(共24张PPT)
2.4二次函数的应用
（第3课时）
1.利用函数解决实际问题的基本
思想方法 解题步骤
实际问题
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解
返回解释
检验
创设情景,引入新课
2."二次函数应用"的思路怎样
(1)理解问题
(2)分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系
(3)用数学的方式表示出它们之间的关系
(4)用数学知识求解
(5)检验结果的合理性,拓展等
创设情景,引入新课
(1) 直线等加速运动
我们知道，在匀速直线运动中，物体运
动的距离等于速度与时间的乘积，用字母表示
为S=vt，而在直线等加速运动（即通常所说的
加速度）中，速度的数值是时刻在改变的，我
们仍用S表示距离（米），用 表示初始速度
（米／秒），用t表示时间（秒），用a表示每
秒增加的速度（米／秒）. 那么直线等加速运
动位移的公式是：
就是说，当速度和每秒增加的速度一定时，距
离是时间的函数，但不再是正比例函数，而是
二次函数.
0
V
合作交流,探究新知
我们来看一个例子：
=1米／秒，a=1米／秒，
下面我们列表看一下Ｓ和ｔ的关系.
t（秒） 0 1 2 3 4 5 6
S（米） 0 1.5 4 7.5 12 17.5 24
注意，这里的时间必须从开始等加速时开始计时，
停止等加速时停止计时. t的取值范围，很明显是t≥0，
而S的取值范围，同样是S≥0. 下面我们来看看它的图
象：
S
t
O
0
v
(2) 自由落体位移
我们知道，自由落体位移是直线等加速运动的
特殊情况，它的初始速度为0，而每秒增加的
速度为9.8米／秒，我们用ｇ表示，但这个ｇ不
是9.8牛顿／千克．自由落体位移的公式为：
我们再来看看这个函数的表格：
t（秒） ０ １ ２ ３ ４ ５ ６
S（米） ０ 4.9 19.6 44.1 78.4 122.5 176.4
图象我们就不画了，它只是直线等加速运动的特殊情
况，图象大同小异．
(3) 动能
现在我们来看另一方面的问题. 我们知道，物体在
运动中具有的能量叫做动能，动能与物体的质量和
速度有关. 比如说，有个人走过来不小心撞上你，
或许没什么，但如果他是跑步时撞上你，说不定会
倒退几步，而假如你站在百米终点线上，想不被撞
倒都不容易. 这是因为对方具有的动能随速度的增
大而增大. 我们用E表示物体具有的动能（焦耳）
，m表示物体的质量（千克），用v表示物体的速
度（米／秒），那么计算物体动能的公式就是：
来看一个表格（m=1千克）：
v（米/秒） 0 1 2 3 4 5 6
E（焦耳） 0 0.5 2 4.5 8 12.5 18
v的取值范围显然是v≥0，E的取值范围也是E≥0，
所以它的图象和前两个没什么区别.
通过上面几个问题的研究，我们认为二次函数在物理
方面的实际应用中的特点，在于物理学上对取值范围
的要求大部分都是要求该数值大于等于０，所以图象
大部分是二次函数图象的一半，除原点外，图象都在
第一象限. 还有，物理学上用到的公式，一般很少有
常数项.
现在我们反过来研究：物体运动某一路程或物体自由
下落到某一高度需要多少时间？
例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为
10m/s,经过t(s)时求的高度为h(m). 已知物体
竖直上抛运动中， (v0表示物体
运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取
g=10m/s2). 问球从弹起至回到地面需多少时
间？经多少时间球的高度达到3.75m
例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时求的高度为h(m). 已知物体竖直上抛运动中， (v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10m/s2). 问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m
分析：
从图象可以看到图象与x轴交点横坐标0
和2,分别就是球从地面弹起后到地面的
时间，此时h=0,所以也是一元二次方程
的两个根，这两个时间差
即为所求.
同样，我们只要取h=3.75m，得一元
二次方程
根，就得到球达到3.75m高度时所经
过的时间.
，求出它的
根据已知条件,我们易写出h关于t的二
次函数解析式 ,并画出函数
的大致图象.
t(s)
h(m)
0
1
2
5
3.75
例1:一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时求的高度为h(m).已知物体竖直上抛运动中， (v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10m/s2).问球从弹起至回到地面需多少时间？经多少时间球的高度达到3.75m
解:由题意,得h(m)关于t(s)的二次函数的解析式为
取h=0,得一元二次方程
取h=3.75,
得一元二次方程
答:球从弹起至回到地面需2s,经过0.5s或1.5s球的高度达到3.75m.
