(共14张PPT)
3.4 圆周角 (2)
1、圆周角的定义:
2、圆周角定理:
顶点在圆上,两边都与圆相交的角。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
3、圆周角定理的推论1:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 900的圆周角所对的弦是直径。
旧知回放:
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
A
B
C
O
A
B
C
O
用于判断某个圆周角是否是直角
用于判断某条线是否过圆心
1.下列命题中是真命题的是( )
(A)顶点在圆周上的角叫做圆周角。
(B)60 的圆周角所对的弧的度数是30
(C)一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
(D)120 的弧所对的圆周角是60
2.如右图,⊙O中,∠ACB = 130 , 则∠AOB=______。
36 或144
100
D
B
A
O
C
课前检测
3.一弦分圆周成两部分,其中一部分是另一部分的4倍,则这弦所对的圆周角度数为
____________
问题: 如图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系 为什么
∠B = ∠D= ∠E
●O
B
A
C
D
E
圆周角定理的推论2:
同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;
同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
用于找相等的角
用于找相等的弧
做一做:
·
·
C
D
A
B
O
1
2
3
如图,四边形ABCD内接于⊙O.找出图中分别与∠1, ∠2 ,∠3相等的角.
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
求证:⌒ ⌒
BD=DE
证明:连结AD.
∵AB是圆的直径,点D在圆上,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴AD平分顶角∠BAC, 即∠BAD=∠CAD,
∴ ⌒ ⌒
BD= DE
(在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等).
A
B
C
D
E
O.
船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔,暗礁分布在经过A,B两点的一个弓形区域内,C表示一个危险临界点,∠ACB就是“危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时,就有可能触礁。
弓形所含的圆周角∠C=50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区
(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时,船位于哪个区域?为什么?
(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时,船位于哪个区域?为什么?
2.说出命题“圆的两条平行弦所夹的弧相等”的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗 请说明理由.
1.已知:四边形ABCD内接于圆,BD平分∠ABC,且AB∥CD.求证:AB=CD
A
B
C
D
1.如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO的中点,DE // AB,求证:
A
B
E
O
D
C
EC=2EA.
⌒ ⌒
2.已知BC为半圆O的直径,AB=AF,AC交BF于点M,过A点作AD⊥BC于D,交BF于E,则AE与BE的大小有什么关系?为什么?
如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是⌒上任意一点,延长AG,与DC的延长线相交于点F,连接AD,GD,CG,找出图中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.
AC
A
B
D
G
F
C
E
O
小结
1、本节课我们学习了哪些知识?
2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗?
练习:
如图,P是△ABC的外接圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°. 求证:△ABC是等边三角形
·
·
A
P
B
C
O
∴∠ABC=∠APC=60°
(同弧所对的圆周角相等)
∴∠BAC=∠CPB=60°。
∴△ABC等边三角形。
证明:∵∠ABC和∠APC
都是 所对的圆周角。
AC
⌒
同理,∵∠BAC和∠CPB都是 所对的圆周角,
BC
⌒