5．1
矩形（一）
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2．矩形的性质
（1）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是____；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线____；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（2）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的___．
参考答案：直角
相等
一半
一、矩形的概念
1．若四边形ABCD为平行四边形，根据矩形的定义请补充条件__∠A＝90°(答案不唯一，合理即可)__使四边形ABCD为矩形．
二、矩形的四个角都是直角
2．如图1，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4
cm，矩形ABCD的周长为36
cm，求AE的长．
图1
解：在Rt△AEF和Rt△DCE中，EF⊥CE.
∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.
而∠ECD＋∠DEC＝90°，
∴∠AEF＝∠ECD.
在Rt△AEF与Rt△DCE中，
∵
∴Rt△AEF≌Rt△DCE(AAS)．
∴AE＝CD，AD＝AE＋4.
∵矩形ABCD的周长为36
cm.
∴2(AE＋ED＋DC)＝36，即2(2AE＋4)＝36，
整理得2AE＋4＝18，解得AE＝7(cm)．
三、矩形的对角线相等
3．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
4．如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是( D )
图2
A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．OA＝AD
5．如图3，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是( C )
图3
A．8
B．6
C．4
D．2
6．如图4，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE＝2∠BAE，则∠EAC的度数为__30°__．
图4
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝OC，OD＝OB，∠BAD＝90°，∴OA＝OB，∵∠BAD＝90°，∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝30°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠ABO＝90°－30°＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∴∠EAC＝∠BAO－∠BAE＝60°－30°＝30°.
7．如图5，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD＝BE；
(2)若BE＝10，CE＝6，连结OE，求△ODE的面积．
图5
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AB∥CD，
又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC＝BE，∴BD＝BE；
(2)∵由(1)知四边形ABEC为平行四边形，∴AC＝BE，
∴BE＝BD＝10，∴CD＝AB＝CE＝6，∴DE＝12，
∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝OB，BC⊥DE，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC＝8，
∴S△ODE＝S△BDE＝DE·BC＝×12×8＝24.
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( A )
A．对角线相等
B．对角相等
C．对边相等
D．对角线互相平分
【解析】
矩形的特殊性质：①四个角都是直角；②对角线相等．故选A.
2．如图5－1－1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法不一定成立的是( D )
图5－1－1
A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．OA＝AD
3．若矩形的对角线长为4
cm，一条边长为2
cm，则此矩形的面积为( B )
A．8
cm2
B．4
cm2
C．2
cm2
D．8
cm2
【解析】
矩形的另一边长为＝2(cm)，其面积为2×2＝4(cm2)．故选B.
4．如图5－1－2，矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，则AB的长是( C )
A．12
B．22
C．16
D．26
【解析】
∵2(AB＋BC)＝56，∴AB＋BC＝28.①
又∵(AO＋OB＋AB)－(OB＋OC＋BC)＝4，OA＝OC，∴AB－BC＝4.②
①＋②，得2AB＝32，∴AB＝16.故选C.
图5－1－2
5．如图5－1－3，在矩形ABCD中(AD＞AB)，E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F.在下列结论中，不一定正确的是( B )
图5－1－3
A．AB＝AF
B．AF＝AD
C．△AFD≌△DCE
D．BE＝AD－DF
【解析】
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠C＝90°，AB＝CD，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠DEC，
∵AF⊥DE，∴∠AFD＝∠C＝90°，
∴在△AFD和△DCE中，
∴△AFD≌△DCE，故C正确；
∴AF＝DC，∴AB＝AF，故A正确；
BE＝BC－CE＝AD－DF，故D正确．
综上，B不一定正确，故选B.
6．如图5－1－4，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为__2.5__．
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD＝5.
∵点P，Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线．
∴PQ＝DO＝2.5.
图5－1－4
7．如图5－1－5，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝__15__度．
图5－1－5
【解析】
如答图，连结AC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠CAD＝∠ADB＝30°，
∴∠DAE＝∠E，
第7题答图
又∵CE＝BD，
∴CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E，
∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE，
∴∠CAD＝2∠E＝30°，∴∠E＝15°.
