(共19张PPT)
3.1 圆
(第2课时）
问题：
车间工人要将一个如图所示的破损的圆盘复原，你有办法吗？
生活生产中的启示
1、过一点可以作几条直线？
2、过几点可确定一条直线？
过几点可以确定一个圆呢？
经过一个已知点A能确定一个圆吗
A
经过一个已知点能作无数个圆
经过两个已知点A、B能确定一个圆吗
A
B
经过两个已知点A、B能作无数个圆
经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎样的一条直线上
经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？
假设经过A、B、C三点的⊙O存在
（1）圆心O到A、B、C三点距离 （填“相等”或”不相等”）.
（2）连结AB、AC，过O点 分别作直线MN⊥AB， EF⊥AC，则MN是AB的 ；EF是AC的 .
（3）AB、AC的中垂线的交点O到B、C的距离 .
N
M
F
E
O
A
B
C
相等
垂直平分线
垂直平分线
相等
A
B
C
过如下三点能不能做圆 为什么
不在同一直线上的三点确定一个圆
已知：不在同一直线上的三点A、B、C
求作： ⊙O使它经过点A、B、C
作法：1、连接AB，作线段AB的垂直平分线MN；
2、连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
3、以O为圆心，OB为半径作圆.
所以⊙O就是所求作的圆.
O
N
M
F
E
A
B
C
现在你知道了怎样要将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？
方法:
寻求圆弧所在圆的圆心,
在圆弧上任取三点,作其
连线段的垂直平分线,其
交点即为圆心.
已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C的圆
A
B
C
O
经过三角形各个顶点的圆 叫做三角形的外接圆，外接圆 的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.
如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心
外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点
C
A
B
O
如图，请找出图中圆的圆心，并写出你找圆心的方法
A
B
C
O
画出过以下三角形的顶点的圆
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
1、比较这三个三角形外心的位置，你有何发现？
2、图二中，若AB=3，BC=4，则它的外接圆半径是多少？
（图一）
（图二）
（图三）
练一练
1.下列命题不正确的是
A.过一点有无数个圆. B.过两点有无数个圆.
C.弦是圆的一部分. D.过同一直线上三点不能画圆.
2.三角形的外心具有的性质是
A.到三边的距离相等. B.到三个顶点的距离相等.
C.外心在三角形的外. D.外心在三角形内.
某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动物园A，植物园B和人工湖C包括在内，又要使这个圆形的面积最小，请你给出这个公园的施工图.（A、B、C不在同一直线上）
植物园
动物园
人工湖
图中工具的CD边所在直线恰好垂直平分AB边，怎样用这个工具找出一个圆的圆心.
A
B
C
D
（1）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.
（2）经过一个已知点能作无数个圆.
（3）经过两个已知点A、B能作无数个圆.这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
（4）不在同一直线上的三个点确定一个圆.
（5）外接圆，外心的概念.
再见
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在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为
注意：
在应用弧长公式l 进行计算
时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,绳子的另一端拴着一只狗.
问题（1）这只狗的最大活动区域有多大 是什么图形？
问题（2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域有多大 是什么图形？
(1)这只狗的最大活动区域是圆的面积，即 ．
(2)狗的活动区域是扇形.扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应圆面积，l°的圆心角对应圆面
积的 ，即 × ＝ ， °的圆心
角对应的圆面积为 × ＝ ．
如图，扇形AOB的半径为R,∠AOB=n°
O
A
B
怎样求扇形AOB的面积
O
那么： 在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的扇形面积的计算公式为
如果圆的半径为R，则圆的面积为 ，
l°的圆心角对应的扇形面积为 ，
°的圆心角对应的扇形面积为
360
n
= πR2
l 弧
= πR
180
n
S扇形
在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n°、半径R有关系，因此l 和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗
1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S扇= .
2、已知扇形面积为 ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____．
2
3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，
则这个扇形的面积，S扇=____．
如图，有一把折扇和一把团扇.已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120°，问哪一把扇子扇面的面积大？
如图，水平放置的一个油管的横截面半径为12cm，其中有油的部分油面高6cm，求截面上有油部分的面积(结果精确到1cm2).
O
A
B
C
若求由优弧ACB和弦AB组成的阴影部分的面积，则
O
A
B
2．探索弧长及扇形的面积之间的关系，并能根据已知l、n、R、S中的两个量求另一两个量．
1．探索扇形的面积公式 ，并运用公式进行计算．
S扇形
= πR2
360
n(共17张PPT)
3.1 圆
(第1课时）
硬
币
人民币
美圆
英镑
学习目标：
（1）能说出怎样的图形叫做圆.
