2020-2021学年浙教版八年级数学下册 第2章一元二次方程 章末易错题突破训练（word版含解析）

2020-2021年度浙教版八年级数学下册 第2章一元二次方程 章末易错题突破训练（附答案）
1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1
2．方程（m﹣2）﹣mx+5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．2 C．3 D．2或﹣3
3．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝，x2＝，下列判断一定正确的是（　　）
A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．＝1
4．已知x是方程x2+2x﹣2＝0的根，那么代数式（﹣x﹣2）÷的值是（　　）
A．﹣1 B．+1 C．﹣1或﹣﹣1 D．﹣1或+1
5．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
6．已知y＝0是关于y的一元二次方程（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0的一个根，那么m的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
7．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（　　）
A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．8
8．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5
9．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
10．若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是　 　．
11．已知关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是　 　．
12．已知一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，则+2x1x2+＝　 　．
13．已知m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则代数式2m2﹣3m﹣n的值等于　 　．
14．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m值是　 　．
15．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是　 　．
16．已知x2+5y2﹣4xy＝6y﹣9，则x+y＝　 　．
17．若（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣4＝0，则代数式a2+b2的值为　 　
18．方程x（x﹣3）＝0的解为　 　．
19．已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则a4﹣3a﹣2的值为　 　．
20．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，某△ABC的边长恰好都是这个方程的根，则△ABC的周长为　 　．
21．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝4，则x12﹣x1x2+x22的值是　 　．
22．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是　 　．
23．已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣2）2+n＝0的解是　 　．
24．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．
（1）当售价为22万元/辆时，平均每周的销售利润为　 　万元；
（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．
25．老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0
∴（x+2）2+1≥1
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出：（x﹣1）2﹣2的最小值。．
（2）求出代数式x2﹣10x+33的最小值；
（3）若﹣x2+7x+y+12＝0，求x+y的最小值．
26．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）若售价下降1元，每月能售出多少个台灯，若售价下降x元（t＞0），每月能售出多少个台灯．
（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
（3）月获利能否达到9600元，说明理由．
27．已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2kx+k+3＝0．
（1）当k＝1时，求方程的实数根．
（2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围；
（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣4，判断动点P（m，n）所形成的数图象是否经过点A（﹣5，9），并说明理由．
29．（1）解方程：（y+2）2＝（2y+1）2；
（2）已知a2+3a+1＝0，求（2a+1）2﹣2（a2﹣a）+4的值．
30．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x1x2+x1+x2＝3，求k的值．
参考答案
1．解：根据题意得k﹣1≠0且△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0，
解得k≥且k≠1．
故选：D．
2．解：∵方程（m﹣2）﹣mx+5＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0且m2+m﹣4＝2，
解得：m＝﹣3，
故选：A．
3．解：根据一元二次方程的求根公式可得：x1＝，x2＝，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝，x2＝，
∴2a＝2，﹣4ac＝4，
∴a＝1，ac＝﹣1，c＝﹣1，
故选：C．
4．解：x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2．
解得x＝±﹣1
∴（﹣x﹣2）÷＝×
＝×＝﹣（x2+3x）＝﹣（x2+2x+x）＝﹣（2+x）
当x＝﹣1时，
原式＝﹣（2±﹣1）
故选：C．
5．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴△＝b2﹣4ac＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝或x0＝
∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣
∴
故④正确．
故选：B．
6．解：把y＝0代入（m﹣1）y2+my+4m2﹣4＝0得：
4m2﹣4＝0，即m2﹣1＝0
解得：m1＝1，m2＝﹣1
当m＝1时，关于y的方程由于二次项系数为0不再是一元二次方程，
所以m＝﹣1．
故选：C．
7．解：∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，
∴△＝[﹣（k+3）]2﹣4×k×6＝0，
解得k＝3，
∴一元二次方程为x2﹣6x+6＝0，
∴两腰之和为＝4，
∴△ABC的周长为4+3＝7，
故选：B．
8．解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，
配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13，
故选：A．
