[精品] 浙教版八年级下第二章一元二次方程培优训练（word版含解析）

浙教版八年级下第二章一元二次方程培优训练
一．选择题（共20小题，满分40分，每小题2分）
1．如果（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．2或﹣2
B．2
C．﹣2
D．以上都不正确
2．若2为一元二次方程?x2﹣mx﹣6＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
3．定义运算：a☆b＝ab2﹣ab﹣1．例如：3☆4＝3×42﹣3×4﹣1．则方程1☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
4．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a+的值应在（　　）
A．4和5之间
B．3和4之间
C．2和3之间
D．1和2之间
5．若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝2﹣ac，N＝（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）
A．M＞N
B．M＝N
C．M＜N
D．不确定
6．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是　　）
A．0
B．2020
C．4040
D．4042
7．已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则的值为（　　）
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
8．下面关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x+3＝；④（a2+a+1）x2﹣a＝0；（5）＝x﹣1，一元二次方程的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，则m3+n3﹣6mn的值为（　　）
A．﹣2
B．8
C．﹣6
D．﹣8
10．已知m、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．1
B．﹣2
C．1或2
D．1或﹣2
11．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（　　）
A．1﹣
B．3﹣
C．1+
D．3+
12．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0
B．k≥0且k≠1
C．k≥
D．k≥且k≠1
13．李治，宋元时期的数学家、诗人，著有数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中有一问题：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则方田的面积是（注：240平方步为1亩，圆周率取3计算）（　　）
A．22.5亩
B．20亩
C．17.5亩
D．15亩
14．如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a＝1，则b＝（　　）
A．
B．
C．
D．
15．准备在一块长为30m，宽为24m的长方形花圃内修建四条宽度相等且与各边垂直的小路，如图所示，四条小路的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80m2，则小路的宽度为（　　）
A．1m
B．m
C．2m
D．m
16．已知代数式x2﹣5x+7，当x＝m时，代数式有最小值q．则m和q的值分别是（　　）
A．5和3
B．5和
C．﹣
D．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（　　）
A．2s
B．3s
C．4s
D．5s
18．方程?（x﹣2）＝0的解为（　　）
A．无解
B．x＝1
C．x＝2
D．x1＝1，x2＝2
19．方程+＝1的实数根的个数是（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
20．设n，k为正整数，A1＝，A2＝，A3＝…Ak＝，已知A100＝2005，则n＝（　　）
A．1806
B．2005
C．3612
D．4011
二．填空题（共11小题，满分33分，每小题3分）
21．方程mx2﹣3x＝x2﹣mx+2是一元二次方程，则m应满足的条件为　
　．
22．已知x＝1是关于x的方程ax2+bx﹣2＝0的一个根，则2a+2b+3＝　
　．
23．在△ABC中，BC＝2，AC＝，AB＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则∠A的度数是　
　．
24．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个根，则m2+2m+n等于　
　．
25．已知m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+mn+3m+n＝　
　．
26．有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72m2时，则AB＝　
　．
27．若m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为　
　．
28．某企业年初受疫情影响，第一季度的销售额为400万元，由于我国控制疫情措施得力，该企业第二、三季度销售额连续增长，第三季度销售额达到了900万元，则二、三季度的平均增长率为　
　．
29．若方程x2﹣3x+1＝0的根也是方程x4+ax2+bx+c＝0的根，则a+b+2c＝　
　．
30．已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，则a2+b+1的值为　
　．
31．如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过　
　秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．
三．解答题（共9小题，满分77分）
32．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）3x2﹣6x+1＝0
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣1）2
（3）x2﹣x＝﹣1．