解这个方程,得
t1=0,t2=2
所以球从地面弹起至回到地面所需的时间为
t2-t1=2(s)
解这个方程,得
t1=0.5,t2=1.5
结论
从上例我们看到，可以利用解一元二次方程求
二次函数的图象与横轴(或平行于横轴的直线)的交点
坐标.
反过来，也可以利用二次函数的图象求一元二
次方程的解.
在直角坐标系中画出函数 的图象，
例2 利用二次函数的图象求方程x +x-1=0的近似解
观察图得到点A的横坐标 ，
点B的横坐标 ．
解:设
，则方程
的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标．
得到与x轴的交点为A、B，则点A、B的横坐标x1、x2就是方程的解．
的近似解为
所以方程
1
0
1
2
x
y
2
-2
-1
-1
-2
-3
A
B
0
1
2
x
y
1
2
-2
-1
-1
-2
-3
A
B
想一想：将x1=0.6和x2=-1.6代入x +x-1，
其值分别是多少？
结论
我们知道，
二次函数y=ax +bx+c (a≠0)的图象与
x轴的交点的横坐标x1、x2就是一元二
次方程ax +bx+c=0(a≠0)的两个根.
因此
我们可以通过解方程ax +bx+c=0来求
抛物线y=ax +bx+c与x轴交点的坐标；
反过来，
也可以由y=ax +bx+c的图象来求一元
二次方程ax +bx+c=0的解.
练一练
一球从地面抛出的运动路线呈抛物线,如图,当球离抛出
地的水平距离为30米时,达到最大高度10米.
(1)求球运动路线的函数解析式和自变量的
取值范围
(2)求球被抛出多远
(3)当球的高度为5米时,球离抛出地的水平距离是多少
0
30
x(m)
y(m)
10
由题意得h=30,k=10
把(0,0)代入前式,得0=900a+10
\
1
a=-
90
练一练
用求根公式求出方程x +x-1=0的近似解,
并由此检验例2中所给图象解法的精确度.
解:
课堂小结
1.理顺利用函数解决实际问题的基本
思想和基本思路.
2.二次函数的图象与x横轴的交点的横坐标
即为一元二次方程的解,反过来也对.
某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一
点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O
的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个
规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水
面10米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距
水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整
好入水姿势，否则就会出现失误.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员
在空中的运动路线是（1）中的抛
物线，且运动员在空中调整好入水
姿势时，距池边的水平距离为3米，
问此次跳水会不会失误？并通过计
算说明理由。(共22张PPT)
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=ax2(a>0)
y=ax2+k
(a>0)
y=ax2(a<0)
y=ax2+k
(a<0)
向上
向上
向下
向下
y轴
y轴
y轴
y轴
(0，0)
(0，0)
(0，k)
(0，k)
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=ax2(a>0)
y=a(x-h)2
(a>0)
y=ax2(a<0)
y=a(x-h)2
(a<0)
向上
y轴
(0，0)
向下
y轴
(0，0)
向上
向下
x=-h
(-h，0)
x=-h
(-h，0)
二次函数:
y=ax2 +bx + c (a 0)
二次函数的图象:一条抛物线
抛物线的形状,大小,开口方向完全由_____来决定.
当a的绝对值相等时,其形状
完全相同, a的绝对值越大,
则开口越小,反之成立.
0
y=0.5x2
y= - x2
y= - 0.5x2
a
根据左边已画好的函数图象填空：
抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减少；
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而增大.
当x= 时，函数y取最小值为____.
当x____0时,y>0
(0,0)
直线x=0
y轴右
y轴左
0
0
<
>
0
y= 2x2
y
x
根据左边已画好的函数图象填空：
抛物线y=-2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而增大；
在 侧，即x_____0时,
y随着x的增大而减小.
当x= 时，函数y取最大值为____.
当x____0时,y<0
(0,0)
直线x=0
y轴右
y轴左
0
0
0
y= -2x2
<
>
y
x
抛物线y=a(x+h)2+k的性质
（1）对称轴是直线x=_________.
（2）顶点坐标是___________.
（3）当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而_______；在对称轴的右侧y随x的增大而________.
（4）当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而_________;在对称轴的右侧y随x的增大而___________.
-h
(-h，k)
减小
增大
增大
减小
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则a、b、c的符号为
b>0
c>0
a<0
y
x
o
2、二次函数y=x2-４x+3 的对称轴是
3、一抛物线y=-2x2的形状和开口方向相同，顶点为（1，- 4），则它的函数解析式为
4、抛物线y=x2-5x+4 与坐标轴的交点个数为（ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的个数由什么决定的？
5、说出下列抛物线与x轴的交点的个数：
⑴ y=2x２-x-1 ⑵ y=4x2+4x+1 ⑶ y=3x2+2x+5
直线x=2
y=-2(x -1)2 - 4
C
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根 一元二次方程x2-2x+2=0有根吗
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,
交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一
元二次方程ax2+bx+c=0的根.
