5．1
矩形（二）
1．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相_____且_____的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
一、有三个角是直角的四边形是矩形
1．对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有( )
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
2．如图1，已知：点D是△ABC边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.
(1)若∠B＝∠C，BF＝CE，求证：△BFD≌△CED；
(2)若∠B＋∠C＝90°，求证：四边形AEDF是矩形．
图1
二、对角线相等的平行四边形是矩形
3．下列说法正确的是( )
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
4．已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．AB∥CD，AC∥BD，AD＝BC
5．如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO为斜边AC上的中线，延长BO至点D，使OD＝OB，连结AD，CD，补全图形，并证明四边形ABCD是矩形．
图2
6．如图3，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4
cm.
(1)求证：?ABCD是矩形；
(2)求?ABCD的面积．
图3
1．下列说法不正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
3．四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AC＝BD
C．AB＝BC
D．AC⊥BD
4．如图5－1－11，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB＝BE
B．BE⊥DC
C．∠ADB＝90°
D．CE⊥DE
图5－1－11
5．如图5－1－12，在?ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE，求证：
图5－1－12
(1)△ABF≌△DCE；
(2)四边形ABCD是矩形．
6．如图5－1－13，已知?ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4
cm.
(1)求证：?ABCD是矩形；
(2)求?ABCD的面积．
图5－1－13
7．如图5－1－14，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE＝OF.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若BD＝EF，连结DE，BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
图5－1－14
8．已知：如图5－1－15，在?ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，BF平分∠CBD，交CD于F.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)当AD与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
图5－1－15
9．如图5－1－16，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.
(1)求证：△PHC≌△CFP；
(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们之间面积的关系．
图5－1－16
10．如图5－1－17①，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F.
① ②
图5－1－17
(1)求证：OE＝OF；
(2)如图②，连结DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．
1、如图，AC，BD是□ABCD的两条对角线，要使□ABCD成为矩形，不能添加的条件是(
)
A．AC=BD
B．BC⊥DC
C．∠1+∠3＝∠90°
D．∠1＝∠2
2、要判断一个四边形门框是否为矩形，下面给出4个测量的方案，其中正确的是(
)
A．测量对角线是否相互平分
B．测量对角线是否相等
C．测量对角线是否垂直
D．任选三个内角测量其是否都为直角
3、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF//BC，分别交AB，CD于
E、F，连接PB.若△PEB
的面积为S1，△APF的面积为S2，则S1与S2的大小关系为(
)
A．S1>S2
B．S1C．S1=S2
D．无法确定
4、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.有如下的结论：①∠ECB+∠FCD=90°；②EO=FO；③CO=EF；④AC⊥MN；⑤当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形.其中结论正确的个数为(
)个.
A．5
B．4
C．3
D．2
5、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8cm，BD=12cm，则四边形EFGH的面积是
cm2．
6、如图，在△ABO中，AB=OB，将△ABO绕点O顺时针旋转180°得到△CDO，连结AD，BC.当∠AOB为____度时，四边形ABCD为矩形．
7、如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线交AB于D，交AC于点E，若四边DBEF
是平行四边形，连结AF.求证：四边形ADEF是矩形．
8、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，DG⊥AC于点G，OF=2cm，求矩形ABCD的面积．5．1
矩形（二）
1．矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相_____且_____的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
参考答案：平分
相等
一、有三个角是直角的四边形是矩形
1．对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有( B )
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
【解析】
①∠A＝∠B＝∠C＝∠D能得到四个角都是直角，故①正确；②由∠B＝∠C＝∠D不可以得到矩形，故②错误；③邻角相等并不能得到四个角是直角，故③错误；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确，∴正确的有2组．
2．如图1，已知：点D是△ABC边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.
(1)若∠B＝∠C，BF＝CE，求证：△BFD≌△CED；
(2)若∠B＋∠C＝90°，求证：四边形AEDF是矩形．
图1
证明：(1)∵点D是△ABC边BC上的中点，∴BD＝CD.
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，
∴∠BFD＝∠DEC＝90°.
∵BD＝CD，∠BFD＝∠DEC，BF＝CE，
∴△BFD≌△CED(SAS)；
(2)∵∠B＋∠C＝90°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝90°.
∵∠BFD＝∠DEC＝90°，
∴∠A＝∠BFD＝∠DEC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
二、对角线相等的平行四边形是矩形
3．下列说法正确的是( D )
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
4．已知O为四边形ABCD对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD成为矩形的是( D )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．AB∥CD，AC∥BD，AD＝BC
5．如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO为斜边AC上的中线，延长BO至点D，使OD＝OB，连结AD，CD，补全图形，并证明四边形ABCD是矩形．
图2
第5题答图
解：如答图，∵Rt△ABC中，BO为斜边的中线，
∴AO＝CO＝BO，
∵BO＝OD，∴AO＝CO＝BO＝DO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC＝DB，∴四边形ABCD为矩形．
6．如图3，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4
cm.
(1)求证：?ABCD是矩形；
(2)求?ABCD的面积．
图3
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，
∴?ABCD是矩形；
(2)在Rt△ABC中，AB＝4
cm，∠CAB＝60°，
∴AC＝8
cm，∴BC＝＝4(cm)，
∴S?ABCD＝4×4＝16(cm2)．
1．下列说法不正确的是( C )
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( B )
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
【解析】
∵∠A＝∠B，AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，故A选项能判断；∵∠A＝∠C是一组对角相等，任意平行四边形都具有的性质，故B选项不能判断；
∵对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项能判断，∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，故D选项能判断．
3．四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是( B )
A．AB＝CD
B．AC＝BD
C．AB＝BC
D．AC⊥BD
【解析】
可以添加的条件是AC＝BD.理由如下：
∵四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
4．如图5－1－11，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( B )
A．AB＝BE
B．BE⊥DC
C．∠ADB＝90°
D．CE⊥DE
图5－1－11
【解析】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD綊BC，∵DE＝AD，∴DE綊BC，
∴四边形DBCE为平行四边形．
A．若AB＝BE，又∵AB＝CD，∴CD＝BE，
∴四边形DBCE为矩形，故此选项正确；
C．若∠ADB＝90°，∴∠EDB＝90°，
∴四边形DBCE为矩形，故此选项正确；
D．若CE⊥DE，∴∠DEC＝90°，
∴四边形DBCE为矩形，故此选项正确．故选B.