（2）会正确判断点与圆的位置关系.
（3）会证明几个点在同一个圆上.
试一试：
1、篮球场中间的圆是怎么画的？
2、给你一根绳、一支粉笔，你能在黑板上画一个圆吗？
在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.
以点O为圆心的圆记作：
注意：1、从圆的定义可知:圆是指圆周而不是圆面.
2、确定圆的要素是：圆心、半径.
定义一：
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定一个圆，两者缺一不可.
“⊙O”，读作：“圆O”.
A
O
战国时期的《墨经》一书中记载：“圜，一中同长也 ”.
古代的圜（huán）即圆，这句话是圆的定义，它的意思是：
圆是从中心到周界各点有相同长度的图形.
试根据圆的定义填空：
1、圆上各点到 的距离都等 于 .
2、到定点的距离等于定长的点都在 .
定点（圆心）
定长（半径的长）
圆上
定义二：
圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合.
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合.
（答：点A在圆上、点B在圆内、点C在圆外）
画一画，想一想：
2、根据图形回答下列问题：
（1）看图想一想， Rt△ABC的各个顶点与⊙B在位置上有什么关系？
（2）在以上三种关系中，点到圆心的距离与圆的半径在数量上有什么关系？
A
B
C
1、画图：已知Rt△ABC，∠B=90°，试以点B为圆心，BA为半径画圆.
A
B
C
例1：已知⊙O的半径r=2cm, 当OP 时，点P在⊙O上；当OA=1cm时，点A在 ；当OB=4cm时，点B在 .
=2cm
⊙O内
⊙O外
例2：
2、如果在同一个圆上，是在怎样一个圆上，并给予证明？如果不在同一个圆上，试说明为什么？
3、若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，E、F、G、H是在同一个圆上吗？
1、已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，
试猜想：矩形的四个顶点在同一个圆上吗？
O
C
D
B
A
O
C
D
B
A
课堂练习：
上
内部
外部
上
点A在⊙O内部
点A在⊙O上
点A在⊙O外部
２、已知⊙O的半径是5cm，A为线段OP的中点，
当OP满足下列条件时，分别指出点A与⊙O的位置关系：
当OP=6cm时， ;
当OP=10cm时， ;
当OP=14cm时， .
1、正方形ABCD的边长为3cm，以A为圆心，3cm长为半径作⊙A，则点A在⊙A ，点B在⊙A ，点C在⊙A ，点D在⊙A .
C
D
B
A
３、设AB=3厘米，画图并说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形：
⑴和点A的距离等于2厘米的点的集合；
⑵和点A的距离小于2厘米的点的集合.
（以点A为圆心，2厘米长为半径的圆）
（以点A为圆心，2厘米长为半径的圆的内部）
B
A
B
A
课堂小结：
定义一： 在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆. 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.
１、从运动和集合的观点理解圆的定义：
定义二：圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
３、证明几个点在同一个圆上的方法.
要证明几个点在同一个圆上，只要证明这几个点与一个定点的距离相等.
２、点与圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，则点P与⊙O的位置关系有：
（１）点P在⊙O上 OP=r
（２）点P在⊙O内 OP（３）点P在⊙O外 OP>r
SKT
B
A
B
A
（分别以点A、B为圆心，2厘米长为半径的⊙A和⊙ B的交点）
（分别以点A、B为圆心，2厘米长为半径的⊙A的内部与⊙ B的内部的公共部分）
（1）和点A、B的距离都等于2厘米的点的集合；
（2）和点A、B的距离都小于2厘米的点的集合.
设AB=3厘米，画图并说明具有下列性质的点的集合是怎样的图形：
思考题：
ZY
再见
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3.2 圆的轴对称性
（第1课时）
请观察下列三个银行标志有何共同点
圆的对称性
圆是轴对称图形吗？
想一想
如果是,它的对称轴是什么 你能找到多少条对称轴？
●O
你是用什么方法解决上述问题的
●O
圆的对称性
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
利用折叠的方法即可解决上述问题.
注意：
对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴.
③AM=BM,
探索规律
AB是⊙O的一条弦.
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为点M.
●O
下图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
小明发现图中有:
A
B
C
D
M└
由 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
如图,小明的理由是:
连接OA、OB,
●O
A
B
C
D
M└
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
探索规律
能够重合的弧叫等弧
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
条件
CD为直径
CD⊥AB
CD平分弧ADB
CD平分弦AB
CD平分弧ACB
结论
探索规律
分一条弧成相等的两条弧的点叫做这条弧的中点
垂径定理
作法：
1. 连接AB.