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac =0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
⑴ y=2x2-x-1 ⑵ y=4x2+4x+1 ⑶ y=3x2+2x+5
抛物线与x轴的交点的个数：
2个
1个
0个
b2- 4ac﹥0
b2- 4ac=0
b2- 4ac<0
当b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.
1、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 ，顶点是 .
当b2-4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，
交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解 与
当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；
1、当a >0时，抛物线的开口向上，并且向上无限伸展；
当a<0时，抛物线的开口向下，并且向下无限伸展.
2、当a >0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；
在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；
当 时，函数y有最小值 .
当a <0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小.
当 时，函数y有最大值
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
,y随着x的增大而减小.
,y随着x的增大而增大.
,y随着x的增大而增大.
, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标.
解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0 .
解得：x1=1，x2=2；
∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？
x2-3x+2=0
举例:
1、已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
⑴a+b+c<0 ⑵a-b+c>0 ⑶abc>0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值
⑴ y=2x2-8x-3 ⑵ y=-5x2+3√2x-4
3、二次函数y=x2+bx+8的图象顶点在x轴的负半轴上， 那么b等于多少？
D
x
y
-1
1
0
已知函数
⑴写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点，然后画出函数图象的草图；
⑵根据第⑴题的图象草图,说出取哪些值时,
①y=0 ②y<0 ③y>0
(-15,0)
(1,0)
(0,7.5)
(7,32)
(-14,7.5)
.
0
x
y
x
o
y
x
y
o
(0,c)
(0,c)
.
.
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
.
.
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则a、b、c的符号为__________.
y
x
o
2、已知二次函数的图象如图所示，下列结论：
⑴a+b+c<0 ⑵a-b+c>0 ⑶abc >0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
x
-1
1
0
y
D
1、你能正确地说出二次函数的性质吗？
2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗？你能利用函数图象回答有关性质吗？(共20张PPT)
知识回顾:
二次函数y=ax 的图象及其特点？
1、顶点坐标？
（0，0）
2、对称轴？
y轴（直线x=0）
3、图象具有以下特点：
一般地，二次函数y=ax （ a≠0 ）的图象是一条抛物线:
当a>0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点,
抛物线在x轴的上方（除顶点外）;
当a<0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点,
抛物线在x轴的下方（除顶点外）.
4.5
-5
2
-4
4.5
2
0.5
0
0.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
x
在同一坐标系中作出二次函数 ; ;
请比较所画三个函数的图象,它们有什么共同的特征
向右平移2个单位
顶点坐标(0,0)
(2,0)
对称轴:直线x=0
直线x=2
向左平移2个单位
顶点坐标(0,0)
(-2,0)
对称轴:直线x=0
直线x=-2
x
y
o
请你总结二次函数y=a(x+m)2的图象和性质.
当m>0时,向左平移
当m<0时,向右平移
a>0时，开口________, 最 ____ 点是顶点; a<0时，开口________, 最 ____ 点是顶点.
对称轴是 _____________，
顶点坐标是 __________.
直线x=-m
(-m,0)
的图象
做一做:
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y =2(x+3)2
y =-3(x-1)2
y = -4(x-3)2
向上
直线x=-3
( -3 , 0 )
直线x=1
直线x=3
向下
向下
( 1 , 0 )
( 3, 0)
填空：
1、由抛物线y=2x 向 平移 个单位可得到y=2(x+1)2
2、函数y=-5(x-4)2 的图象可以由抛物线 向
平移4个单位而得到.
例1 用描点法在同一直角坐标系中画出函数
和 的图象 .
驶向胜利的彼岸
例 题 学 习
例题学习:
例2 对于二次函数
请回答下列问题：
1、把函数 的图象作怎样的平移
变换，就能得到函数 的图象？
2、说出函数 的图象的顶点坐标
和对称轴.
1.由 图象经过怎样平移得到
合作学习:
2.由此你有什么发现
讨论归纳:
当m>0时,向左平移
当m<0时,向右平移
当k>０时向上平移
当k<０时向下平移
顶点坐标：
（-m,0)
（-m,0)
(-m,k)
的图象：
对称轴是 _____________，
顶点坐标是 __________.
直线x=-m
(-m, k)
一般地，平移二次函数 的图象就
可得到二次函数
的图象，因此，
顶点坐标和开口方向与
二次函数
h左加右减 k上加下减
的值有关.
