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第四章：平行四边形培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(
)
2.平行四边形一边的长是，则这个平行四边形的两条对角线长可以是（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
3.如图，在中，对角线，相交于点，、是对角线上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形是平行四边形的有（
）
A．
B．
C．
D．
4．若用反证法证明：若，则，需假设（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在平行四边形中，是的中点，，，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
6.如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，过BC的中点E作，垂足为F，与DC的延长线相交于点H，则的面积是（
）
A.
B.
C.
D.
7.一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为，则这个内角的度数为(
)
A.
B.
C.
D.
8．如图，在平行四边形ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论，①DE＝DF；②AG＝GF：③AF＝DF：④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
9.如图，四边形ABCD中．，，BD为的平分线，，，F分别是BD，AC的中点，则EF的长为（
）
A.
1
B.
C.
2
D.
10．如图,已知在?ABCD中,分别以AB,AD为边分别向外作等边三角形ABE和等边三角形ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A,E之间,连接CE,CF,EF,则下列结论不一定正确的是（
）
A．△CDF≌△EBC
B．∠CDF=∠EAF
C．△ECF是等边三角形
D．CG⊥AE
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．一个多边形的内角和等于1800°，则该多边形的边数n等于
12．在平面直角坐标系中，若?ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，﹣n）、B（2，3）、C（﹣m，n），则点D的坐标是
13．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”，应当先假设这个三角形中________
14.在中，于，于，若，且，，则_______
15．如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为________
16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，BC=16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间________秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）如图，在中，和的角平分线与相交于点，且点恰好落在上；（1）求证：
；（2）若，求的周长．
18（本题8分）．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
19（本题8分）如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；（2）已知，求的长．
20（本题10分）已知如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，AC为对角线，BM∥AC，过点D作
DE∥CM，交AC的延长线于F，交BM的延长线于E．（1）求证：△ADF≌△BCM；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四边形ABED的面积（用含a的代数式表示）．
21.(本题10分)在平行四边形ABCD中，点E是AD边上的点，连接BE．
（1）如图1，若BE平分∠ABC，BC＝8，ED＝3，求平行四边形ABCD的周长；
（2）如图2，点F是平行四边形外一点，FB＝CD．连接BF、CF，CF与BE相交于点G，若∠FBE+∠ABC＝180°，点G是CF的中点，求证：2BG+ED＝BC．
22（本题12分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，8），点B的坐标是（6，0），点C为AB的中点，动点P从点A出发，沿AO方向以每秒1个单位的速度向终点O运动，同时动点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿射线OB方向运动；当点P到达点O时，点Q也停止运动．以CP，CQ为邻边构造?CPDQ，设点P运动的时间为t秒．
（1）点C的坐标为
，直线AB的解析式为
．
（2）当点Q运动至点B时，连结CD，求证：．
（3）如图2，连结OC，当点D恰好落在△OBC的边所在的直线上时，求所有满足要求的t的值．
23．（本题12分）如图所示，在中，对角线，相交于点O，，E，F为直线上的两个动点（点E，F始终在的外面），且，连结，，，．（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，上述结论还成立吗？若呢？
（3）若平分，，求四边形的周长．
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第四章：平行四边形培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：A
解析：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，也又是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
2.答案：D
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=AC，OB=BD，