2.作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
点E就是所求弧AB的中点．
C
D
A
B
E
例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．
⌒
变式一： 求弧AB的四等分点．
C
D
A
B
E
F
G
m
n
变式一： 求弧AB的四等分点．
C
D
A
B
Ｍ
F
G
Ｔ
Ｅ
Ｎ
Ｈ
Ｐ
强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．
变式二：你能确定弧AB的圆心吗？
O
A
B
C
a
b
方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．
例2 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
思路：
∴CM=DM. ∵OA=OB， ∴AM=BM. ∴AC=BD．
．
O
A
B
C
M
D
作OM⊥AB，垂足为M.
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．
小结：
1．画弦心距是圆中常见的辅助线；
．
O
A
B
C
r
d
2 ．半径(r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
例3：如图，一条排水管的截面.已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16.求截面圆心到水面的距离OC.
·
A
B
O
C
1．已知⊙O的半径为13，一条弦的AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于 ．
24
2．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．∠COE=∠DOE B．CE=DE
C．OE=BE D．BD=BC
⌒
⌒
C
．
A
B
C
O
D
E
目标训练
3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ）
A．3 B．6cm C． cm D．9cm
4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5
C．3．
A
B
O
M
A
A
5． 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为 ．
2或14
6.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.
●O
●M
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．
3．解题的主要方法：
总结回顾
（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：
（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；
1、 已知：如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
求证：AC=BD.
E
.
A
C
D
B
O
课外练习
2、已知：如图，⊙O 中， AB为弦，C为
AB 的中点，OC交AB于点D ，AB=6cm ，
CD=1cm. 求⊙O 的半径OA.
⌒
D
O
A
B
C
例题解析
练1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8cm，
圆心O到AB的距离为3cm，求圆O的半径.
练习:在半径为50mm的圆O中，有长50mm的
弦AB，计算：
⑴点O与AB的距离；
⑵∠AOB的度数.
E
O
A
B
练习:在圆O中，直径CE⊥AB于点
D，OD=4cm，弦AC= cm ，
求圆O的半径.
练2：如图，圆O的弦AB=8cm，
DC=2cm，直径CE⊥AB于
点D，求半径OC的长.
D
C
E
O
A
B
D
C
E
O
A
B
练3：如图，已知圆O的直径AB与
弦CD相交于点G，AE⊥CD于
点E，BF⊥CD于点F，且圆O
的半径为10cm，CD=16cm，
求AE-BF的长.
练习:如图，CD为圆O的直径，弦
AB交CD于点E， ∠CEB=30°，
DE=9cm,CE=3cm，求弦AB的长.
G
E
F
A
O
B
C
D
E
D
O
C
A
B
练4：如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M， ON⊥AC于点N ，BC=4，求MN的长．
思路：由垂径定理可得M、N分别是AB、AC的中点，所以MN= BC=2．
．
A
C
O
M
N
B
练习：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC=DF
.
A
O
B
E
C
D
F
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再见(共19张PPT)
茶杯的盖子做成圆
形有什么好处呢？
思考一下
.
O
A
B
.
O
A
B
.
O
A
B
圆绕圆心旋转
.
O
A
B
.
O
B
A
.
O
B
A
.
O
A
B
.
O
A
B
180°
圆绕圆心旋转180°后仍与原来的圆重合.
所以圆是中心对称图形.
圆心就是它的对称中心.
N
O
N
O
N'
N
O
N'
N
O
N'
N
O
N'
N
O
N'
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度 ，
由此可以看出，点N'仍落在圆上.
把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合.
定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．
如图中所示， ∠NON '就是一个圆心角.
顶点在圆心的角,叫圆心角，
如 ,
圆心角 所对
的弧为AB，
过点O作弦AB的垂线, 垂足
为M,
O
A
B
M
所对的弦为AB；
OM是唯一的.
则垂线段OM的长度,即圆
心到弦的距离，叫弦心距 , 右图中，OM为AB弦的弦心距.
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
④
不是
不是
不是
是
2、下列图中弦心距作对了的是（ ）
┐
┐
①
②
③
④
④
由上分析，任意给圆心角，对应出现
四个量：
圆心角
弧
弦 弦心距
圆心角
弧
之间的关系
弦 弦心距
课题
猜想：
也就是在右图中研究不同的圆
心角 、 ，以及它们
所对的弧 , 弦 ,
弦的弦心距 OM、 之间的关
系.
1 . 射线OB与射线OB'重合吗 为什么
2 . 点A与A' ，点B与B'重合吗？
为什么？
4 . OM 与OM' 呢？为什么？
于是，若∠AOB = ∠A'OB'，
则 AB=A'B'， AB= A'B'，OM=OM' .