5．如图5－1－12，在?ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE，求证：
图5－1－12
(1)△ABF≌△DCE；
(2)四边形ABCD是矩形．
证明：(1)∵BE＝CF，BF＝BE＋EF，CE＝CF＋EF，
∴BF＝CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE(SSS)；
(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠B＋∠C＝180°.∴∠B＝∠C＝90°.
∴四边形ABCD是矩形．
6．如图5－1－13，已知?ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOB是等边三角形，AB＝4
cm.
(1)求证：?ABCD是矩形；
(2)求?ABCD的面积．
图5－1－13
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴?ABCD是矩形；
(2)∵AB＝4，在Rt△ABC中，由题意可知，AC＝8，则BC＝4，
∴S?ABCD＝4×4＝16(cm2)．
7．如图5－1－14，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE＝OF.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若BD＝EF，连结DE，BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．
图5－1－14
第7题答图
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF；
(2)四边形EBFD是矩形．
理由：如答图，连结DE，BF，
∵OB＝OD，OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵BD＝EF，
∴平行四边形BEDF是矩形．
8．已知：如图5－1－15，在?ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，BF平分∠CBD，交CD于F.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)当AD与BD满足什么关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
图5－1－15
解：(1)证明：∵AD＝BC，∠A＝∠C，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE与△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(ASA)；
(2)当AD＝BD时，四边形DEBF是矩形．理由：
∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，
∵∠EDB＝∠DBF，∴DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE平分∠ADB，AD＝BD，
∴DE⊥BE，∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DEBF是矩形．
9．如图5－1－16，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.
(1)求证：△PHC≌△CFP；
(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们之间面积的关系．
图5－1－16
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形．
∴DC∥AB，AD∥BC，
又∵EF∥AB，AD∥GH，
∴EF∥CD，BC∥GH，
∴∠CPF＝∠HCP，∠CPH＝∠PCF，
在△PHC和△CFP中，
∴△PHC≌△CFP(ASA)；
(2)证明：由(1)知AB∥EF∥CD，AD∥GH∥BC，
∴四边形PEDH和四边形PFBG都是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°.
∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．
面积关系：S四边形PEDH＝S四边形PFBG(提示：△PHC≌△CFP，△AEP≌PGA，△DAC≌△BCA)．
10．如图5－1－17①，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F.
① ②
图5－1－17
(1)求证：OE＝OF；
(2)如图②，连结DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于BD的所有的等腰三角形．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，OB＝OD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF；
(2)∵OE＝OF，OB＝OD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，
∴四边形DEBF是矩形，∴BD＝EF，
∴OD＝OB＝OE＝OF＝BD，
∴腰长等于BD的所有的等腰三角形为△DOF，△FOB，△EOB，△
1、如图，AC，BD是□ABCD的两条对角线，要使□ABCD成为矩形，不能添加的条件是(
)
A．AC=BD
B．BC⊥DC
C．∠1+∠3＝∠90°
D．∠1＝∠2
2、要判断一个四边形门框是否为矩形，下面给出4个测量的方案，其中正确的是(
)
A．测量对角线是否相互平分
B．测量对角线是否相等
C．测量对角线是否垂直
D．任选三个内角测量其是否都为直角
3、如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF//BC，分别交AB，CD于
E、F，连接PB.若△PEB
的面积为S1，△APF的面积为S2，则S1与S2的大小关系为(
)
A．S1>S2
B．S1C．S1=S2
D．无法确定
4、如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.有如下的结论：①∠ECB+∠FCD=90°；②EO=FO；③CO=EF；④AC⊥MN；⑤当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形.其中结论正确的个数为(
)个.
A．5
B．4
C．3
D．2
5、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8cm，BD=12cm，则四边形EFGH的面积是
cm2．
6、如图，在△ABO中，AB=OB，将△ABO绕点O顺时针旋转180°得到△CDO，连结AD，BC.当∠AOB为____度时，四边形ABCD为矩形．
7、如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线交AB于D，交AC于点E，若四边DBEF
是平行四边形，连结AF.求证：四边形ADEF是矩形．
8、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH．
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，DG⊥AC于点G，OF=2cm，求矩形ABCD的面积．
参考答案：
1、D
2、D
3、C
4、B
5、24
6、60
7、解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴D为AB的中点，AE=BE，
∵四边形DBEF是平行四边形，?
∴DB∥EF，DB=EF，
BE=DF.
∵D为AB的中点，?
∴AD=BD.
∴AD∥EF，AD=EF.
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AE=BE，?
∴DF=BE.
∴AE=
DF.
∴平行四边形ADCE是矩形.
8、解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD且AC=BD，
∵AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形；
(2)∵OH=OG，HG=OH=HD，
∴△OGH是等边三角形，
∴∠CDO=∠GHO=60°，
∴△OCD是等边三角形，
而OF=
2cm，
∴OB=OD=2OF=4
cm，
∴△OCD
的面积==
cm2.
∴矩形ABCD的面积=4S△OCD=
cm2.
