6．3
反比例函数的应用
一、反比例函数与几何图形的综合
1．菱形的面积为2，其对角线长分别为x，y，则y与x的图象大致为( )
A
B
C
D
2．在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一条边长为1时，它的另一边长为3.
(1)设另一个矩形的相邻两边分别为x，y，求y与x的函数表达式；
(2)小明说其中有一个矩形的周长是6，小李说有一个矩形的周长为10，你认为小明和小李的说法对吗？为什么？
二、反比例函数的应用
3．市煤气公司计划在地下修建一个容积为104
m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)的函数图象大致是( )
A
B
C
D
4．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图1所示，则I与R的函数表达式为( )
图1
A．I＝
B．I＝
C．I＝
D．I＝
三、反比例函数与分段函数
5．某品牌的饮水机接通电源后就进入自动程序：开机加热到水温100
℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系，直至水温降至30
℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30
℃时，接通电源后，水温y(℃)和时间x(min)的关系如图2所示，则水温从100
℃降到35
℃所用的时间是____min.
图2
1．已知电流I(A)，电压U(V)，电阻R(Ω)之间的关系为I＝，当电压为定值时，I关于R的函数图象是( )
2．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y(公顷/人)与总人口x(人)的函数图象如图6－3－1所示，则下列说法正确的是( )
图6－3－1
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
3．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱健康的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2
m，则表示y与x函数关系的图象大致是( )
4．某学校要种植一块面积为100
m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5
m，则草坪的一边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化的图象可能是( )
5．当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的函数，下表记录了一组实验数据：p与V的函数关系式可能是( )
V(单位：m3)
1
1.5
2
2.5
3
p(单位：kPa)
96
64
48
38.4
32
A.p＝96V
B．p＝－16V＋112
C．p＝16V2－96V＋176
D．p＝
6．在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，当F＝5
N时，s＝1
m，则当力达到10
N时，物体在力的方向上移动的距离是____m.
7．已知一艘轮船上装有100
t货物，轮船到达目的地后开始卸货，设平均卸货速度为v(单位：t/h)，卸完这批货物所需的时间为t(单位：h)．
(1)求v关于t的函数表达式；
(2)若要求不超过5
h卸完船上的这批货物，那么平均每小时要卸货多少吨？
8．某校园艺社计划利用已有的一堵长为10
m的墙，用篱笆围一个面积为12
m2的矩形园子．
(1)如图6－3－2，设矩形园子的相邻两边长分别为x(m)，y(m)．
图6－3－2
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥4
m时，求x的取值范围．
(2)小凯说篱笆的长可以为9.5
m，洋洋说篱笆的长可以为10.5
m．你认为他们俩的说法对吗？为什么？
9．丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售．记汽车的行驶时间为t
h，平均速度为v
km/h(汽车行驶速度不超过100
km/h)．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
v(km/h)
75
80
85
90
95
t(h)
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
(1)根据表中的数据，求出平均速度v(km/h)关于行驶时间t(h)的函数表达式；
(2)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；
(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．
10．某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制用了40
min，之后将对泄漏有害气体进行清理，如图6－3－3，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x(min)之间的函数关系(0≤x≤40)，反比例函数y＝对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x(min)之间的函数关系(40≤x≤？)．根据图象解答下列问题：
(1)危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是__20__；
(2)求反比例函数y＝的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值．
图6－3－3
1．某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（
）
2.
一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（）之间的函数关系如图.
如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（
）
A.
不小于４．８
B.
不大于４．８
C.
不小于１４
D.
不大于１４
3．
设A，B是反比例函数y=-的图象上关于原点对称的两点，AD平行于y轴，交x轴于点D，BC平行于x轴交y轴于点C，设四边形ABCD的面积为S，则（
）
A．
S=2
B．
S=3
C．
S=4
D．
S=6
4．
已知如图，一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A，B两点，不等式ax+b>的解为（
）
A．
x＜－3
B．
－3＜x＜0或x＞1
C．
x＜－3或x＞1
D．
－3＜x＜1
５． 无线电波的波长和频率是分别用米和千赫为单位标刻的.
波长l和频率f满足f=，这说明l越大，频率f就越
.
6．
如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y=（x>0）的图象上，AC∥x轴，AC=2.
若点A的坐标为（2，2），则点B的坐标为
.
7．
设函数y=与y=x-1的图象的交点坐标为（a，b），则-的值为
.
8.
某种型号热水器的容量为180升，设其工作时间为y分，每分的排水量为x升.
