二次根式、一元二次方程总复习

二次根式、一元二次方程总复习
一．二次根式
1.二次根式的概念和性质
二次根式：
形如 (a≥ 0) 的式子叫做二次根式。a叫作被开方数。
=│a│=；
2．最简二次根式
同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．
3．同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
4．分母有理化及有理化因式
把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．
1、使代数式有意义的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、实数满足，求的值.
3、代数式的最小值为（ ）
A.0 B. C.1 D.不存在的
4．（2006，四川南充）已知a<0，那么│－2a│可化简为（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a
5．已知xy>0，化简二次根式x的正确结果为（ ）
A．
6．化简，甲，乙两位同学的解法如下
对于甲，乙两位同学的解法，正确的判断（ ）
A．甲，乙的解法都正确 B．甲正确，乙不正确
C．甲，乙都不正确 D．甲不正确，乙正确
7．如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ 的结果等于（ ）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a
8．若ab≠0，则等式－成立的条件是（ ）
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
9．（2007，连云港）已知m，n是两个连续自然数（mA．总是奇数 B．总是偶数
C．有时是奇数，有时是偶数 D．有时是有理数，有时是无理数
10．已知011．已知最简二次根式是同类二次根式，则a=______，b=_______．
12．已知实数x，y满足x2+y2－4x－2y+5=0，则的值为________．
13．观察下列分母有理化的计算：，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
+1）=________．
二次根式的特点（双重非负性 ）
被开方数a是一个非负数，即a≥0，
二次根式 是一个非负数，即 ≥0；
1、若，则的值为________。
2、若x、y都为实数，且，则=________。
3、已知实数满足等式
，求的值.
4、若，求的值.
二次根式运算
1.（1） （2）
（3） （4）
2．计算：（1）（2008，上海）计算：+（－）+。
（2）（2008，南通）计算：（3+。
3．（2008，广州）如图所示，实数a，b在数轴上的位置，化简．
4．（2006，江苏淮安）已知x=+1，求（）÷的值．
5．对于题目“化简求值：+，其中a=”，甲、乙两个学生的解答不同．
甲的解答是：+=+=+－a=
乙的解答是：+=+=+a－=a=
谁的解答是错误的？为什么？
二次根式应用
1..代数式的最小值为_____________
2.代数式的的最小值是_____________
3计算＝　　　　　　　　．
4已知求代数式的值.
5．
6．
7．
8.已知a>b>0，a+b=6，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
9.（2006，辽宁十一市）先化简，再求值：
，其中a=，b=．
二．一元二次方程
一、一元一次方程的定义
方程中只含有______未知数，并且未知数的最高次数是_______，这样的______的方程叫做一元二次方程。
1.关于x的方程中一定是一元二次方程的是
A B
C D
2.方程为关于x的一元二次方程，则m的值为＿＿＿
二、一元二次方程的一般形式
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：_____________________（ ）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．
1、已知的常数项为0，求m。
三、一元二次方程的根
能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。
1已知关于x的一元二次方程的一根是0 ，则a的值为____。
已知根，求代数式的值
若x=1是一元二次方程的根，则a+b=________.
关于x的一元二次方程有一根为0，则的值为多少？
已知m,n都是方程的根，试求的值。
已知a是方程的一个根，求
若的值。
已知两方程根的关系，求系数
1、已知方程的一个根的相反数是方程的根，求b的值。
2、两个一元二次方程有且仅有一个相同的实数根，求k的值。
已知两方程根的关系，求系数
1、已知方程的一个根的相反数是方程的根，求b的值。
三．一元二次方程的解法
重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。
类型一、直接开方法：
※对于，等形式均适用直接开方法
解方程
类型二、因式分解法:
方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
例1、方程的较大根为r，方程的较小根为s，则s-r的值为 。
例2、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）
A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2
例3、已知，则 .