3 . AB与A' B' ,弦AB与弦A' B'重合吗？为什么？
将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 , 则：
如图，⊙O 和⊙O' 是等圆，
如果∠AOB= ∠ A'O'B'
那么AB=A'B' 、AB= A'B' 、OM=O'M',
为什么？
圆心角定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.
已知：如图, ∠AOB = ∠A'OB' , OM、OM'
分别是弦 AB、弦 A'B' 的弦心距.
求证： AB=A'B' , AB= A'B' , OM=OM'
证明：将∠AOB连同AB绕圆心O旋转，
使射线OA与射线OA' 重合 .
又根据弦心距的唯一性，得OM=OM′
另外，对于等圆的情况 ，因为两个等圆可
叠合成同圆，所以等圆问题可转化为同圆问题，
命题成立.
O
A
B
C
D
例1 如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径.
求证：AB=BC=CD=DA;
AB=BC=CD=DA.
⌒
⌒
⌒
⌒
∴ AB=BC=CD=DA
⌒
⌒
⌒
⌒
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90
AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
分析：要想证明在圆里面有关弧、弦相等，根据这节课所学
的圆心角定理，应先证明什么相等？
例2: 用直尺和圆规把⊙O四等分．
Ｏ
作法：
２、过点O作CD⊥AB，交⊙O于点C和点D.
∴点A、B、C、D就把⊙O四等分.
１、作⊙O的直径AB.
A
B
C
D
想一想:如何用直尺和圆规把⊙O八等分
1°弧
n°
1°
n°弧
我们把顶点在圆心的周角等分成360份,则每一份的圆心角是1 .因为在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份.我们把每一份这样的弧叫做1 的弧.
这样,1 的圆心角对着1 的弧,
1 的弧对着1 的圆心角.
n 的圆心角对着n 的弧,
n 的弧对着n 的圆心角.
性质:弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
1. 在半径相等的⊙O和⊙O 中，AB和 A B 所对的圆心角都是60°.
(1)AB和 A B 各是多少度？
(2)AB和 A B 相等吗？
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
2. 若把圆5等分，那么每一份弧是多少度？若把圆8等分，那么每一份弧是多少度？
再见
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圆的对称性
圆的轴对称性（圆是轴对称图形）
垂径定理及其推论
圆的中心对称性？
圆心角定理
圆心角定理 : 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.
1.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.
2.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距相等.
3.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等，弦所对的圆心角相等，所对的弧相等.
B
E
D
A
F
C
O
1.逆命题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.
已知: AB=CD
求证 : ∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF
1.逆定理
B
E
D
A
F
C
O
已知: AB=CD
求证 : ∠AOB=∠COD
AB=CD OE=OF
2.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距相等.
2.逆定理
3.逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等,弦所对的圆心角相等，所对的弧相等.
3.逆定理
推论：(圆心角定理的逆定理)
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等.
1、已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：
（1）如果AB=CD，那么
_____________,________,____________.
（2）如果OE=OF，那么
_____________,________,____________.
（3）如果AB=CD，那么
______________,__________,____________.
（4）如果∠AOB=∠COD，那么
_________,________,_________.
⌒
⌒
∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD
⌒
⌒
∠AOB=∠COD AB=CD OE=OF
OE=OF AB=CD AB=CD
⌒
⌒
O
A
B
下面的说法正确吗 为什么
如图,因为
，
根据圆心角、弧、弦、
弦心距的关系定理可知：
例1 如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，点P在圆外，以
点O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于点A、B和点C、D.
求证：AB=CD
分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距OM、ON，
证明: 作 , 垂足分别为点M 、 N .
OM=ON
AB=CD
.
P
A
B
E
C
M
N
D
F
要证AB=CD ，只需证OM=ON.
O
.
P
B
E
D
F
O
A
C
.
如图，P点在圆上，PB=PD吗？
P点在圆内，AB=CD吗？
思考：
P
B
E
M
N
D
F
O
M
N
例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连接OA,OB,OC．
O
C
B
A
⑴ ∠AOB 、∠COB、 ∠AOC分别为多少度？
D
P
⑵延长AO，分别交BC于
点P，交BC于点D,连接BD、CD.判断三角形OBD是哪一种特殊三角形？
例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连接OA,OB,OC．
O
C
B
A
D
P
⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。
⑷若⊙O的半径为r,求等边ABC三角形的边长？
⑸若等边三角形ABC的边长r,求⊙O的半径为多少？
当r= 时求圆的半径
例3：⑴如图，顺次连接⊙O的两条直径
AC和BD的端点，所得的四边形是什么特殊四边形？
O
D
C
B
A
⑵如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？
O
D
C
B
A
O
D
C
B
A
如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？
如果这根原木长15m，问锯出地木材地体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD．
求证：AD=BC
O
C
B
A
D
·
O
C
B
A
已知等边三角形ABC的边长为 ．求它的外接圆半径． (共19张PPT)
3.4圆周角
（第2课时）
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
1、圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
一、旧知回放:
2、圆心角与所对的弧的关系
3、圆周角与所对的弧的关系
4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即∠ABC= ∠AOC.