33．（6分）若m是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，求代数式的值．
34．（6分）关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是3，求它的另一个根和k的值．
35．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0．
（1）求证：无论m取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且：x12+x22﹣2x1x2＝13，求m的值．
36．（7分）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．
（2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
37．（8分）返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全的考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液．去市场购天时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液．
（1）当x＝80时，每瓶洗手液的价格是　
　元；当x＝150时，每瓶洗手液的价格是　
　元．
（2）若家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？
38．（8分）我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中记载用几何法对一元二次方程进行求解的方法，例如：求方程x2+2x＝35正根的方法：构造出4个长为x+2，宽为x的长方形，围成一个边长为x+2+x的正方形，所以S1＝S2＝S3＝S4＝（x+2）×x，S5＝4，得到大正方形面积为4×x（x+2）+22＝4×35+4＝144，大正方边长为12，所以x＝5．
（1）请利用上面方法画出图形，求出方程x2+4x﹣15＝0的正根，并写出分析过程；
（2）你能否画出用几何法画出求方程m2﹣2m﹣5＝0正根，如果可以，请直接画出图形，标注相关信息．
39．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于8cm？
（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PBQ的面积等于32cm2？
40．（12分）阅读材料题：
我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．
例如，求x2+6x+3的最小值问题．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2﹣6≥﹣6，
∴x2+6x+3的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）求代数式x2+4x+2020最小值．
（2）求代数式3x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值，并求出此时xy的值．
（3）设a＞0，求a2+的最小值，并求出此时a的值．
浙教版八年级下第二章一元二次方程培优训练
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题，满分40分，每小题2分）
1．（2分）如果（m﹣2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．2或﹣2
B．2
C．﹣2
D．以上都不正确
【考点】一元二次方程的定义．版权所有
【分析】根据一元二次方程的定义可得：|m|＝2，且m﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|m|＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”．
2．（2分）若2为一元二次方程?x2﹣mx﹣6＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．版权所有
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入方程得到关于m的一次方程，然后解关于m的一次方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣mx﹣6＝0，得：4﹣2m﹣6＝0，
解得m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决此类问题通常把方程的根代入方程得到一个代数式的值或解关于某一个字母的一元一次方程．
3．（2分）定义运算：a☆b＝ab2﹣ab﹣1．例如：3☆4＝3×42﹣3×4﹣1．则方程1☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【考点】实数的运算；根的判别式．版权所有
【分析】利用新定义得到x2﹣x﹣1＝0，然后利用△＞0可判断方程根的情况．
【解答】解：由新定义得：x2﹣x﹣1＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4．（2分）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a+的值应在（　　）
A．4和5之间
B．3和4之间
C．2和3之间
D．1和2之间
【考点】估算无理数的大小；一元二次方程的解．版权所有
【分析】因为a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，所以a2﹣2a＝1，那么代数式2a2﹣4a﹣1可化为2（a2﹣2a）﹣1，然后把a2﹣2a＝1代入代数式2a2﹣4a+，利用夹逼法求得无理数的取值范围．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣2a＝1，
∴2a2﹣4a+
＝2（a2﹣2a）+
＝2×1++
＝2+．
∵4＜5＜9，
∴2＜＜3．
∴4＜2+＜5．
即代数式2a2﹣4a+的值应在4和5之间．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，注意解题中的整体代入思想．
5．（2分）若x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设M＝2﹣ac，N＝（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）