例4.因式分解练习
1 ．
2 ．
3、；
4、
类型三、配方法
在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
试求代数式的最小值，并求出当x取何值时，该代数式取到最小值。
类型四、公式法
⑴条件：
⑵公式： ,
例1、在实数范围内分解因式：
（1）；
2.解一元二次方程
（1） （2）
（3） （4）
（5）、（2011年浙江省杭州市模拟）等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是 ．
【四、根的判别式和根与系数的关系】
根的判别式
【考点讲解】
根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
定根的个数：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x1，2＝；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝－；
当Δ＜0时，方程没有实数根．
1、（2011年重庆江津区七校联考）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. 　　　　B. C. 且 　　　　D. 且
2、(2011浙江杭州模拟)已知关于x的一元二次方程有解，求k的取值范围 ．
3、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)在等腰△ABC中，三边分别为、、，其中，若关于的方程有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
4、已知关于的方程。求证：无论m取什么实数，方程总有实数根
2、根与系数的关系(韦达定理)
【考点讲解】
（1）前提：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。
（2）韦达定理：：已知是一元二次方程的两根，则有
（3）应用：整体代入
【典例精析】
直接利用韦达定理
1、已知的两个根，求下列代数式的值。
2、以与为根的一元二次方程是（）
A． B．
C． D．
3、(中江县2011年初中毕业生诊断考试)设关于x的方程的两根x1、x2满足，则k的值是 .
4、已知、是关于x的方程的两个实数根，且，则=______________.
5．（2011北京四中一模）设是方程x2+2x-9＝0的两个实数根，求和的值．
6、已知关于x的一元二次方程.
（1）若是方程的一个根，求方程的另一个根；
（2）若，是方程的两个不同的实数根，且和满足，求m的值.
7.
8
9、已知a,b为整数，a>b且方程满足关系式试求所有的整数点对（a,b）
间接利用韦达定理
一、降次
已知是方程的两实数根，求的值。
已知β，α是方程的两个实数根，求代数式的值。
二、计算
已知关于x的方程有两个实数根，且2x1-x2=7,则a=_______.
已知关于x的方程有两个实数根，且3x1+2x2=7,则m=_______.
三、同方程的解
5、已知
6、实数ｓ、ｔ分别满足方程和且，求代数式的值。
四、最值问题
7、设是方程的两个实数根，当m为何值时有最小值？并求最小值。
8、设是关于x的一元二次方程的两个实根，求的最大值。
五、逆用韦达定理
11、已知关于x的方程的两个实根一个小于1，另一个大于1，求实数p的取值范围。
观察降次法
1、（2011年北京四中三模）已知m、n是方程的两根，则与的积是
2、(2011年江阴市周庄中学九年级期末考)是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2009的值为( )
A.2008 B.2009 C.2010 D.2011
3、（2011年青岛二中）设是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　　　．
4、是方程的一个根，则＝　　　　　　　　．
5.
【五、应用解答题】①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答。
（一）传播问题
1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？
3.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？
（二）平均增长率问题:变化前数量×（1x）n＝变化后数量
1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是多少？
3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？
5.为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。
（三）商品销售问题
售价—进价=利润
一件商品的利润×销售量=总利润
单价×销售量=销售额
1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ　Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。
当日产量为多少时每日获得的利润为１７５０元？
若可获得的最大利润为１９５０元，问日产量应为多少？
3.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
4.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
5.西瓜经营户以２元／千克的价格购进一批小型西瓜，以３元／千克的价格出售，每天可售出２００千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共２４元。该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
（四）面积问题
判断清楚要设什么是关键
1.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2，求两条直角边的长。
2.一个直角三角形的两条直角边相差5㎝，面积是7㎝2，求斜边的长。
3. 为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多14米，面积是3200平方米则操场的长为 米，宽为 米。
4.若把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，得到的矩形面积的2 倍比正方形的面积多11cm2，则原正方形的边长为 cm.
5.一张桌子的桌面长为6米，宽为4米，台布面积是桌面面积的2倍，如果将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽。
6.有一面积为54cm2的长方形，将它的一组对边剪短5cm，另一组对边剪短2cm，刚好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少
7.如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去的小正方形的边长。
8.张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了多少元钱？
9.如图，在宽为20m ，长为30m ，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551㎡。则道路的宽为
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