1、100 的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______.
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________.
3、如图1，在⊙O中，∠BAC=32 ，则∠BOC=________.
4、如图2，⊙O中，∠ACB = 130 ，则∠AOB=______.
5、下列命题中是真命题的是（ ）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角
（B）60 的圆周角所对的弧的度数是30
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
（D）120 的弧所对的圆周角是60
课前测验
B
100
50
36 或144
64
100
D
A
O
C
B
图1
A
O
C
图2
问题讨论
问题1：如图1,在⊙O中，∠B、∠D、∠E的大小有什么关系 为什么
图1
问题2：如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗
B
A
O
C
图2
问题3：如图3，圆周角∠BAC =90 ，弦BC经过圆心O吗？为什么？
∠B = ∠D= ∠E
∠BAC =90
●O
B
A
C
D
E
●O
B
C
A
图3
问题解答
1、圆周角定理的推论1：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
2、圆周角定理的推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
用于找相等的角
用于找相等的弧
用于判断某个圆周角是否是直角
用于判断某条线是否过圆心
例2
已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于点D,交AC于
点E. 求证：
⌒ ⌒
BD=DE
证明：连接AD.
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD，
∴ ⌒ ⌒
BD= DE
（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）.
A
B
C
D
E
练习：
如图，P是△ABC的外接圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°.求证：△ABC是等边三角形
·
·
A
P
B
C
O
证明：∵∠ABC和∠APC
都是弧AC所对的圆周角.
∴∠ABC=∠APC=60°
(同弧所对的圆周角相等）
同理，∵∠BAC和∠CPB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB=60°.
∴△ABC等边三角形.
A
B
E
C
P
O
例3: 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图，点A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁.
弓形所含的圆周角∠C=50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区
（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？
A
B
E
C
P
O
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°，求这个人工湖的直径.
A
B
C
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°，求这个人工湖的直径.
A
B
C
D
1.说出命题“圆的两条平行弦所夹的弧相等”的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗？请说明理由.
2.已知：四边形ABCD内接于圆，BD平分∠ABC，且AB∥CD.求证：CB=CD.
A
B
C
D
如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线相交于点F，连接AD、GD、CG，找出图中所有和∠ADC相等的角，并说明理由.
A
B
D
G
F
C
E
O
A
B
E
O
D
C
1.如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE // AB，求证：EC=2EA.
⌒ ⌒
2.已知BC为半圆O的直径，AB=AF，AC交BF于点M，过A点作AD⊥BC于点D，交BF于点E，则AE与BE的大小有什么关系？为什么？
B
C
O
A
F
M
D
E
小结与作业
1、本节课我们学习了哪些知识？
2、圆周角定理及其推论的用途你都知道了吗？
再见
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S
B
A
O
3.6 圆锥的侧面积和全面积
认识圆锥
想一想
圆锥知多少
O
S
A
A2
A1
想一想
圆锥知识知多少
与同伴交流圆锥的有关概念
圆锥的高(h)
圆锥的底面圆的半径(r)
圆锥底面圆的周长(c=2πr)面积(S =πr2)
圆锥的母线(l)
圆锥底的侧面积,全面积
α
l
h
c=2πr
S=πr2
r
如图,设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么,这个扇形的半径(R)为 ，扇形的弧长(L)为 ，因此圆锥的侧面积(S侧)为
；若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积(S侧)为
.
圆锥的母线l
圆锥的侧面展开图是什么图形？
做一做
根据扇形与圆锥之间的关系填空：
圆锥的侧面积
圆锥的母线与底面周长积的一半
是一个扇形.
圆锥底面的周长
圆锥的母线与扇形弧长积的一半
O
P
A
B
r
h
l
演示圆锥侧面展开图
例1、根据下列条件求圆锥侧面积展开图的圆心角（r、h、l分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）
（1）l = 2，r = 1 (2) h = 3, r = 4 (3) l = 10, h = 8
∵ l = 2，r = 1
∴ S圆锥侧=πr l=2π
(2)∵ h= 3，r = 4
∴
∴ S圆锥侧=πr l=20π
(3)∵ l = 10，h = 8
∴ S圆锥侧=πr l=60π
r
h
l
例2、已知圆锥的底面半径为2cm，高线长为1.5cm.画出这个圆锥的侧面（表）展开图.