A．M＞N
B．M＝N
C．M＜N
D．不确定
【考点】一元二次方程的解．版权所有
【分析】把x0代入方程ax2+2x+c＝0得ax02+2x0＝﹣c，作差法比较可得．
【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c＝0，即ax02+2x0＝﹣c，
则N﹣M＝（ax0+1）2﹣（2﹣ac）
＝a2x02+2ax0+1﹣2+ac
＝a（ax02+2x0）+ac﹣1
＝﹣ac+ac﹣1
＝﹣1，
∵﹣1＜0，
∴M＞N，
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
6．（2分）设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是　　）
A．0
B．2020
C．4040
D．4042
【考点】根与系数的关系．版权所有
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，将其代入则a2+b2+a+b中即可求出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，
∴则a2+b2+a+b＝a2+a）+b2+b）＝2021+2021＝4042．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1是解题的关键．
7．（2分）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则的值为（　　）
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
【考点】一元二次方程的解．版权所有
【分析】由a是方程x2﹣2010x+1＝0的一个根，将x＝a代入方程，得到关于a的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2020a+1＝0，即a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，
则＝2020a﹣1﹣2019a+＝a﹣1+＝﹣1＝﹣1＝2019．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
8．（2分）下面关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x+3＝；④（a2+a+1）x2﹣a＝0；（5）＝x﹣1，一元二次方程的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】一元二次方程的定义．版权所有
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【解答】解：
①ax2+bx+c＝0的二次项系数可能为0；
②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1是一元二次方程；
③x+3＝不是整式方程；
④（a2+a+1）x2﹣a＝0整理得[（a+）2+]x2﹣a＝0，由于[（a+）2+]＞0，故（a2+a+1）x2﹣a＝0是一元二次方程；
⑤＝x﹣1不是整式方程．
故选：B．
【点评】一元二次方程必须满足三个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程．
9．（2分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，则m3+n3﹣6mn的值为（　　）
A．﹣2
B．8
C．﹣6
D．﹣8
【考点】一元二次方程的解．版权所有
【分析】先根据n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根，得到关于m和n的一个方程，再根据n≠0，得出m和n的数量关系，然后将所给的整式利用因式分解和配方法进行变形，最后将m与n的数量关系代入，即可求得答案．
【解答】解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n＝0的根
∴n2+mn+2n＝0
∵n≠0
∴方程两边同时除以n得：n+m+2＝0
∴m+n＝﹣2
∴m3+n3﹣6mn
＝（m+n）（m2﹣mn+n2）﹣6mn
＝﹣2[（m+n）2﹣3mn]﹣6mn
＝﹣2（m+n）2+6mn﹣6mn
＝﹣2×（﹣2）2
＝﹣8
故选：D．
【点评】本题考查了由一元二次方程的解得出相关字母的数量关系，再结合因式分解及配方法将所给的等式变形，从而求得代数式的值，本题需要对整式的相关运算公式熟练运用，难度中等．
10．（2分）已知m、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．1
B．﹣2
C．1或2
D．1或﹣2
【考点】一元二次方程的解；根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．版权所有
【分析】分为两种情况：①m、n是腰，②m、n其中一个是腰，另一个是底边，分别求出答案即可．
【解答】解：①当m、n为腰时，m＝n，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，
∴方程有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（k+2）＝0，
解得：k＝2；
②当m和3（或n和3）是腰时，m＝3，
∵三角形不是等边三角形，
∴此时方程有两个不相等的实数根，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，
∴把m＝3代入方程得9﹣12+k+2＝0，
解得：k＝1；
所以k＝1或2，
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质等知识点，注意：等腰三角形的两腰相等．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当△＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当△＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当△＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
11．（2分）将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值为（　　）