（1）写出y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；
（2）当每分钟的排水量为10升时，热水器工作多长时间？
（3）如果热水器可连续工作的时间不超过1小时，那么每分的排水量应控制在什么范围内？
9.
为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒法对教室进行消毒.
已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间t（h）成正比；药物释放完毕后，y与t之间的函数解析式为y=（a为常数），如图所示.
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从释放药物开始，y与t之间的两个函数解析式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能进入教室？6．3
反比例函数的应用
一、反比例函数与几何图形的综合
1．菱形的面积为2，其对角线长分别为x，y，则y与x的图象大致为( C )
A
B
C
D
【解析】
∵菱形的面积为2，其对角线分别为x，y，∴xy＝4，∴y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x，y的实际意义，得x＞0，y＞0，故其图象在第一象限．
2．在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一条边长为1时，它的另一边长为3.
(1)设另一个矩形的相邻两边分别为x，y，求y与x的函数表达式；
(2)小明说其中有一个矩形的周长是6，小李说有一个矩形的周长为10，你认为小明和小李的说法对吗？为什么？
解：(1)由题意可得xy＝3，则y＝；
(2)∵一个矩形的周长为6，∴x＋y＝3，∴x＋＝3，
整理得x2－3x＋3＝0，
∵b2－4ac＝9－12＝－3＜0，∴矩形的周长不可能是6，
∴小明的说法不对．
∵一个矩形的周长为10，∴x＋y＝5，∴x＋＝5，
整理得x2－5x＋3＝0，
∵b2－4ac＝25－12＝13＞0，∴矩形的周长可能是10，
∴小李的说法对．
二、反比例函数的应用
3．市煤气公司计划在地下修建一个容积为104
m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)的函数图象大致是( A )
A
B
C
D
4．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图1所示，则I与R的函数表达式为( A )
图1
A．I＝
B．I＝
C．I＝
D．I＝
三、反比例函数与分段函数
5．某品牌的饮水机接通电源后就进入自动程序：开机加热到水温100
℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系，直至水温降至30
℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30
℃时，接通电源后，水温y(℃)和时间x(min)的关系如图2所示，则水温从100
℃降到35
℃所用的时间是__13__min.
图2
【解析】
设反比例函数关系式为y＝，
将(7，100)代入y＝，得k＝700，∴y＝，
将y＝35代入y＝，解得x＝20，
∴水温从100
℃降到35
℃所用的时间是20－7＝13(min)．
1．已知电流I(A)，电压U(V)，电阻R(Ω)之间的关系为I＝，当电压为定值时，I关于R的函数图象是( C )
【解析】
在I＝中，∵电压为定值，∴I是R的反比例函数，注意到电流I(A)，电压U(V)，电阻R(Ω)都是大于0的数，反比例函数图象只能是第一象限内的部分，故选C.
2．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y(公顷/人)与总人口x(人)的函数图象如图6－3－1所示，则下列说法正确的是( D )
图6－3－1
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
3．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱健康的具体表现．科学证实：近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例．如果500度近视眼镜片的焦距为0.2
m，则表示y与x函数关系的图象大致是( B )
4．某学校要种植一块面积为100
m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5
m，则草坪的一边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化的图象可能是( C )
【解析】
由题意得y＝，由两边长均不小于5
m，可得5≤x≤20，5≤y≤20，符合题意的选项只有C.
5．当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的函数，下表记录了一组实验数据：p与V的函数关系式可能是( D )
V(单位：m3)
1
1.5
2
2.5
3
p(单位：kPa)
96
64
48
38.4
32
A.p＝96V
B．p＝－16V＋112
C．p＝16V2－96V＋176
D．p＝
【解析】
观察发现：Vp＝1×96＝1.5×64＝2×48＝2.5×38.4＝3×32＝96，故p与V的函数关系式为
p＝.
6．在对物体做功一定的情况下，力F(N)与此物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，当F＝5
N时，s＝1
m，则当力达到10
N时，物体在力的方向上移动的距离是__0.5__m.
7．已知一艘轮船上装有100
t货物，轮船到达目的地后开始卸货，设平均卸货速度为v(单位：t/h)，卸完这批货物所需的时间为t(单位：h)．
(1)求v关于t的函数表达式；
(2)若要求不超过5
h卸完船上的这批货物，那么平均每小时要卸货多少吨？
解：(1)v＝(t＞0)；
(2)0＜t≤5，当t＝5时，v＝20，
∵k＝100＞0，∴v≥20，
∴平均每小时至少要卸货20
t.