解：由 得
∴圆锥侧面展开图圆心角的度数为
例3、已知圆锥的轴截面是正三角形，
圆锥的高线为 cm,求圆锥的表面积.
6
3
解：由正三角形可得
l = 2r
∵ l2 = r2 + h2
O
P
A
B
r
h
l
例4、根据圆锥的下面条件，求它的侧面积和表面积
（1）r = 12cm, l = 20cm （2）h = 12cm, r = 5cm
例5、已知一个圆锥与一个圆柱等底等高，且圆锥的轴截面是正三角形，求S圆柱侧：S圆锥侧.
解：设圆锥的底面半径为r，则母线长为2r，高线长
圆柱的底面半径为r，高线长
3
r
3
r
例6、如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
A
B
C
3、如图，若圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个展开图的圆心角是___度；圆锥底半径r与母线l的比r ：l = ___ ；这个圆锥轴截面的顶角是___度.
l
r
h
B
A
O
S
1、若圆锥的底面半径r = 4cm，高线h = 3cm，则它的侧面展开图中扇形的圆心角是 —— 度.
2、若圆锥的母线l = 10cm，高h = 8cm，则其侧面展开图中扇形的圆心角是 —— 度.
288
216
180
1:2
60
做一做
试一试：
童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥形帽身的母线长为15cm，底面半径为5cm，生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗（不计接缝用料，π取3.14，结果保留两个有效数字）？
.
解:∵ l =15cm，r =5cm，
∴S圆锥侧 =π×15×5 ≈3.14×15×5 =235.5（cm 2 )
235.5×10000 = 2355000 (cm 2) ≈ 2.4×10 2 (m2)
答：至少需 2.4×102平方米的材料.
1.直角三角形ABC中，∠C = 900，AC = 4，BC = 3，求以一边所在直线为轴，其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体的表面积.
2.用圆心角为90o，面积为16π的扇形卷成一个圆锥，求这个圆锥的高线长.
数学闯关题
小 结
想一想：若圆锥的侧面展开图是半圆，则这个
圆锥轴截面的顶角是多少度？
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再见(共21张PPT)
3.2 圆的轴对称性
（第2课时）
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
条件
CD为直径
CD⊥AB
CD平分弧ADB
CD平分弦AB
CD平分弧ACB
结论
知识回顾
②CD⊥AB,
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由.
过点M作直径CD.
●O
下图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么
小明发现图中有:
C
D
由 ① CD是直径
③ AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
●
M
A
B
┗
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
规律探索
讨论
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
（3）
（1）
（2）
（4）
（5）
（2）
（3）
（1）
（4）
（5）
（1）
（4）
（3）
（2）
（5）
（1）
（5）
（3）
（4）
（2）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB
求证：CD⊥AB，AD=BD，AC=BC
⌒
⌒
⌒
⌒
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，
求证：CD是直径，AD=BD，AC=BC.
⌒
⌒
⌒
⌒
命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
已知：CD是直径，AB是弦，并且AD=BD （AC=BC）
求证：CD平分AB，AC=BC（AD=BD），CD⊥AB
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
.
O
A
E
B
D
C
你可以写出相应的命题吗
相信自己是最棒的!
定理的逆定理
如图,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径,
③ AM=BM,
② CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
注意
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
定理及逆定理
条件 结论 定理及逆定理
①② ③④⑤
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
●O
A
B
C
D
M└
赵州石拱桥
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).
你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？
例题
船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
相信自己能独立完成解答.
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.
（2）平分弦的直线，必定过圆心.
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦.
A
B
C
D
O
(1)
A
B
C
D
O
(2)
A
B
C
D
O
(3)
判断
（4）弦的垂直平分线一定是圆的直径.
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.
（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.
A
B
C
O
(4)
A
B
C
D
O
(5)
A
B
C
D
O
(6)
E
挑战自我定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗
老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:
●O
A
B
C
D
1.两条弦在圆心的同侧
●O
A
B
C
D
2.两条弦在圆心的两侧
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
试一试
挑战自我填一填
1.判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
⑶圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
√
√
试一试
挑战自我画一画
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为点E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有:
.
F
E
O
M
N
A
B
C
D
AE=BE,CF=FD,OM=ON
试一试
挑战自我画一画
3.如图,圆O与矩形ABCD交于点E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
·
A
B
C
D
O
E
F
G
H
课堂小结
1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或
经过圆心的每一条直线.
