5．2
菱形（二）
菱形的判定
①有一组边相等的平行四边形是菱形。（定义）
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
一、用菱形的定义判定菱形
1．如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是BC，CD上的点，∠AEB＝∠AFD，BE＝DF.求证：四边形ABCD是菱形．
图1
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(ASA)，∴AB＝AD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．
二、四条边相等的四边形是菱形
2．用一把刻度尺来判定一个四边形零件是菱形的方法是__测量四条边是否相等，若相等则是菱形__．
3．如图2，△ABC和△BDE都是等边三角形，点E，F分别为AB，BC边的中点，求证：四边形BDEF为菱形．
图2
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴BD＝DE＝BE，∠A＝∠C＝60°，
∵点E，F分别为AB，BC边的中点，
∴EF∥AC，∴∠BEF＝∠BFE＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF＝EF＝BE，∴BD＝DE＝BF＝EF，
∴四边形BDEF为菱形．
三、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．下列命题正确的是( D )
A．对角线互相平分的四边形是菱形
B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
5．如图3，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有( C )
图3
A．AC⊥BD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．∠1＝∠2
6．如图4，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件：__BO＝DO(答案不唯一)__，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
图4
7．如图5，?ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝，AC＝4，BD＝2.求证：四边形ABCD是菱形．
图5
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝2，BO＝BD＝1.
在△AOB中，AB2＝5，AO2＋BO2＝22＋12＝5，
∴AB2＝AO2＋BO2，∴△ABO为直角三角形，即AO⊥BO，
∴四边形ABCD是菱形．
1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是( C )
A．两条对角线相等
B．两条对角线互相垂直
C．两条对角线互相垂直平分
D．两条对角线相等且互相垂直
2．如图5－2－13，△ABC中DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( D )
图5－2－13
A．AB＝AC
B．AD＝BD
C．BE⊥AC
D．BE平分∠ABC
【解析】
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形，
要使四边形DBFE是菱形，则添加邻边相等即可，
由BE平分∠ABC，得∠DBE＝∠EBF，
又∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBF，
∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB，
∴四边形DBFE是菱形．故选D.
3．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( C )
【解析】
A．由作图可知AC垂直平分BD，结合AD∥BC可证四边形ABCD是菱形，正确；
B．由作图可知AB＝BC，AD＝AB，结合AD∥BC可证四边形ABCD是菱形，正确；
C．由作图可知AB，CD是角平分线，只能得出四边形ABCD是平行四边形，错误；
D．由作图可知对角线AC平分对角，结合AD∥BC可证四边形ABCD是菱形，正确．故选C.
4．如图5－2－14，在?ABCD中，添加一个条件__AB＝BC或AC⊥BD(答案不唯一)__，使?ABCD是菱形．
图5－2－14
5．如图5－2－15，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是__CB＝BF或BE⊥CF__(写出一个即可)．
图5－2－15
【解析】
由题意，可得四边形CBFE是平行四边形，当CB＝BF或BE⊥CF时，都可以得出四边形CBFE为菱形．
6．如图5－2－16，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD.求证：
(1)△AED≌△CFD；
(2)四边形ABCD是菱形．
图5－2－16
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△AED和△CFD中，
∴△AED≌△CFD(ASA)；
(2)由(1)得△AED≌△CFD，∴AD＝DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
7．如图5－2－17，在?ABCD和?BFDE中，∠A＝∠F，AD与BE交于点M，BC与DF交于点N.
(1)四边形BNDM一定是平行四边形吗？为什么？
(2)当AB与BF满足什么数量关系时，四边形BNDM是菱形？请说明理由．
图5－2－17
解：(1)四边形BNDM是平行四边形．理由：
∵BC∥AD，BE∥DF，
∴四边形BNDM是平行四边形；
(2)当AB＝BF时，四边形BNDM是菱形．理由：
∵AD∥BC，BE∥FD，
∴∠AMB＝∠MBN，∠FNB＝∠MBN，
∴∠AMB＝∠FNB，
在△ABM和△FBN中，
∴△ABM≌△FBN(AAS)，
∴BM＝BN，∴四边形BNDM是菱形．
8．如图5－2－18，在?ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连结BE，DF.求证：四边形BFDE是菱形．
图5－2－18
证明：∵EF垂直平分BD，
∴OB＝OD，∠EOD＝∠FOB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，
在△EOD和△FOB中，
∴△EOD≌△FOB，∴EO＝FO，
∵OB＝OD，EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
9．如图5－2－19，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC⊥BD，求四边形ABCD的面积．
图5－2－19
解：(1)证明：∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB(AAS)，∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝24.
10．如图5－2－20，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连结OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
图5－2－20
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
解：(1)证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC.
∵AB∥DC，∴∠DCA＝∠BAC.
∴∠DAC＝∠DCA.∴DA＝DC.
又∵AB＝AD，∴AB＝DC.
又∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝DB＝1，AC⊥BD.
在Rt△ABO中，由勾股定理，
得OA＝＝＝2.
∴AC＝2OA＝4.
∵CE⊥AB，OA＝OC，
∴OE＝AC＝2.