A．1﹣
B．3﹣
C．1+
D．3+
【考点】高次方程．版权所有
【分析】先利用x2﹣x﹣1＝0得到x2＝x+1，再利用x的一次式表示出x3和x4，则x4﹣2x3+3x化为2x，然后解方程x2﹣x﹣1＝0得x＝，从而得到x4﹣2x3+3x的值．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
∴x3＝x?x2＝x（x+1）＝x2+x＝x+1+x＝2x+1，
x4＝x?x3＝x（2x+1）＝2x2+x＝2（x+1）+x＝3x+2，
∴x4﹣2x3+3x＝3x+2﹣2（2x+1）+3x
＝3x+2﹣4x﹣2+3x
＝2x，
解方程x2﹣x﹣1＝0得x1＝，x2＝，
∵x＞0，
∴x＝，
∴x4﹣2x3+3x＝2×＝1+．
故选：C．
【点评】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．
12．（2分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0
B．k≥0且k≠1
C．k≥
D．k≥且k≠1
【考点】一元二次方程的定义；根的判别式．版权所有
【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式得到k﹣1≠0且△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0，然后求出两不等式的解集的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0，
解得k≥且k≠1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
13．（2分）李治，宋元时期的数学家、诗人，著有数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中有一问题：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则方田的面积是（注：240平方步为1亩，圆周率取3计算）（　　）
A．22.5亩
B．20亩
C．17.5亩
D．15亩
【考点】数学常识；一元二次方程的应用．版权所有
【分析】设圆形水池的半径为x步，则正方形方田的边长为2（x+20）步，由水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入中即可求出结论．
【解答】解：设圆形水池的半径为x步，则正方形方田的边长为2（x+20）步，
依题意得：4（x+20）2﹣3x2＝13.75×240，
整理得：x2+160x﹣1700＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣170（不合题意，舍去）．
∴＝＝15（亩）．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2分）如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设a＝1，则b＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】一元二次方程的应用．版权所有
【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a+b），右图是一个长方形，长宽分别为（b+a+b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a+b）2＝b（b+a+b），而a＝1，代入即可得到关于b的方程，解方程即可求出b．
【解答】解：依题意得（a+b）2＝b（b+a+b），
而a＝1，
∴b2﹣b﹣1＝0，
∴b＝，而b不能为负，
∴b＝．
故选：B．
【点评】此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．
15．（2分）准备在一块长为30m，宽为24m的长方形花圃内修建四条宽度相等且与各边垂直的小路，如图所示，四条小路的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80m2，则小路的宽度为（　　）
A．1m
B．m
C．2m
D．m
【考点】一元二次方程的应用．版权所有
【分析】设小路的宽度为xm，则四条小路的长为（30+4x+24+4x）m，根据四条小路所占面积为80m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽度为xm，则四条小路的长为（30+4x+24+4x）m，
依题意，得：x（30+4x+24+4x）＝80，
整理，得：4x2+27x﹣40＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣8（不合题意，舍去）．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．（2分）已知代数式x2﹣5x+7，当x＝m时，代数式有最小值q．则m和q的值分别是（　　）
A．5和3
B．5和
C．﹣
D．
【考点】非负数的性质：偶次方；配方法的应用．版权所有
【分析】利用配方法得到：x2﹣5x+7＝（x﹣）2+．利用非负数的性质作答．
【解答】解：因为x2﹣5x+7＝（x﹣）2+7﹣＝（x﹣）2+，
所以当x＝时，q有最小值，
∴m和q的值分别是，，
故选：D．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
17．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（　　）
A．2s
B．3s
C．4s
D．5s
【考点】一元二次方程的应用．版权所有
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【解答】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
18．（2分）方程?（x﹣2）＝0的解为（　　）
A．无解
B．x＝1
C．x＝2
D．x1＝1，x2＝2
【考点】无理方程．版权所有
【分析】根据已知方程得出＝0或x﹣2＝0，求出x，再进行检验即可．
【解答】解：∵?（x﹣2）＝0，
∴＝0或x﹣2＝0，
解得：x＝1或2，
检验：当x＝2时，没有意义，
所以方程的解是x＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了解无理方程，能根据已知方程得出＝0或x﹣2＝0是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