2、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
CD平分弧ADB
CD平分弦AB
CD平分弧ACB
CD过圆心
CD⊥AB
C
D
B
A
O
推论（1）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对和的另一条弧
推论（2）
圆的两条平行弦所夹的弧相等
小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
.
C
D
A
B
O
M
N
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
.
A
O
B
E
C
D
F
思考题
已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC=DF
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再见(共28张PPT)
X
圆周角
圆周角定义
圆周角定理课堂练习
例题讲解
巩固练习
课堂小结
§圆周角(第1课时)
good！
一. 复习引入:
1.圆心角的定义
2.圆心角的度数和它所对的弧的 度数的关系
.
O
B
C
2.相等.
答:1.顶点在圆心的角叫圆心角.
探索1:
圆心角的顶点发生变化时,我们得到几种情况:
A
.
O
B
C
.
O
B
C
A
.
O
B
C
A
圆内角
圆外角
圆周角
探索1:
探索2:
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗
.
O
B
C
A
圆周角定义:
顶点在圆上,并且
两边都和圆相交的角叫圆周角.
判别图中的角是不是圆周角.
√
×
×
×
×
反馈练习:
O
A
B
C
.
探索3:
画一个圆心角,然后再画同弧所对的圆周角.
同时思考：一条弧所对的圆周角有多少个
圆心角呢
圆周角与圆心的位置有几种情况
用量角器量出这两个角的度数,你能得出什么结论
O
A
B
C
.
.
O
A
B
C
.
A
B
O
由“探索3”
猜想出结论：
如 何
证明呢？
同弧所对的圆周角 等于它所对的
圆心角的一半.
该结论成立吗？
圆周角定理的证明
A
C
O
B
A
C
O
B
A
C
O
B
（1）
（2）
（3）
C
A
O
B
情形（1）的证明
已知：在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠BCA，圆心角是∠BOA.
求证：∠BCA=1/2∠BOA.
证明：∵OB=OC
∴∠BCA=∠B（等边对等角）
又∵∠BOA=∠BCA+∠B
（外角等于不相邻两个内角的和）
∴ ∠BCA=1/2∠BOA
情形（2）的证明
已知：在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠BCA，圆心角是∠BOA.
求证：∠BCA=1/2∠BOA.
证明：连接CO并延长交⊙O于D.
A
C
O
B
D
利用（1）的结果，有
∴ ∠BCD+∠ACD=1/2(∠BOD+∠AOD)
∴ ∠BCA=1/2∠BOA
∠BCD=1/2∠BOD
∠ACD=1/2∠AOD
情形（3）的证明
已知：在⊙O中，弧AB所对的圆周角是∠BCA，圆心角是∠BOA.
求证：∠BCA=1/2∠BOA.
证明：连接CO并延长交⊙O于D.
A
C
O
B
D
利用（1）的结果，有
∴ ∠BCD-∠ACD=1/2(∠BOD-∠AOD)
∴ ∠BCA=1/2∠BOA
∠BCD=1/2∠BOD
∠ACD=1/2∠AOD
圆周角定理
同一条弧所对的圆周角
等于它所对的 的一半.
圆心角
(弧的度数)
两点启示：1、要说明一个命题是真命题，如果一个图形不能
概括一般的情况，那么就往往需要分类讨论.
分类讨论的原则是既不遗漏，又不重复.
2、一个定理的发现，最初往往是从特殊情况中得
到信息，然后进行大胆猜想，从特殊到一般，
最后完整起来.
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
课堂练习
练习1：判断题，下列命题是否正确？
（1）圆周角的顶点一定在圆上；
（2）顶点在圆上的角叫圆周角；
（3）圆周角的两边都和圆相交；
（4）两边都和圆相交的角叫圆周角.
（√）
（×）
（√）
（×）
课堂练习
练习2：如图，在下列各图中，
∠1＝_____度, ∠2＝_____度,
37.5
65
O
75°
1
O
75°
1
O
2
130°
例题讲解
如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上不同于A、B、D的任意一点，连接AC、BC.求证：∠C是直角.
证明：
因为∠Ｃ是半圆弧ADB所对的圆周角，弧ADB所对的圆心角是平角AOB，
所以∠C=1/2∠AOB=1/2×180°=90°（圆周角定理） 即∠Ｃ是直角.
反之，若已知∠C是直角， ∠C的两边交⊙O于A、B，连接AO、BO，
所以，A、O、B同在一直线上，AB是⊙O的直径.