8．某校园艺社计划利用已有的一堵长为10
m的墙，用篱笆围一个面积为12
m2的矩形园子．
(1)如图6－3－2，设矩形园子的相邻两边长分别为x(m)，y(m)．
图6－3－2
①求y关于x的函数表达式；
②当y≥4
m时，求x的取值范围．
(2)小凯说篱笆的长可以为9.5
m，洋洋说篱笆的长可以为10.5
m．你认为他们俩的说法对吗？为什么？
解：(1)①由题意得xy＝12，∴y＝；
②y≥4时，≤x≤3；
(2)当2x＋＝9.5时，
整理得4x2－19x＋24＝0，Δ＜0，方程无解；
当2x＋＝10.5时，
整理得4x2－21x＋24＝0，Δ＝57＞0，符合题意．
∴小凯的说法错误，洋洋的说法正确．
9．丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售．记汽车的行驶时间为t
h，平均速度为v
km/h(汽车行驶速度不超过100
km/h)．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
v(km/h)
75
80
85
90
95
t(h)
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
(1)根据表中的数据，求出平均速度v(km/h)关于行驶时间t(h)的函数表达式；
(2)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；
(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．
解：(1)根据表中的数据，可画出v关于t的函数图象，如答图所示，根据图象形状，选择反比例函数模型进行尝试．设v关于t的函数表达式为v＝，
第9题答图
∵当v＝75时，t＝4，∴k＝4×75＝300.
∴v＝.将点(3.75，80)，(3.53，85)，(3.33，90)，(3.16，95)的坐标代入v＝验证：＝3.75，≈3.53，≈3.33，≈3.16，
∴v与t的函数表达式是v＝(t≥3)；
(2)不能．理由：∵10－7.5＝2.5，
∴当t＝2.5时，v＝＝120>100.
∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场；
(3)由图象得，当3.5≤t≤4时，75≤v≤.
10．某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制用了40
min，之后将对泄漏有害气体进行清理，如图6－3－3，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x(min)之间的函数关系(0≤x≤40)，反比例函数y＝对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x(min)之间的函数关系(40≤x≤？)．根据图象解答下列问题：
(1)危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是__20__；
(2)求反比例函数y＝的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值．
图6－3－3
解：(1)当0≤x≤40时，设y与x之间的函数关系式为y＝ax＋b，
则
解得
∴y＝1.5x＋20，
当x＝0时，y＝1.5×0＋20＝20，
即危检检测表在气体泄漏之初显示的数据是20；
(2)将x＝40代入y＝1.5x＋20，得y＝80，
∴E(40，80)，
∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴80＝，解得k＝3
200，即反比例函数为
y＝，
当y＝20时，20＝，解得x＝160，
即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值是160.
1．某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（
）
2.
一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（）之间的函数关系如图.
如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么此用电器的可变电阻应（
）
A.
不小于４．８
B.
不大于４．８
C.
不小于１４
D.
不大于１４
3．
设A，B是反比例函数y=-的图象上关于原点对称的两点，AD平行于y轴，交x轴于点D，BC平行于x轴交y轴于点C，设四边形ABCD的面积为S，则（
）
A．
S=2
B．
S=3
C．
S=4
D．
S=6
4．
已知如图，一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A，B两点，不等式ax+b>的解为（
）
A．
x＜－3
B．
－3＜x＜0或x＞1
C．
x＜－3或x＞1
D．
－3＜x＜1
５． 无线电波的波长和频率是分别用米和千赫为单位标刻的.
波长l和频率f满足f=，这说明l越大，频率f就越
.
6．
如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y=（x>0）的图象上，AC∥x轴，AC=2.
若点A的坐标为（2，2），则点B的坐标为
.
7．
设函数y=与y=x-1的图象的交点坐标为（a，b），则-的值为
.
8.
某种型号热水器的容量为180升，设其工作时间为y分，每分的排水量为x升.
（1）写出y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；
（2）当每分钟的排水量为10升时，热水器工作多长时间？
（3）如果热水器可连续工作的时间不超过1小时，那么每分的排水量应控制在什么范围内？
9.
为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒法对教室进行消毒.
已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间t（h）成正比；药物释放完毕后，y与t之间的函数解析式为y=（a为常数），如图所示.
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从释放药物开始，y与t之间的两个函数解析式及相应的自变量取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能进入教室？
参考答案
1—4.
CABB
5.
小
6.
（4，1）
7.
-
8.
（1）y=（x＞0）
（2）当x=10时，y==18（分）.
（3）当0＜y≤60时，x≥3（升）.
9.
（1）y=t（0≤t≤），y=（t≥）.
（2）至少6小时