A、∵AC=4cm，BD=6cm，
∴OA=2cm，OB=3cm，
∴OA+OB=5cm＜12cm，不能组成三角形，故不符合；
B、∵AC=6cm，BD=10cm，
∴OA=3cm，OB=5cm，
∴OA+OB=8cm＜12cm，不能组成三角形，故不符合；
C、∵AC=12cm，BD=12cm，
∴OA=6cm，OB=6cm，
∴OA+OB=12cm=12cm，不能组成三角形，故不符合；
D、∵AC=12cm，BD=14cm，
∴OA=6cm，OB=7cm，
∴OA+OB=13cm＞12cm，能组成三角形，故符合；
故选D．
3.答案：B
解析：A、∵，
∴AO=CO，
由于四边形ABCD是平行四边形，则BO=DO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B、不能证明四边形DEBF是平行四边形；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，又∠ADE=∠CBF，
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；
D、同C可证：△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形；
故选：B．
4.答案：C
解析：反证法证明“若a＞b＞0，则”时，假设，
故选：C．
5.答案：D
解析：∵M为CD中点，
∴CM=DM=CD=AB=BC=AD，
∴∠DAM=∠DMA，∠CBM=∠CMB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠C=2∠DMA，∠D=2∠CMB，
∴∠DMA+∠CMB=（∠C+∠D）=90°，
∴∠AMB=180°-（∠DMA+∠CMB）=90°
即△MAB为直角三角形，
∵BM=a，AM=b，
∴CD=AB=，
故选：D．
6.答案：A
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴,,，
∵E为BC中点，
∴，
∵,，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
在和中，
∴△BFE≌△CHE(SAS)，
∴，，
∵，
∴．
故选A．
7.答案：B
解析；设这是一个n边形，这个内角的度数为x度．
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，又n为正整数，
∴，
所以多边形的内角和为，
即这个内角的度数是．
故选B．
8.答案：B
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，即AB∥CE，
∴∠ABF＝∠E，
∵DE＝CD，
∴AB＝DE，
在△ABF和△DEF中，
∵，
∴△ABF≌△DEF（AAS），
∴AF＝DF，BF＝EF；
可得③⑤正确，
故选：B．
9.答案：A
解析：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
连接BF并延长交AD于G，
∵
∴，
∵是AC的中点，
∴，
∵，
∴△AFG≌△CFB(ASA)，
∴，
∴，
∵是BD的中点，
∴．
故选：A．
10．答案：D
解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC，AD=BC，CD=AB，
∵△ABE、△ADF都是等边三角形，
∴AD=DF，AB=EB，∠ADF=∠ABE=60°，
∴DF=BC，CD=BE，
∠CDF=360°-∠ADC-60°=300°-∠ADC，∠EBC=360°-∠ABC-60°=300°-∠ABC，
∴∠CDF=∠EBC，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故A中结论正确；
（2）∵在平行四边形ABCD中，∠DAB=180°-∠ADC，
∴∠EAF=∠DAB+∠DAF+∠BAE=180°-∠ADC+60°+60°=300°-∠ADC，
又∵∠CDF=300°-∠ADC，
∴∠CDF=∠EAF，故B中结论正确；
（3）∵在△CDF和△EAF中，DF=AF，∠CDF=∠EAF，DC=AB=AE，
∴△CDF≌△EAF，
∴EF=CF，
∵△CDF≌△EBC，
∴CE=CF，
∴EF=CE=CF，
∴△ECF是等边三角形，故C正确；
（4）∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴当CG⊥AE时，∠ABG=30°，
则此时∠ABC=180°-∠ABG=150°，
∵由题中条件无法确定∠ABC的度数，
∴D中结论不一定成立.
故选D.
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：12
解析：因为多边形的内角和公式为（n﹣2）?180°，
所以（n﹣2）×180°＝1800°，
解得n＝12．
则该多边形的边数n等于12．
故答案为：12．
12.答案：（﹣2，﹣3）
解析：∵A（m，﹣n），C（﹣m，n），
∴点A和点C关于原点对称，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D和B关于原点对称，
∵B（2，3），
∴点D的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为（﹣2，﹣3）
13.答案：三角形中每一个内角都小于60°
解析:
用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都小于60°．
故答案为：三角形中每一个内角都小于60°
14.答案：
解析：∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BFD=∠BED=∠BFC=∠BEA=90°，
∵∠EBF=60°，
∴∠D=120°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCD=∠A=60°，
∵在△ABE中，∠ABE=30°，
∴AB=2AE=2×3=6，
∴CD=AB=6，BE=，
∴CF=CD-DF=6-2=4，
∵在△BFC中，∠CBF=30°，
∴BC=2CF=2×4=8，
∴CE=，
故答案为：．
15.答案：
解析：连结BB′.根据已知条件和折叠的性质易知△BB′E是等腰直角三角形且∠BEB′＝90°.
∵BD＝2，所以BE＝1，
∴BB′＝.