19．（2分）方程+＝1的实数根的个数是（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【考点】无理方程．版权所有
【分析】把原方程变形为+＝1，利用换元法和完全平方公式，化简方程并讨论求解．
【解答】解：原方程可变形为+＝1，
设＝y，则x+2＝y2
∴+＝1
即+＝1，
∴|y﹣3|+|y﹣5|＝1
①当0≤y＜3时，
3﹣y+（5﹣y）＝1，
解得y＝，
由于y的值不在当y＜3的范围内，不合题意．
②当3≤y＜5时
y﹣3+5﹣y＝1，此时方程无解；
③当y≥5时，
y﹣3+y﹣5＝1，
解得y＝，
由于y的值不在当y≥5的范围内，不合题意．
综上原方程无解．
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式、二次根式的化简和分类讨论的思想．发现方程特点利用完全平方公式和换元法是解决本题的关键．
20．（2分）设n，k为正整数，A1＝，A2＝，A3＝…Ak＝，已知A100＝2005，则n＝（　　）
A．1806
B．2005
C．3612
D．4011
【考点】规律型：数字的变化类；无理方程．版权所有
【分析】利用多项式的乘法把各被开方数进行计算，然后求出A1、A2、A3，的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k＝100代入进行计算即可求解．
【解答】解：∵（n+3）（n﹣1）+4＝n2+2n﹣3+4＝n2+2n+1＝（n+1）2，
∴A1＝＝n+1，
（n+5）A1+4＝（n+5）（n+1）+4＝n2+6n+5+4＝n2+6n+9＝（n+3）2，
∴A2＝＝n+3，
（n+7）A2+4＝（n+7）（n+3）+4＝n2+10n+21+4＝n2+10n+25（n+5）2，
A3＝＝n+5，
…
依此类推Ak＝n+（2k﹣1），
∴A100＝n+（2×100﹣1）＝2005，
解得n＝1806．
故选：A．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，对被开方数整理，求出A1、A2、A3，从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键．
二．填空题（共11小题，满分33分，每小题3分）
21．（3分）方程mx2﹣3x＝x2﹣mx+2是一元二次方程，则m应满足的条件为　m≠1　．
【考点】一元二次方程的定义．版权所有
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可确定出m的值．
【解答】解：方程整理得：（m﹣1）x2+（m﹣3）x﹣2＝0，
由题意得：m﹣1≠0，即m≠1，
故答案为：m≠1
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
22．（3分）已知x＝1是关于x的方程ax2+bx﹣2＝0的一个根，则2a+2b+3＝　7　．
【考点】一元二次方程的解．版权所有
【分析】将x＝1代入方程得出a+b＝2，再整体代入计算可得．
【解答】解：将x＝1代入方程，得：a+b﹣2＝0，即a+b＝2，
原式＝2a+2b+3＝2（a+b）+3＝2×2+3＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解得概念及整体代入思想的运算．
23．（3分）在△ABC中，BC＝2，AC＝，AB＝b，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则∠A的度数是　30°　．
【考点】根的判别式．版权所有
【分析】由根的判别式求出AB＝b＝4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出AC的长，进而解直角三角形求得∠A．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝0，即（﹣4）2﹣4b＝0，
∴b＝4．
∴AB＝4，
∵AC?＝（）?＝12，BC2＝2?＝4，AB?＝4?＝16，
∴AC2+BC2＝AB2＝16，
∵△ABC为直角三角形，
∵sinA＝，
∴∠A＝30°．
故答案是：30°．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＝0，方程有两个相等的实数根；还考查了利用勾股定理逆定理判定直角三角形．
24．（3分）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个根，则m2+2m+n等于　0　．
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．版权所有
【分析】由于m、n是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m+n＝﹣1，mn＝﹣1，而m是方程的一个根，可得m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，那么m2+2m+n＝m2+m+m+n，再把m2+3m、m+n的值整体代入计算即可．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两个根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣1，
∵m是x2+x﹣1＝0的一个根，
∴m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1+（m+n）＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
25．（3分）已知m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+mn+3m+n＝　﹣2　．
【考点】根与系数的关系．版权所有
【分析】根据根与系数的关系及方程的解的定义得出m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，m2+2m＝2021，代入原式＝m2+2m+mn+（m+n）计算可得．
【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，m2+2m＝2021，
∴m2+mn+3m+n＝m2+2m+mn+（m+n）＝2021﹣2021﹣2＝﹣2．
故答案是：﹣2．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
