第5章 特殊平行四边形单元测试卷（含解析）

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八年级数学下册
特殊平行四边形
单元测试卷
（满分100分）
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
下列命题中错误的是（
）
A.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B.
对角线相等的平行四边形是矩形
C.
一组邻边相等的平行四边形是菱形
D.
对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（
）
A.
正方形
B.
矩形
C.
菱形
D.
梯形
在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若增加一个条件，使ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（
）
A.
AB=AD
B.
AC⊥BD
C.
AC=BD
D.
∠BAC=∠DAC
如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片，使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为(
)
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
四边形ABCD的对角线相交于点O，能判定它是正方形的条件是（　　）
A.
AB=BC=CD=DA
B.
AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
C.
AC=BD，AC⊥BD且AC、BD互相平分
D.
AB=BC，CD=DA
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（
）
A.
B.
C.
D.
如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（???
）
A.
B.
C.
D.
如图，E，F分别是矩形ABCD边AD、BC上的点，BE与AF相交于G,CE与DF相交于H,且△ABG，△DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（
）
A.
15
B.
20
C.
35
D.
40
如图，点、分别在正方形的边、上，，已知（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），．则的面积（?
??）
A.
6
B.
12
C.
15
D.
30
如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH．BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE=PE；②EF=BP；③PB平分∠APG；④BP=BM，其中正确结论的个数是(
)
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形,此种检验方法依据的道理是??????????.
如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A?B?C?D?，则阴影部分的面积为??????????cm2．
如图,P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点,1=2,则P的度数为??????????.
如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则a－2的整数部分为____________．
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是?
?
?
??。
关于x的一元二次方程ax2＝4x－b有两个实数根，其中a,
b
分别表示菱形ABCD两条对角线的长度，则菱形ABCD面积的最大值为____________．
如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的顶点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,1),对角线BD与x轴平行,若直线y=kx+5+2k(k≠0)与菱形ABCD有交点,则k的取值范围是?
?
?
?
??。
如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，……，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为Sn，则S2018﹣S2017的值为____．
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分）
（6分）如图1，将一张△ABC纸片折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠加矩形.
（1）正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如果能，请在图2中画出折痕.
（2）如图3，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个三角形△ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形.
（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，过A点作AG
//
DB，交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE
//
BF；
（2）若∠G=90，求证：四边形DEBF是菱形．
（8分）如图，△ABC，AB=AC，AD为BC边上的中线.以A为圆心，BD长为半径作弧，以D为圆心，AB长为半径作弧，两弧在直线AD的右侧交于点
E.连接AE、CE.
（1）依题意补全图形；
（2）求证：四边形ADCE是矩形.
（8分）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．
???????
(1)如图①，当P点在线段AB上时，求PE＋PF的值；
(2)如图②，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值．
（6分）如图，点B、C分别在一次函数y＝2x和y＝kx（k≠0）对应的两条直线上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，求k的值．
（10分）已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．
（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；
（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；
（3）求△FCG的面积的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，说法正确，
B.对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确，
C.一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法正确，
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原来的说法错误，故本项符合题意.
2.【答案】B
【解析】解：如图，
AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD（三角形的中位线平行于第三边），
∴四边形EFGH是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
3.【答案】C
【解析】解：A、根据菱形的定义可得，当AB=AD时?ABCD是菱形；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，?ABCD是菱形；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；
D、∠BAC=∠DAC时，
∵?ABCD中，AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，
∴∠BAC=∠ACB，∴AB=BC，
∴?ABCD是菱形．∴∠BAC=∠DAC．故命题正确．
4.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，CF===4，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6
5.【答案】C
【解析】解：A、错误，只能判定为菱形；
B、错误，只能判定为菱形；
C、正确，AC⊥BD且AC、BD互相平分可判定为菱形，再由AC=BD判定为正方形；
D、错误，可以判定为筝形，但筝形不是正方形；
6.【答案】D
7.【答案】A
【解析】解：如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，
?
设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限，
∴PD=y，PC=x，
∵矩形PDOC的周长为8，
∴2（x+y）=8，
∴x+y=4，
即该直线的函数表达式是y=-x+4，
8.【答案】C
【解析】解：连接EF，
∵S△ABF=S△EBF
∴S△EFG=S△ABG=15；
同理：S△EFH=S△DCH=20
∴S阴影=S△EFG+S△EFH=15+20=35．
9.【答案】C
【解析】解：如图，将△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADH，
由旋转的性质得，AH=AE，∠DAH=∠BAE，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAD+∠BAE=90°，
∴∠EAF=∠FAH=45°，
在△AEF和△AHF中，，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴EF=HF，
∵AD=DC=6，DF=2，
∴CF=4，
设BE=DH=x，则CE=6-x，
∴EF=HF=x+2，
在Rt△CEF中，，
即，
解得x=3，即DH=3，
∴HF=5，
S△AEF=S△AHF=×HF·AD=×5×6=15．
10.【答案】A
【解析】解：如图1，根据翻折不变性可知：PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．故①③正确；
如图2中，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．
∵∠FKB=∠KBC=∠C=90°，
∴四边形BCFK是矩形，
∴KC=BC=AB，
∵EF⊥PB，∴∠BOE=90°，
∵∠ABP+∠BEO=90°，∠BEO+∠EFK=90°，
∴∠ABP=∠EFK，
∵∠A=∠EKF=90°，
∴△ABP≌△KFE（ASA），
∴EF=BP，故②正确，
如图3，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB=∠BPH，
在△ABP和△QBP中，
，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH（HL）
∴∠QBH=∠HBC，∠ABP=∠PBQ，
∴∠PBH=∠PBQ+∠QBH=∠ABC=45°，
∵MP=MB，
∴△PBM是等腰直角三角形，
∴PB=BM，故④正确；
11.【答案】对角线相等的平行四边形是矩形
12.【答案】18
【解析】解：由题意，空白部分是矩形，长为5-2=3（cm），宽为3-1=2（cm），
∴空白部分的面积=2×3=6（cm2），
∴S阴影=2SABCD-2S空白=2×3×5-2×6=18（cm2）.