8．如图5－1－6，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连结DE，CE.
(1)求证：△ADE≌△BCE；
(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
图5－1－6
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠B.
∵E是AB的中点，∴AE＝BE.
在△ADE与△BCE中，
∴△ADE≌△BCE(SAS)；
(2)∵AB＝6，E是AB的中点，∴AE＝BE＝3.
在Rt△ADE中，AD＝4，AE＝3，根据勾股定理可得
DE＝＝＝5.
∵△ADE≌△BCE，∴DE＝CE＝5.
又∵CD＝AB＝6.
∴DE＋CE＋CD＝5＋5＋6＝16，
即△CDE的周长为16.
9．如图5－1－7，在矩形ABCD中，连结对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.
(1)求证：△ACD≌△EDC；
图5－1－7
(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，
由平移的性质得DE＝AC，CE＝BC＝AD，
∠DCE＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
在△ACD和△EDC中，
∴△ACD≌△EDC(SAS)；
(2)△BDE是等腰三角形，理由如下：
∵AC＝BD，DE＝AC，
∴BD＝DE，∴△BDE是等腰三角形．
10．如图5－1－8，矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．
图5－1－8
解：∵AE平分∠BAD交BC于E，
∴∠BAE＝45°，∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝60°，
∴∠ACB＝30°，又∵OA＝OB，
∴△BOA是等边三角形，∴OB＝AB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE＝∠OCB＝30°，
∴∠BOE＝×(180°－30°)＝75°.
11．如图5－1－9，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F.
(1)求证：△AEF≌△CDF；
(2)求DF的长．
图5－1－9
解：(1)证明：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△AEC的位置，
∴AE＝AB，∠E＝∠B＝90°，
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∴AE＝DC，
∵在△AEF与△CDF中，
∴△AEF≌△CDF(AAS)；
(2)∵△AEF≌△CDF，∴AF＝CF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，
设FA＝x，则FC＝x，DF＝6－x，
在Rt△CDF中，CF2＝CD2＋DF2，
即x2＝42＋(6－x)2，解得x＝，
则DF＝6－x＝.
1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是(
)
A．对角线相等
B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分
D．两组对角分别相等
2、下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是(
)
A.等边三角形
B.平行四边形
C.等腰三角形
D.矩形
3、如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，动点P从点C出发，沿路线C→D→A作匀速运
动，那么△BCP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是(????)
4、如图，点O为矩形ABCD对角线BD的中点，直线EF经过点O分别与边BC，AD交于点E，
F，连接CF，若∠CEF=2∠CBD，DC=，有下面的结论：①FD=BE；②∠EOD=150°；
③BE2+AB2=AF2；④BC=6；⑤直线FC是线段OD的垂直平分线.其中正确的个数为( )个.
A.?2?????B.?3?????
C.?4??????D.?5
5、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，直线EF经过点O，交BC于点E，
AD于点F，若AB=5cm，AC=13
cm，则阴影部分的面积为
．
6、如图所示，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE=BD，连结AE，若AB=1，
∠AEB=15°，则AD的长度为
．
7、如图，在矩形ABCD中，线段AD绕点A旋转与BC相交于点E，若点E为BC的中点，AB=，
求AC的长.
8、已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AD=8,
(1)若∠DAE︰∠BAE=3︰1，求∠EAC的度数；
(2)若ED=3BE，求AE的长．
参考答案：
1、A
2、D
3、B
4、D
5、15cm2
6、
7、解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，∠B=90°
∵AE是AD旋转得到，
∴AE=AD=BC.
∵点E为BC的中点，
∴BE=CE=BC=AE，
∴BE2+AB2=AE2，
∴BE2+()2=4BE
2，
解得BE=1.
∴BC=2BE=2.
在Rt△ABC中，
AC=.