26．（3分）有长为30m的篱笆，如图所示，一面靠墙（墙足够长），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当花圃的面积是72m2时，则AB＝　4m或6m　．
【考点】一元二次方程的应用．版权所有
【分析】设AB长为xm，则BC长为（30﹣3x）m，根据矩形的面积公式结合花圃的面积是72m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设AB长为xm，则BC长为（30﹣3x）m，
根据题意得：x（30﹣3x）＝72，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6．
答：AB的长4m或6m．
故答案是：4m或6m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．（3分）若m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，则代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值为　10　．
【考点】一元二次方程的解．版权所有
【分析】根据一元二次方程解的意义将m代入求出m2﹣m＝5，进而将方程两边同时除以m进而得出答案．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣5＝0的一个实数根，
∴m2﹣m＝5，
m﹣1﹣＝0，
故m﹣＝1，
则（m2﹣m）（m﹣+1）
＝5×2
＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键．
28．（3分）某企业年初受疫情影响，第一季度的销售额为400万元，由于我国控制疫情措施得力，该企业第二、三季度销售额连续增长，第三季度销售额达到了900万元，则二、三季度的平均增长率为　50%　．
【考点】一元二次方程的应用．版权所有
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．
【解答】解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：400（1+x）2＝900．
解得：（1+x）2＝，
所以1+x＝±1.5．
所以x1＝0.5，x2＝﹣2.5（舍去）．
故x＝0.5＝50%．
即：这个增长率为50%，
故答案为：50%．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．
29．（3分）若方程x2﹣3x+1＝0的根也是方程x4+ax2+bx+c＝0的根，则a+b+2c＝　﹣5　．
【考点】一元二次方程的解；高次方程．版权所有
【分析】设m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根．根据方程解的意义知，m既满足方程x2﹣3x+1＝0，也满足方程x4+ax2+bx+c＝0，将m代入这两个方程，并整理，得（9+a）m2+（﹣6+b）m+c+1＝0．从而可知：方程x2﹣3x+1＝0的两根也是方程（9+a）x2+（﹣6+b）x+c+1＝0的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．
【解答】解：设m是方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则m2﹣3m+1＝0，所以m2＝3m﹣1．
由题意，m也是方程x4+ax2+bx+c＝0的根，所以m4+am2+bm+c＝0，
把m2＝3m﹣1代入此式，得（3m﹣1）2+am2+bm+c＝0，整理得（9+a）m2+（﹣6+b）m+c+1＝0．
从而可知：方程x2﹣3x+1＝0的两根也是方程（9+a）x2+（﹣6+b）x+c+1＝0的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有（9+a）x2+（﹣6+b）x+c+1＝k（x2﹣3x+1）（其中k为常数），
所以9+a＝k，﹣6+b＝﹣3k，c+1＝k．
所以a＝k﹣9，b＝﹣3k+6，c＝k﹣1，
因此，a+b﹣2c＝k﹣9+（﹣3k+6）+（2k﹣1）＝﹣5．
故答案为﹣5．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为求（9+a）x2+（﹣6+b）x+c+1＝k（x2﹣3x+1）（其中k为常数）的相应的系数间的关系．
30．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个实数根，则a2+b+1的值为　5　．
【考点】根与系数的关系．版权所有
【分析】先证明a2+b＝b2+a，再根据根与系数的关系计算a2+b即可得出答案．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，
∴a2﹣a＝3，b2﹣b＝3，
两式相减可得：a2﹣a﹣b2+b＝0，即a2+b＝b2+a，
由根与系数的关系可得：a+b＝1，ab＝﹣3，
a2+b+b2+a＝（a+b）2﹣2ab+（a+b）＝1+6+1＝8，
∴a2+b＝b2+a＝4，
故a2+b+1＝5．
故答案是：5．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．
31．（3分）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过　3　秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．
【考点】一元二次方程的应用．版权所有
【分析】根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可．
【解答】解：根据题意，知BP＝AB﹣AP＝6﹣t，BQ＝2t．
根据三角形的面积公式，得
PB?BQ＝××6×8，
2t（6﹣t）＝18，
（t﹣3）2＝0，
解得t＝3．
故经过3秒钟△PQB的面积等于△ABC面积的．
故答案是：3．
【点评】考查了一元二次方程的应用，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用直角三角形的面积公式列方程求解．
三．解答题（共9小题，满分77分）
32．（12分）用适当的方法解下列方程：
（1）3x2﹣6x+1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣1）2；
（3）x2﹣x＝﹣1．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣因式分解法．版权所有
