,
BD分别是（
）.
A.
8cm,
6cm
B．6cm,
8cm
C．4cm,
3cm
D.
3cm,
4cm
11
.如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形，求证：BE＝CE.
12．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.求证：OE＝BC.5．2
菱形（一）
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形+一组邻边相等=菱形）
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）
一、菱形的概念
1．如图1，要使平行四边形ABCD成为菱形时，需添加的一个条件是( B )
图1
A．AC＝AD
B．AB＝BC
C．∠ABC＝90°
D．AC＝BD
2．如图2，AC是平行四边形ABCD的对角线，当它满足以下：①∠1＝∠2；②∠2＝∠3；③∠B＝∠3；④∠1＝∠3中某一条件时，平行四边形ABCD是菱形，这个条件可以是( D )
图2
A．①或②
B．②或③
C．③或④
D．①或④
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，故①④能判定．②和③不能判定，故选D.
二、菱形的四条边都相等
3．如图3，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是__16__．
图3
【解析】
∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2×2＝4，∴菱形ABCD的周长＝4BC＝4×4＝16.
4．如图4，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB
于点
E，作DF⊥BC
于点F，连结EF.
求证：(1)△ADE≌△CDF；
(2)∠BEF＝∠BFE.
图4
证明：(1)∵四边形
ABCD
是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥CB，∴∠AED＝∠CFD＝90°，
∴△ADE≌△CDF；
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，
∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF，
∴AB－AE＝CB－CF，∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE.
三、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
5．下列性质中菱形不一定具有的性质是( C )
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
6．如图5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( B )
图5
A．AB∥DC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
7．如图6，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连结OB，OD，求证：OB＝OD.
图6
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠CAB＝∠CAD，
在△ABO和△ADO中，
∴△ABO≌△ADO，∴OB＝OD.
四、菱形的面积
8．如图7，在菱形ABCD中，若AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的面积是__24__．
图7
【解析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，由AC＝8，BD＝6，则S＝24.
1.菱形不具备的性质是( B )
A．四条边都相等
B．对角线一定相等
C．是轴对称图形
D．是中心对称图形
【解析】
菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选B.
2．如图5－2－1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法错误的是( D )
A．AB∥DC
B．∠DAO＝∠DCO
C．AC⊥BD
D．OA＝OD
图5－2－1
3．如图5－2－2，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( A )
图5－2－2
A．20
B．24
C．40
D．48
【解析】
设菱形的对角线交于O，则BO＝4，CO＝3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得BC＝＝＝5，
所以菱形的周长为5×4＝20，故选A.
4．如图5－2－3，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为( A )
A．24
B．18
C．12
D．9
【解析】
∵E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，EF＝3，
∴EF是△ABC的中位线，BC＝2EF＝6.
∵四边形ABCD是菱形，∴其周长为＝6×4＝24.
图5－2－3
5．如图5－2－4，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为____．
图5－2－4
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4.
在Rt△ABO中，AB＝5，∴BC＝5.
S△ABC＝AC·BO＝BC·AE，
解得AE＝.
6．如图5－2－5，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，其周长为24
cm，则该菱形面积为__18__cm2.
图5－2－5
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，
又∵菱形的周长为24
cm，
∴BD＝AD＝6
cm，
在Rt△AOD中，OD＝3
cm，
∴AO＝＝＝3，
∴AC＝2AO＝6，
∴S＝AC·BD＝×6×6＝18.
7．如图5－2－6，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2，AC＝2.
(1)求菱形ABCD的周长；
(2)求BD的长；
(3)求菱形ABCD的面积．
图5－2－6
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，
∴菱形ABCD的周长为8；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝1，OB＝OD，
且∠AOB＝90°.
在Rt△AOB中，∴OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2；
(3)S菱形ABCD＝×AC×BD＝×2×2＝2.
8．如图5－2－7，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE＝AF.求证：∠ABF＝∠CBE.
图5－2－7
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝CB.
在△AFB和△CEB中，
∴△AFB≌△CEB，∴∠ABF＝∠CBE.
9．如图5－2－8，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是( B )
A.
B．1
C.
D．2
图5－2－8
第9题答图
【解析】
如答图，取AD的中点M′，连结NM′交AC于点P，则由菱形的轴对称性可知M，M′关于直线AC对称，从而PM′＝PM，此时MP＋PN的值最小，而易知四边形CDM′N是平行四边形，故NM′＝CD＝1，于是MP＋PN的最小值是1.
10．如图5－2－9，已知四边形ABCD是菱形，DF⊥AB于点F，BE⊥CD于点E.
(1)求证：AF＝CE；
(2)若DE＝2，BE＝4，求菱形的边长．
图5－2－9
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C.
又∵DF⊥AB，BE⊥CD，
∴∠AFD＝∠CEB＝90°，
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE，∴AF＝CE；
(2)设BC＝x，则CE＝x－2，在Rt△BCE中，
BE2＋CE2＝BC2，即42＋(x－2)2＝x2，
解得x＝5，即菱形的边长为5.
11．如图5－2－10，点A，B，C，D依次在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，已知BE∥CF，∠A＝∠D，AE＝DF.
(1)求证：四边形BFCE是平行四边形；
(2)若AD＝10，EC＝3，∠EBD＝60°，当四边形BFCE是菱形时，求AB的长．
图5－2－10
解：(1)证明：∵BE∥CF，
∴∠EBC＝∠FCB，
∴∠EBA＝∠FCD，
∵∠A＝∠D，AE＝DF，
∴△ABE≌△DCF(AAS)，
∴BE＝CF，AB＝CD，
∴四边形BFCE是平行四边形；
(2)∵四边形BFCE是菱形，∠EBD＝60°，
∴△CBE是等边三角形，∴BC＝EC＝3，
∵AD＝10，AB＝DC，
∴AB＝×(10－3)＝.
12．如图5－2－11，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连结
CE，OE，连结AE交OD于点F.
(1)求证：OE＝CD；
(2)若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．
图5－2－11
解：(1)证明：∵DE∥AC，
DE＝OC.
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD；
(2)∵菱形ABCD的边长为6，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，BD⊥AC，AO＝CO＝AC.∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，
∵在△AOD中，BD⊥AC，AD＝6，AO＝3，
∴OD＝＝3，
∵四边形OCED是矩形，∴CE＝OD＝3，
∵在Rt△ACE中，AC＝6，CE＝3，
∴AE＝＝＝3.
1.
如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是(
)
A.
B．2
C．6
D．12
2．菱形的两条对角线分别是12和16，则此菱形的边长是(
)
A．10
B．8
C．6
D．5
3.
如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，则∠CDF等于(
)
A．50°
B．60°C．70°
D．80°
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值为(
)
A．1
B.
C．2
D.
5．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P，P′分别是
EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为(
)
A．28
B．24
C．32
D．32－8
6．如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于E点，则下列式子不成立的是（
）
A．DA=DE
B．DB=CE
C．∠EAC=90°
D．∠ABC=2∠E
7.
如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=（BC﹣AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（
）．
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
9．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（
）
A．8cm和4cm
B．4cm和8cm
C．8cm和8cm
D．
4cm和4cm
10．四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，AB=5cm，AO=4cm，则两条对角线AC,
BD分别是（
）.
A.
8cm,
6cm
B．6cm,
8cm
C．4cm,
3cm
D.
3cm,
4cm
11.
如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形，求证：BE＝CE.
12．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.求证：OE＝BC.
参考答案
1-5
CABBA
6-10
BCDCA
11.
解：∵四边形ADEF是菱形，∴DE＝EF，AB∥EF，DE∥AC.∴∠A＝∠BDE，∠A＝∠CFE.∴∠BDE＝∠CFE.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△DBE和△FCE中，∴△DBE≌△FCE.∴BE＝CE
12.
解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD，∴四边形OCED是矩形，∴OE＝CD，∴OE＝BC