推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
Ｃ
Ａ
Ｂ
.
Ｄ
．
Ｏ
则∠AOB=2 ∠Ｃ=2×90°=180°.
学习小 结
1、圆周角的定义：顶点在______上，两边与圆
______的角，叫圆周角.
圆周
相交
2、圆周角定理：同一弧所对的圆周角
等于它所对的圆心角的__________.
一半
学习小 结
3、圆周角定理还可理解成，一条弧所对的
圆心角是它所对的圆周角的______；圆周角的
度数等于它所对的弧的度数的________.
一半
二倍
一、填空
（1）40°弧所对的圆心角是 度，圆周角 度.
（2）一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角是 度，这条弧是 度.
（3）n°弧所对的圆心角是 度，所对的圆周角是 度.
二、计算
1、如图所示：∠1＝_____度,
60
巩固练习
2
1
n
40
20
100
100
n
2
O
60°
1
C
2、求圆中角x的度数
B
A
O
.
x
120°
B
A
O
.
70°
x
35°
120°
做一做，成功在向你招手！
O
A
C
B
3、已知：∠AOB=100°，求∠ACB的度数
D
分析：
∵ ∠AOB=100°
∴劣弧AB=100°
优弧ADB=260°
∴ ∠ACB=130°
扩展：
4、半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：3两部分，则弦所对的圆周角的度数是___________________
.
45°或135°
O
A
B
C
5、如右图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，
求证：∠ACB=2∠BAC
A
O
C
B
证明：
∵∠AOB=2∠ACB （1）
∠BOC=2∠BAC （2）
且∠AOB=2∠BOC （3）
把（1）代入（3）得：∠ACB=∠BOC（4）再把（2）代入（4）得：∠ACB=2∠BAC，这就是我们所要证明的结论.
∴∠ACB=2∠BAC
你能解决它吗？
本节课涉及：
（1）研究方法：特殊 —— 一般 —— 特殊
（2）数学思想：转化、分类讨论.
归纳
猜想
书山有路勤为径，学海无涯苦作舟.
本节课你学到了什么？ 有何收获？
谈谈你的感受
应用
已知：如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，弦 AC⊥BD于点E.
求证：AD∥BC.
A
O
D
C
B
E
证明：
在⊙O中
∵ OA⊥OB，AC⊥BD
∴∠C=1/2∠AOB=45°
∠D=1/2∠AOB=45°
,∠AED=90°
∴∠DAE=180°-∠AED-∠D=45°
∴ ∠DAE= ∠C
∴ AD∥BC(内错角相等，两直线平行)
补充题
你好聪明！
思考题：如图，在⊙O中，DE=2BC， ∠ EOD=64°，求∠A的度数.
︵
︵
A
B
C
D
E
O(共14张PPT)
O
P
圆的周长公式
圆的面积公式
C=2πr
S=πr2
解：∵圆心角是90°
∴铁轨长度是圆周长的
则铁轨长是
如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的
半径为100米，圆心角为90°．你能求出这
段铁轨的长度吗？
问题情景：
在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为
注意：
在应用弧长公式l 进行计算
时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
弧长公式:
公式变形:
(1)已知R，l，求n；
(2)已知n，l，求R.
例1 一段圆弧的公路弯道,圆弧的半径是2km,一辆汽车以每小时60km的速度通过弯道,需20秒.求弯道所对
的圆心角的度数
(精确到0.1度)
1.直径为100的圆弧的度数是20度30分，
求弧长(保留3个有效数字).
2.半径是5的圆弧长是5，求它所对的圆心
角的度数(精确到0.1度).
课内练习:
例2 如图，BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上一点，DC⊥AN于点C，已知⊙O的半径R=30，AC=15，求 的长.
BD
E
O
A
B
M
N
C
D
补充例题:
例3.计算下列各题:
(1)已知⊙O1的半径为r=6cm， ⊙O2的半径为R=12cm，分别求⊙O1、⊙O2上36°圆心角所对弧的长.
(2) ⊙O1的半径为r=8cm，⊙O2的半径为R=12cm，分别求⊙O1、⊙O2上长度为
10π的弧所对圆心角的度数.
例4.把直角△ABC的斜边AB放在直线L上，绕着直线L按顺时针方向转动两周，已知AC=√3，BC=1，求顶点A运动时所经过的路线长.
2. 弧长公式：
l弧= C圆
360
n
1. 弧长与哪些因素有关？
（1）与圆心角的大小有关
（2）与半径的长短有关
3. 弧长单位：
弧长单位没有平方
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗.
问:这只狗的最大活动区域有多大？如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？