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可；
（3）先整理方程，再利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵a＝3，b＝﹣6，c＝1，
∴△＝（﹣6）2﹣4×3×1＝24＞0，
则x＝＝＝，
即x1＝，x2＝；
（2）∵（2x﹣1）2＝（x﹣1）2，
∴2x﹣1＝x﹣1或2x﹣1＝1﹣x，
解得x1＝0，x2＝；
（3）方程整理，得：x2﹣4x+4＝0，
则（x﹣2）2＝0，
∴x﹣2＝0，
则x1＝x2＝2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
33．（6分）若m是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，求代数式的值．
【考点】一元二次方程的解．版权所有
【分析】先解一元二次方程，求出m的值，化简代数式后代入求值．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣15＝0，
∴（x﹣5）（x+3）＝0．
∴x＝5或x＝﹣3．
由于m是方程的一个根，所以m＝5或﹣3．
∵
＝×﹣2
＝×﹣2
＝﹣2（3+m）﹣2
＝﹣6﹣2m﹣2．
当m＝5时，原代数式无意义；
当m＝﹣3时，原式＝﹣6﹣2×（﹣3）﹣2
＝0﹣2
＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程及有理数的混合运算，掌握一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键．
34．（6分）关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是3，求它的另一个根和k的值．
【考点】一元二次方程的解．版权所有
【分析】先设它的另一个根是a，根据根与系数的关系可得3a＝﹣6，解可求a，再把x＝3代入方程易求k．
【解答】解：设它的另一个根是a，则
3a＝﹣6，
解得a＝﹣2，
把x＝3代入方程，得
9+3k﹣6＝0，
解得k＝﹣1．
答：它的另一个根是﹣2，k的值为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系．
35．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0．
（1）求证：无论m取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且：x12+x22﹣2x1x2＝13，求m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．版权所有
【分析】（1）只要证明△＞0恒成立即可；
（2）由题意可得，x1+x2＝m﹣2，x1x2＝﹣m，进行变形后代入即可求解．
【解答】解：（1）证明：∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，
∴△＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2+4＞0，
∴无论m为任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，方程的两实根为x1、x2，
∴x1+x2＝m﹣2，x1x2＝﹣m，
又，
∴，
∴（m﹣2）2﹣4×（﹣m）＝13，
解得，m1＝3，m2＝﹣3，
即m的值是3或﹣3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的存在条件的应用，属于基础试题．
36．（7分）已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．
（2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
【考点】根与系数的关系；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．版权所有
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB＝AC，②AB＝BC，③BC＝AC；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k的值；
（2）根据题意得出AB、AC的长，再由根与系数的关系得出k的值．
【解答】解：（1）∵△ABC是等腰三角形；
∴当AB＝AC时，△＝b2﹣4ac＝0，
∴（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）＝0，
4k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8＝0，
方程无解，
k不存在；
当AB＝BC时，即AB＝5，
∴5+AC＝2k+3，5AC＝k2+3k+2，
解得k＝3或4，
∴AC＝4或6
∴△ABC的周长为14或16；
（2）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC＝5，
∴AB2+AC2＝25，
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，
∴AB+AC＝2k+3，AB?AC＝k2+3k+2，
∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB?AC，
即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，
解得k＝2或﹣5（不合题意舍去）．
故k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法以及实际应用，注意分论讨论思想．
37．（8分）返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全的考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液．去市场购天时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液．
（1）当x＝80时，每瓶洗手液的价格是　8　元；当x＝150时，每瓶洗手液的价格是　7　元．
（2）若家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？