13.【答案】
14.【答案】1
【解析】解：根据题意得：a2=5+10=15
∵a>0
∴a=
∵
∴
∴a的整数部分为3
∴a-2的整数部分为1
15.【答案】3
【解析】解：如图，连接CE，
，
设DE=x，则AE=8-x，
∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴CE=AE=8-x，
在Rt△CDE中，x2+42=（8-x）2
解得x=3，
∴DE的长是3．
16.【答案】2
【解析】解：∵方程方程ax2＝4x－b有两个实数根，
∴△=（-4）2-4ab≥0，
∴ab≤4，∴ab的最大值为4，
∵a,
b
分别表示菱形ABCD两条对角线的长度，
∴菱形ABCD面积的最大值为.
17.【答案】?2≤k≤?2/3
【解析】解：如图，在直线y=kx+5+2k（k≠0）中，令x=-2，则y=5，
∴直线y=kx+5+2k（k≠0）经过定点P（-2，5），
由菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），
可得C（2，2），D（4，1），
∴易得直线PD的解析式为y=-x+，直线PB的解析式为y=-2x+1，
∵直线y=kx+5+2k（k≠0）与菱形ABCD有交点，
∴k的取值范围是-2
18.【答案】2017.5
【解析】解：连接CE，
∵在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，
∴CEllBG，
∴△BGE与△BCG同底等高，
∴△BCG的面积=△BGE的面积，
∴当BC=n时，△BGE的面积记为，，
当n≥2时，，
∴
19.【答案】解：（1）如图2中，矩形EFGH即为所求作．
（2）如图3中，△ABC即为所求作．
20.【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴DF=DC，BE=AB，
∴DF∥BE，DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，∴DE∥BF；
（2）∵AG∥BD，
∴∠G=∠DBC=90°，
∴△DBC为直角三角形，
又∵F为边CD的中点．
∴BF=DC=DF，
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．
【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，又由E、F分别为边AB、CD的中点，易得DF∥BE，DF=BE，即可判定四边形DEBF为平行四边形，则可证得DE∥BF；
（2）由∠G=90°，AG∥DB，易证得△DBC为直角三角形，又由F为边CD的中点，即可得BF=DC=DF，则可证得：四边形DEBF是菱形．
21.【答案】解：（1）根据题意作图如下：
（2）连接DE，如图2，
由作图知，AE=BD，DE=AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，
∵AD为BC边上的中线．
∴BD=CD，
∴AE=CD，
∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB=AC，AD为BC边上的中线．
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．
【解析】（1）根据题意作出图形便可；
（2）由作图条件先证明ABDE是平行四边形，再证明ADCE是平行四边形，由等腰三角形的三线合一性质得∠ADC=90°，根据矩形的判定定理得结论．
22.【答案】解：（1）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，同理PE∥BD，
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=∠BPF=45°，∴PF=BF．
∴PE+PF=OF+FB=OB．
∵BC=CD=a，
∴BD==a，
∴PE+PF=a.
（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PF⊥BF，
∴PF∥AC，同理PE∥BD，
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=∠OBA=45°，∴PF=BF．
又∵OB=a，
∴PE-PF=OF-BF=OB=a．
【解析】（1）因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．
（2）因为四边形ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．
23.【答案】解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，
把点B代入直线y=2x的解析式，则点B的坐标为，则点C的坐标为，
把点C的坐标代入y=kx中得，a=k，解得k=.
【解析】设正方形的边长为a，根据正方形的性质分别表示出B，C两点的坐标，再将C的坐标代入函数解析式中从而可求得k的值．
24.【答案】解：（1）∵四边形EFGH为正方形，
∴HG=HE，∠EHG=∠D=90°，
∵∠DHG+∠AHE=90°，
∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DGH=∠AHE，
∴△AHE△DGH（AAS），
∴DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG=×FM×GC=×2×（7-6）=1；
（3）设DG=x，则由（2）得，S△FCG=7-x，
在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤，
∴S△FCG的最小值为7-，此时DG=，
∴当DG=时，△FCG的面积最小为（7-）．
【解析】（1）当四边形EFGH为正方形时，则易证△AHE△DGH，则DG=AH=2；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE△MFG，从而有FM=HA=2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2），进而可求三角形面积；
（3）先设DG=x，由（2）得S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x≤，从而可得当x=时，△GCF的面积最小．
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精品试卷·第
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