3.3垂径定理课件（24张）

(共24张PPT)
A
B
C
D
O
圆既是中心对称图形，又是轴对称图形
提问：圆是什么对称图形？
圆的轴对称形
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
或：任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（
）
●O
圆是特殊的中心对称图形，绕对称中心旋转任意角度都与原来重合。
圆的旋转不变性
O
O
O
O
O
中心对称图形
探索规律
AB是⊙O的一条弦.
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
●O
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
A
B
C
D
M└
连接OA,OB,
●O
A
B
C
D
M└
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴AC
=BC,
⌒
⌒
　AD
=BD.
探索规律
能够重合的弧叫等弧
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所
对
的两
条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵
CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD
=BD.
条件
CD为直径
CD⊥AB
CD平分弧ADB
CD平分弦AB
CD平分弧ACB
结论
探索规律
垂径定理
以下三个图,是否有
AE=BE
,
AC=BC
,
AD=BD
?
⌒
⌒
⌒
⌒
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
直径垂直弦
才能平分弦,平分弦所对的弧.
作法：
⒈
连结AB.
⒉作AB的垂直平分线
CD，　交弧AB于点E.
点E就是所求弧AB的中点．
C
D
A
B
E
例1
已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．
⌒
C
D
A
B
Ｍ
F
G
错在哪里？
1．作AB的垂直平分线CD
2．作AT、BT的垂直平分线EF、GH
Ｔ
Ｅ
Ｎ
Ｈ
Ｐ
变式：
求弧AB的四等分点．
C
D
A
B
E
F
G
m
n
强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．
例2。
一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC
．
．
O
A
B
C
应用1：垂径定理的有关计算
16
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．
练习1.如图,弦AB的长为
8
cm,圆心O到
AB
的距离为
3
cm,求⊙O的半径.
O
A
B
E
8
3
Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
练习2：ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足，若ＡＥ＝９，ＢＥ＝１，求ＣＤ的长．
９
１
应用1：垂径定理的有关计算
练习3：如图，圆O的弦AB＝8
㎝
，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
应用1：垂径定理的有关计算
4．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（
）
A．3
B．6cm
C．
cm
D．9cm
5．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（
）
A．3≤OM≤5
B．4≤OM≤5
C．3D．4．
A
B
O
M
A
应用1：垂径定理的有关计算
例3
已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB
．求证：AC=BD
．
．
O
A
B
C
M
D
应用2:垂径定理有关的证明题.
小结：
1．画弦心距是圆中常见的辅助线；
．
O
A
B
C
r
d
2
．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
应用1：垂径定理的有关计算
3．弓高，半径，弦长，弦心距之间的数量关系；
练习5.
已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
试说明：AC＝BD。
E
.
A
C
D
B
O
证明：过Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ
∵ＯＥ⊥ＡＢ
∴ＡＥ＝ＥＢ
∵ＯＥ⊥ＣＤ
∴ＣＥ＝ＥＤ
∴ＡＥ－ＣＥ＝ＥＢ－ＥＤ
即ＡＣ＝ＢＤ
应用2:垂径定理有关的证明题.
练习6
已知：⊙O中弦AB∥CD。
求证：AC＝BD
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
∟
应用2:垂径定理有关的证明题.
小结:
解决有关弦的问题，经常是
①过圆心作弦的垂线，
②作垂直于弦的直径，
③连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
.
C
D
A
B
O
M
N
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
拓展练习
．已知⊙O的直径是５０
cm，⊙O的两条平行弦AB=４０
cm
，CD=４８cm，
求弦AB与CD之间的距离。
.
A
E
B
O
C
D
20
15
25
25
24
7
.
A
E
B
O
C
D
F
F
AB、ＣＤ在点O两侧
ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２
AB、ＣＤ在点O同侧
ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８
过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ。
师生共同总结：
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3．解题的主要方法：
六、总结回顾
（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；
练习：　在⊙Ｏ中，ＡＢ．ＣＤ为互相垂直且相等的两条弦，ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｏ
Ｄ
Ｅ