9．解：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0，x﹣3＝0，
x1＝2，x2＝3，
根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行，
①当第三边是2时，三角形的周长为2+4+5＝11；
②当第三边是3时，三角形的周长为3+4+5＝12；
故选：C．
10．解：将x＝3代入方程得：9﹣3m﹣3＝0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
11．解：∵关于x的一元二次方程mx2+x+1＝0有实数根，
则△＝1﹣4m≥0，且m≠0．
解得m≤且m≠0．
故答案为：m≤且m≠0．
12．解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1?x2＝﹣8，
∴+2x1x2+＝2x1x2+
＝2×（﹣8）+＝﹣16+＝﹣，
故答案为：﹣．
13．解：∵m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，
∴m+n＝1，m2﹣m＝2，
则原式＝2（m2﹣m）﹣（m+n）＝2×2﹣1＝4﹣1＝3，
故答案为：3
14．解：根据题意，得
x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，
∴m2﹣4＝0，
解得，m＝±2；
又∵二次项系数m﹣2≠0，即m≠2，
∴m＝﹣2；
故答案为：﹣2．
15．解：设方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0的公共根为t，
则t2+mt+1＝0①，
t2+t+m＝0②，
①﹣②得（m﹣1）t＝m﹣1，
如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，不符合题意；
如果m≠1，那么t＝1，
把t＝1代入①，得1+m+1＝0，解得m＝﹣2．
故常数m的值为﹣2．
故答案为：﹣2．
16．解：x2+5y2﹣4xy＝6y﹣9，
x2﹣4xy+4y2+y2﹣6y+9＝0，
（x﹣2y）2+（y﹣3）2＝0，
x﹣2y＝0，y﹣3＝0，
解得y＝3，x＝6．
所以x+y＝6+3＝9．
故答案为：9．
17．解：设t＝a2+b2，
则原方程为t2﹣3t﹣4＝0，
解得t1＝4，t2＝﹣1，
∵a2+b2≥0，
∴t＝4，
∴a2+b2＝4，
故答案为：4．
18．解：x（x﹣3）＝0，
可得x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3
19．解：把x＝a代入方程可得，
a2﹣a﹣1＝0，即a2＝a+1，
∴a4﹣3a﹣2＝（a2）2﹣3a﹣2
＝（a+1）2﹣3a﹣2
＝a2﹣a﹣1＝0．
20．解：因为2是方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，
所以4﹣4m+3m＝0，
所以m＝4．
当m＝4时，原方程为：x2﹣8m+12＝0，
所以（x﹣2）（x﹣6）＝0，
所以x1＝2，x2＝6．
当△ABC的边长分别是2、2、6时，
由于2+2＜6，构不成三角形；
当△ABC的边长分别是2、6、6时，
能构不成三角形，此时三角形的周长为2+6+6＝14．
当△ABC的边长分别是2、2、2时，
此时三角形的周长为2+2+2＝6．当△ABC的边长分别是6、6、6时，
此时三角形的周长为6+6+6＝18．
故答案为：14或6或18．
21．解：∵x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2＝2k，x1?x2＝k2﹣k，
∵x12+x22＝4，
∴＝4，
（2k）2﹣2（k2﹣k）＝4，
2k2+2k﹣4＝0，
k2+k﹣2＝0，
k＝﹣2或1，
∵△＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，
k≥0，
∴k＝1，
∴x1?x2＝k2﹣k＝0，
∴x12﹣x1x2+x22＝4﹣0＝4．
故答案为：4．
22．解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
23．解：∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
∴方程m（x+a﹣2）2+n＝0可变形为m[（x﹣2）+a]2+n＝0，
∵此方程中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得x1＝﹣1或x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
24．（1）根据题意，得（22﹣15）（8+6）＝98．
故答案为98．
（2）设每辆汽车降价x万元，则售价为（25﹣x）万元，根据题意，得
（25﹣x﹣15）（8+2x）＝90
整理，得x2﹣6x+5＝0
解得x1＝1，x2＝5．
为了尽快减少库存，x＝5，25﹣x＝20．
答：每辆汽车的售价为20万元．
25．解：（1）当x＝1时，（x﹣1）2﹣2有最小值，是﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）x2﹣10x+33＝（x﹣5）2+8，
则代数式x2﹣10x+33的最小值是8；
（2）∵﹣x2+7x+y+12＝0，
∴y＝x2﹣7x﹣12，
∴x+y＝x2﹣6x﹣12＝（x﹣3）2﹣21，
∴x+y的最小值是﹣21．
26．解：（1）若售价下降1元，每月能售出：600+200＝800个，
若售价下降x元（x＞0），每月能售出（600+200x）个．
故答案为800，（600+200x）
（2）（40﹣30﹣x）（600+200x）＝8400
整理，得
x2﹣7x+12＝0
解得x1＝3，x2＝4，
因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元，
但是实际销量要够卖，需小于等于1210个，
当x＝4时，1400＞1210（舍去）
当x＝3时，1200＜1210，可取，
所以售价为37元
答：每个台灯的售价为37元．
（3）月获利不能达到9600元，理由如下：
（40﹣30﹣x）（600+200x）＝9600
整理，得
x2﹣7x+18＝0
∵△＝49﹣72＝﹣23＜0
方程无实数根．
答：月获利不能达到9600元．
27．解：（1）把k＝1代入（k﹣2）x2+2kx+k+3＝0得：
﹣x2+2x+4＝0，
整理得：x2﹣2x﹣4＝0，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）根据题意得：
△＝（2k）2﹣4（k﹣2）（k+3）＝﹣4k+24＞0，
解得：k＜6，
又k﹣2≠0，
∴k≠2，
即k的取值范围为k＜6且k≠2．
28．（1）证明：∵△＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m2≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
∴a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m+4
∴由一元二次方程的求根公式得：x＝＝
∴x1＝m+2，x2＝2
∵该方程只有一个小于4的根
∴m+2≥4
∴m≥2；
（3）由韦达定理得：x1+x2＝m+4，x1x2＝2m+4
∴n＝x12+x22﹣4＝﹣2x1x2﹣4
＝（m+4）2﹣2（2m+4）﹣4＝m2+4m+4
∴动点P（m，n）可表示为（m，m2+4m+4）
∴当m＝﹣5时，m2+4m+4＝25﹣20+4＝9
∴动点P（m，n）所形成的数图象经过点A（﹣5，9）．
29．解：（1）（y+2）2＝（2y+1）2，
（y+2）2﹣（2y+1）2＝0，
（y+2+2y+1）（y+2﹣2y﹣1）＝0，
∴3y+3＝0或﹣y+1＝0，
∴y1＝﹣1，y2＝1；
（2）（2a+1）2﹣2（a2﹣a）+4
＝4a2+4a+1﹣2a2+2a+4＝2a2+6a+5＝2（a2+3a）+5
∵a2+3a+1＝0，
∴a2+3a＝﹣1，
∴原式＝2×（﹣1）+5＝3．
30．解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣4k+5≥0，
解得k≤．
（2）∵x1+x2＝1﹣2k，x1x2＝k2﹣1，
∴k2﹣1+1﹣2k＝3
即k2﹣2k﹣3＝0，
∴k1＝﹣1，k2＝3
∵k≤，∴k＝﹣1