【考点】一元二次方程的应用．版权所有
【分析】（1）根据商家所给出条件进行判断，即可求得结论；
（2）根据题意确定x的取值范围，再列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵80＜100，
∴每瓶洗手液的价格是8元；
当x＝150时，每瓶洗手液的价格是：8﹣（150﹣100）÷10×0.2＝8﹣1＝7（元），
故答案为：8，7；
（2）①0≤x≤100时，8×100＝800＜1200（舍去）；
②∵，解得，x＝250，
∴当100＜x≤250时，．
解得，x1＝200，x2＝300（舍去），
③当x＞250时，1200÷5＝240（舍去）．
答：一共购买了200瓶洗手液．
【点评】本题主要考查了列方程解应用题，能够熟练找出题中的等量关系是解答此题的关键．
38．（8分）我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中记载用几何法对一元二次方程进行求解的方法，例如：求方程x2+2x＝35正根的方法：构造出4个长为x+2，宽为x的长方形，围成一个边长为x+2+x的正方形，所以S1＝S2＝S3＝S4＝（x+2）×x，S5＝4，得到大正方形面积为4×x（x+2）+22＝4×35+4＝144，大正方边长为12，所以x＝5．
（1）请利用上面方法画出图形，求出方程x2+4x﹣15＝0的正根，并写出分析过程；
（2）你能否画出用几何法画出求方程m2﹣2m﹣5＝0正根，如果可以，请直接画出图形，标注相关信息．
【考点】数学常识；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣因式分解法；勾股定理的证明．版权所有
【分析】（1）仿照案例，构造面积是（x+x+4）2的大正方形，由它的面积为4×15+42，可求出x＝2，此题得解．
【解答】解：（1）如图，
图中大正方形的面积是（x+x+4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×15+42，据此易得x＝2．
（2）能，画出图形如图，
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，仿照案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．
39．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？
（2）当t为何值时，PQ的长度等于8cm？
（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PBQ的面积等于32cm2？
【考点】一元二次方程的应用．版权所有
【分析】（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；
（2）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可；
（3）根据题意表示出BP、BQ的长，再分三种情况，根据三角形的面积公式列方程即可．
【解答】解：根据题意知BP＝AB﹣AP＝12﹣t，BQ＝2t．
（1）根据三角形的面积公式，得
PB?BQ＝35，
t（12﹣t）＝35，
t2﹣12t+35＝0，
解得t1＝5，t2＝7．
故当t为5或7时，△PBQ的面积等于35cm2．
（2）设t秒后，PQ的长度等于8cm，根据勾股定理，得
PQ2＝BP2+BQ2＝（12﹣t）2+（2t）2＝128，
5t2﹣24t+16＝0，
解得t1＝，t2＝4．
故当t为或4时，PQ的长度等于8cm．
（3）当0＜t≤8时，
PB?BQ＝32，即×2t×（12﹣t）＝32，
则t2﹣12t+32＝0，
解得t1＝4，t2＝8．
当8＜t≤12时，
则CQ＝2t﹣16，BQ＝BC﹣CQ＝16﹣（2t﹣16）＝32﹣2t，PB＝12﹣t，
则△PBQ的面积＝PB?BQ＝×（12﹣t）×（32﹣2t）＝32，
解得：t＝20或8（均舍去）；
当12＜t≤16时，
PB?BQ＝32，
（16﹣t）（t﹣12）＝32，
t2﹣28t+224＝0，
△＝282﹣4×1×224＝﹣112＜0，
故方程无实数根．
综上所述，当t为4或8时，△PBQ的面积等于32cm2．
【点评】考查了一元二次方程的应用，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用勾股定理和直角三角形的面积公式列方程求解．
40．（12分）阅读材料题：
我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．
例如，求x2+6x+3的最小值问题．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2﹣6≥﹣6，
∴x2+6x+3的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）求代数式x2+4x+2020最小值．
（2）求代数式3x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值，并求出此时xy的值．
（3）设a＞0，求a2+的最小值，并求出此时a的值．
【考点】非负数的性质：偶次方；配方法的应用．版权所有
【分析】（1）配方后即可确定最小值；
（2）将原式分为2组：（x2﹣4xy+4y2）+（2x2+16x）+7配方后即可确定最小值；
（3）将原式变为：，然后配方确定最小值即可．
【解答】解：（1）x2+4x+2020
＝x2+4x+4+2016
＝（x+2）2+2016，
又∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2+2016≥2016，
∴代数式x2+4x+2020最小值为2016；
（2）3x2﹣4xy+4y2+16x+7
＝（x2﹣4xy+4y2）+（2x2+16x）+7
＝（x2﹣4xy+4y2）+2（x2+8x+16）﹣32+7
＝（x﹣2y）2+2（x+4）2﹣25，
∵（x﹣2y）2≥0，（x+4）2≥0，
∴（x﹣2y）2+2（x+4）2﹣25≥﹣25，
∴代数式3x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值为﹣25，此时（x﹣2y）2＝0，（x+4）2＝0，
∴x＝﹣4，y＝﹣2，
∴xy＝（﹣4）×（﹣2）＝8；
（3）∵＝＝，
又∵，
∴，
∴的最小值为8，此时，，即，
∴a＝±2，
∵a＞0，
∴a＝2．
【点评】本题考查了配方法，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键．