又∵BE＝DE，B′E⊥BD，
∴B′E是BD的中垂线，
∴DB′＝BB′＝
16.答案：2或
解析：由已知梯形，
当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：=6-t，
解得：t=，
当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：-2t=6-t，
解得：t=2，
故当运动时间t为2或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为2或
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17解析：分别平分和
，
平分
同理可证
18.解析：（1）∵BF=DE，
∴，
即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在Rt△ABE与Rt△CDF中，
,
∴（HL）；
（2）如图，连接AC交BD于O，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴．
19.解析：（1）∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形，都是平行四边形，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在中，．
20.解析：（1）在平行四边形ABCD中，则AD＝BC，AD//BC，
∵AC∥BM，∴∠AFD＝∠E，∠DAF=∠ACB，
∵CM∥DE，∴∠BMC＝∠E，
∴∠BMC＝∠AFD，
∵AC∥BM，
∴∠ACB=∠MBC，
∴∠FAD＝∠MBC，
则在△ADF与△BCM中．
，
∴△ADF≌△BCM（AAS）．
（2）解：在△ACD中，
∵AC⊥CD，∠ADC＝60°，
∴CD＝AD＝a，
则AC＝a，
∵AC=2CF，
∴CF=a，
∴AF＝=
=a，
又由△ADF≌△BCM，可得BM＝a，
又∵DE∥CM，BM∥AC，
∴CFEM为平行四边形，
∴EM=CF=a，
∴BE=BM+EM=a+a=a，
又∵AC⊥DC，
∴DC为△ADF高，
又∵△ADF≌△BCM，
∴△ADF的高的长度等于DC，
SABED＝S△ADF＋SABEF
＝?AF?CD＋（AF＋BE）?CD
＝×a×
a＋（a＋a）×a
＝a2．
21.解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝8，AB＝CD，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，
∵AE＝AD﹣ED＝BC﹣ED＝8﹣3＝5，∴AB＝5，
∴平行四边形ABCD的周长＝2AB+2BC＝2×5+2×8＝26；
（2）连接CE，过点C作CK∥BF交BE于K，如图2所示：
则∠FBG＝∠CKG，
∵点G是CF的中点，∴FG＝CG，
在△FBG和△CKG中，
∵
，
∴△FBG≌△CKG（AAS），
∴BG＝KG，CK＝BF＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，∠BAE+∠D＝180°，AB＝CD＝CK，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠BCE，∠AEB＝∠KBC，
∵∠FBE+∠ABC＝180°，
∴∠FBE+∠D＝180°，
∴∠CKB+∠D＝180°，
∴∠EKC＝∠D，
∵∠BAE+∠D＝180°，
∴∠CKB＝∠BAE，
在△AEB和△KBC中，
∵，
∴△AEB≌△KBC（AAS），
∴BC＝EB，
∴∠KEC＝∠BCE，
∴∠KEC＝∠DEC，
在△KEC和△DEC中，
∵，
∴△KEC≌△DEC（AAS），
∴KE＝ED，
∵BE＝BG+KG+KE＝2BG+ED，
∴2BG+ED＝BC．
22.解析：（1）∵点A的坐标是（0，8），点B的坐标是（6，0），点C为AB的中点，
∴点C（3，4），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+8；
故答案为：（3，4），y＝﹣x+8；
（2）如图1，连接CD，
∵四边形CBDP是平行四边形，
∴CBPD，BC＝PD，
∵点C为AB的中点，
∴AC＝BC，∴PD＝AC，
∴四边形ACDP是平行四边形，
∴CDAP；
（3）如图2，过点D作DF⊥AO于F，过点C作CE⊥BO于E，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴CQ＝PD，PDCQ，
∴∠QCP+∠DPC＝180°，
∵AOCE，
∴∠OPC+∠PCE＝180°，
∴∠FPD＝∠ECQ，
又∵∠PFD＝∠CEQ＝90°，
∴△PDF≌△CQE（AAS），
∴DF＝EQ，PF＝CE，
∵点C（3，4），点P（0，8﹣t），点Q（2t，0），
∴CE＝PF＝4，EQ＝DF＝2t﹣3，
∴FO＝8﹣t﹣4＝4﹣t，
∴点D（2t﹣3，4﹣t），
当点D落在直线OB上时，则4﹣t＝0，即t＝4，
当点D落在直线OC上时，
∵点C（3，4），
∴直线OC解析式为：y＝x，
∴4﹣t＝（2t﹣3），
∴t＝，
当点D落在AB上时，
∵四边形PCQD是平行四边形，
∴CD与PQ互相平分，
∴线段PQ的中点（t，）在CD上，
∴＝﹣t+8，
∴t＝；
综上所述：t＝4或或．
23.解析：（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
，
四边形为平行四边形．
（2），，
，
，
四边形为平行四边形．
上述结论成立，
由此可得出结论：若，，则四边形为平行四边形．
（3）在中，，
．
平分，
，
，
．
，
，
是的垂直平分线，
．
，
是等边三角形，
，
．
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