8、(1)解：如图
∵∠DAE︰∠BAE=3︰1，
∴∠BAE=22.5°，
∴∠ABE=67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO，BO=DO
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABE=67.5°
∴∠EAC=∠OAB∠BAE=67.5°22.5°=45°．
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵ED=3BE，
∴OE+OD=3BE，
∴OBBE+OB=3BE，
∴OB
=2BE，
∴点E为OB的中点，
∵AE⊥BD，
∴AB=OA，
∴OA=AB=OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴∠ADE=90°∠ABD=30°，
∵AE⊥BD，AD=8，
∴AE=AD=4.5．1
矩形（一）
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2．矩形的性质
（1）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是____；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线____；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（2）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的___．
一、矩形的概念
1．若四边形ABCD为平行四边形，根据矩形的定义请补充条件____使四边形ABCD为矩形．
二、矩形的四个角都是直角
2．如图1，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4
cm，矩形ABCD的周长为36
cm，求AE的长．
图1
三、矩形的对角线相等
3．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
4．如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(
)
图2
A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．OA＝AD
5．如图3，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是( )
图3
A．8
B．6
C．4
D．2
6．如图4，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE＝2∠BAE，则∠EAC的度数为____．
图4
7．如图5，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD＝BE；
(2)若BE＝10，CE＝6，连结OE，求△ODE的面积．
图5
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对角线相等
B．对角相等
C．对边相等
D．对角线互相平分
2．如图5－1－1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法不一定成立的是( )
图5－1－1
A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．OA＝AD
3．若矩形的对角线长为4
cm，一条边长为2
cm，则此矩形的面积为( )
A．8
cm2
B．4
cm2
C．2
cm2
D．8
cm2
4．如图5－1－2，矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，则AB的长是( )
A．12
B．22
C．16
D．26
图5－1－2
5．如图5－1－3，在矩形ABCD中(AD＞AB)，E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F.在下列结论中，不一定正确的是( )
图5－1－3
A．AB＝AF
B．AF＝AD
C．△AFD≌△DCE
D．BE＝AD－DF
6．如图5－1－4，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为____．
图5－1－4
7．如图5－1－5，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝____度．
图5－1－5
8．如图5－1－6，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连结DE，CE.
(1)求证：△ADE≌△BCE；
(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
图5－1－6
9．如图5－1－7，在矩形ABCD中，连结对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.
(1)求证：△ACD≌△EDC；
图5－1－7
(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．
10．如图5－1－8，矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．
图5－1－8
11．如图5－1－9，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F.
(1)求证：△AEF≌△CDF；
(2)求DF的长．
图5－1－9
1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是(
)
A．对角线相等
B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分
D．两组对角分别相等
2、下列图形既是轴对称图形，也是中心对称图形的是(
)
A.等边三角形
B.平行四边形
C.等腰三角形
D.矩形
3、如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，动点P从点C出发，沿路线C→D→A作匀速运
动，那么△BCP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是(????)
4、如图，点O为矩形ABCD对角线BD的中点，直线EF经过点O分别与边BC，AD交于点E，
F，连接CF，若∠CEF=2∠CBD，DC=，有下面的结论：①FD=BE；②∠EOD=150°；
③BE2+AB2=AF2；④BC=6；⑤直线FC是线段OD的垂直平分线.其中正确的个数为( )个.
A.?2?????B.?3?????
C.?4??????D.?5
5、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，直线EF经过点O，交BC于点E，
AD于点F，若AB=5cm，AC=13
cm，则阴影部分的面积为
．
6、如图所示，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE=BD，连结AE，若AB=1，
∠AEB=15°，则AD的长度为
．
7、如图，在矩形ABCD中，线段AD绕点A旋转与BC相交于点E，若点E为BC的中点，AB=，
求AC的长.
8、已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AD=8,
(1)若∠DAE︰∠BAE=3︰1，求∠EAC的度数；
(2)若ED=3BE，求AE的长．