1．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是(
)
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．等腰梯形
2．已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是(
)
A．AC，BD互相平分
B．BA＝BC
C．AC＝BD
D．AB∥CD
3．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件是(
)
A．AD＝BC
B．AC＝BD
C．AB＝CD
D．AD＝CD
4．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连结AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD＝BE.其中正确的个数是(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
5．下列说法正确的是(
)
A．一组邻边相等，一组对边平行的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
6．如图，在?ABCD中，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的是(
)
A．AB＝BC
B．AC⊥BD
C．BD平分∠ABC
D．AC＝BD
7．已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是(
)
A．AC，BD互相平分
B．BA＝BC
C．AC＝BD
D．AB∥CD
8．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是(
)
A．AB＝BC
B．AC＝BC
C．∠B＝60°
D．∠ACB＝60°
9．如图，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是(
)
A．AE＝AF
B．EF⊥AC
C．∠B＝60°
D．AC是∠
EAF的平分线
10．如图，过四边形ABCD的各顶点作对角线BD，AC的平行线围成四边形EFGH，要使四边形EFGH是菱形，则原四边形一定是(
)
A．菱形
B．平行四边形
C．矩形
D．对角线相等的四边形
11.
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CD分别是△ABC两个外角的平分线．
(1)求证：∠ACD＝∠ADC；
(2)若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．
参考答案
1-5
BAADD
6-10
DAACD
11.
证明：∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．
又∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AB＝AC，
∴AE＝AF，∴平行四边形AEDF是菱形
12.
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，在△ABC中，
∠FAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B.∵AD平分∠FAC，
∴∠FAC＝2∠FAD＝2∠CAD，∴∠FAD＝∠B，∴AD∥BC.
∴∠D＝∠DCE.∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠DCE.
∴∠ACD＝∠ADC
(2)∵∠B＝60°，∴∠ACB＝∠CAD＝60°，
∵AB＝AC，∠ACD＝∠ADC，∴△ABC和△ACD都是等边三角形．
∴AB＝BC＝AC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形5．2
菱形（二）
菱形的判定
①有一组边相等的平行四边形是菱形。（定义）
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
一、用菱形的定义判定菱形
1．如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是BC，CD上的点，∠AEB＝∠AFD，BE＝DF.求证：四边形ABCD是菱形．
图1
二、四条边相等的四边形是菱形
2．用一把刻度尺来判定一个四边形零件是菱形的方法是
．
3．如图2，△ABC和△BDE都是等边三角形，点E，F分别为AB，BC边的中点，求证：四边形BDEF为菱形．
图2
三、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4．下列命题正确的是( )
A．对角线互相平分的四边形是菱形
B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
5．如图3，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的只有( )
图3
A．AC⊥BD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．∠1＝∠2
6．如图4，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件：____，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
图4
7．如图5，?ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB＝，AC＝4，BD＝2.求证：四边形ABCD是菱形．
图5
1.下列条件中，能判定四边形是菱形的是( )
A．两条对角线相等
B．两条对角线互相垂直
C．两条对角线互相垂直平分
D．两条对角线相等且互相垂直
2．如图5－2－13，△ABC中DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( )
图5－2－13
A．AB＝AC
B．AD＝BD
C．BE⊥AC
D．BE平分∠ABC
3．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )
4．如图5－2－14，在?ABCD中，添加一个条件____，使?ABCD是菱形．
图5－2－14
5．如图5－2－15，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是____(写出一个即可)．
图5－2－15
6．如图5－2－16，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD.求证：
(1)△AED≌△CFD；
(2)四边形ABCD是菱形．
图5－2－16
7．如图5－2－17，在?ABCD和?BFDE中，∠A＝∠F，AD与BE交于点M，BC与DF交于点N.
(1)四边形BNDM一定是平行四边形吗？为什么？
(2)当AB与BF满足什么数量关系时，四边形BNDM是菱形？请说明理由．
图5－2－17
8．如图5－2－18，在?ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连结BE，DF.求证：四边形BFDE是菱形．
图5－2－18
9．如图5－2－19，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AC⊥BD，求四边形ABCD的面积．
图5－2－19
10．如图5－2－20，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连结OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
图5－2－20
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
1．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是(
)
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．等腰梯形
2．已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是(
)
A．AC，BD互相平分
B．BA＝BC
C．AC＝BD
D．AB∥CD
3．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件是(
)
A．AD＝BC
B．AC＝BD
C．AB＝CD
D．AD＝CD
4．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连结AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD＝BE.其中正确的个数是(
)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
5．下列说法正确的是(
)
A．一组邻边相等，一组对边平行的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
6．如图，在?ABCD中，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的是(
)
A．AB＝BC
B．AC⊥BD
C．BD平分∠ABC
D．AC＝BD
7．已知四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是(
)
A．AC，BD互相平分
B．BA＝BC
C．AC＝BD
D．AB∥CD
8．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是(
)
A．AB＝BC
B．AC＝BC
C．∠B＝60°
D．∠ACB＝60°
9．如图，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是(
)
A．AE＝AF
B．EF⊥AC
C．∠B＝60°
D．AC是∠
EAF的平分线
10．如图，过四边形ABCD的各顶点作对角线BD，AC的平行线围成四边形EFGH，要使四边形EFGH是菱形，则原四边形一定是(
)
A．菱形
B．平行四边形
C．矩形
D．对角线相等的四边形
11.
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CD分别是△ABC两个外角的平分线．
(1)求证：∠ACD＝∠ADC；
(2)若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．