的形状、对称轴、
1、指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
课内练习:
填空：
1、由抛物线y=2x 向 平移 个单位,
再向 平移 个单位可得到y=2(x+1)2-3.
2、函数 的图象.
可以由抛物线 向 平移 个单位，
再向 平移 个单位而得到的.
做一做:
1、如果抛物线 的顶点坐标
是（-1，5）则h=1,k=5.
它的对称轴是
２、如果一条抛物线的形状与
的形状相同，且顶点坐标是（４，-２）
则函数关系式是
3
4
5、已知二次函数
的图象如图所示，则函数
的图象只可能是（ ）
这节课你有什么收获和体会？(共18张PPT)
2.4二次函数的应用
（第2课时）
拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一
个矩形,周长为120米,室内通道的尺寸如图,设一条边
长为x米,种植面积为y平方米.试建立y与x的函数关系
式,并当x取何值时,种植面积最大 最大面积是多少
1
x
1
1
3
答:
创设情境,引入新课
合作交流,探究新知
一 复习
1.二次函数y=ax +bx+c (a≠0)的图象和性质？
并指出顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与x轴两
交点间的距离？
2.各类二次函数顶点位置与a、b、c的关系？
(顶点在x轴上、y轴上、原点、经过原点)
3.求二次函数y=-2x2+10x+1的最大(或最小)值？
二 想一想
如何求下列函数的最值：
1.利用函数解决实际问题的基本
思想方法 解题步骤
实际问题
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解
返回解释
检验
三 分析问题,探究规律
2.利用二次函数的性质解决生活和生
产实际中的最大和最小值的问题,它的
一般方法是:
(1)列出二次函数的解析式.列解析式时,要根据自变
量的实际意义,确定自变量的取值范围.
(2)在自变量取值范围内,运用公式或配方法求出
二次函数的最大值和最小值.
例题解析,当堂练习
例1 B船位于A船正东26km处，
现在A、B两船同时出发，A船以
每小时12km的速度朝正北方向行
驶,B船以每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船
相距最近？最近距离是多少？
例题解析,当堂练习
例1 B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船发每小时12km的速度朝正北方向行驶,B船发每小时5km的速度向正西方向行驶.何时两船相距最近？最近距离是多少？
解:设经过t时后，AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为
(
)
0
t
>
点评
对于形如
的最值，
应先求出
的最值
从而得最值为
练一练
某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告
设计费为每平方米1000元,设矩形一边长为x(m),面积
为s(m ).
(1)求出s与x之间的函数关系式,并确定自变量的取值范围
解:
答:
s与x之间的函数关系式为
练一练
某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌,广告
设计费为每平方米1000元,设矩形一边长为x(m),面积
为s(m ).
(1)求出s与x之间的函数关系式,并确定自变量的取值范围
(2)请你设计一个方案使获得的设计费最多,并求出这个费用
答:
当矩形为一个正方形时获得的设计费最多为9000元
解:
例2某饮料经营部每天的固定成本为200元,其销售的饮料
每瓶进价为5元.销售单价与日均销售量的关系如下
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量(瓶) 480 440 400 360 320 280 240
(1)若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润
(毛利润＝售价－进价－固定成本)为y元，求y关于
x的函数解析式以及自变量的取值范围；
(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多
少元(精确到0.1元)？最大日均毛利润为多少？
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量(瓶) 480 440 400 360 320 280 240
由题意,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40瓶.当销售单价比进价多x元时,与销售单价6元时相比,日均销售量为
瓶.
例2某饮料经营部每天的固定成本为200元,其销售的饮料每瓶进价
为5元.销售单价与日均销售量的关系如下
(1)若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润(毛利润=售价-进价-固定成本)为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围.
解:
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量(瓶) 480 440 400 360 320 280 240
例2某饮料经营部每天的固定成本为200元,其销售的饮料每瓶进价为5元.销售
单价与日均销售量的关系如下
(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到0.1元)？最大日均毛利润为多少？
解:
由第(1)题,得
答:若要使日均毛利润达到最大,销售单价应定为11.5元,最大日均毛利润为1490元.
练一练
有一种大棚种植的西红柿,经过试验,其单位
面积的产量与这个单位面积种植的株数构成
一种函数关系.每平方米种植4株时,平均单株
产量为2千克.以同样的栽培条件,每平方米种
植的株数每增加1株,单株产量减少 千克.
问每平方米种植多少株时,能获得最大的产量 最大的产
量为多少
解:设每平方米种植x株时,能获得的产量为y千克,由题意得,
答:每平方米种植6株时,能获得最大的产量,最大产量为9千克
课堂小结
1.运用二次函数的性质求实际问题的最大值
和最小值的一般步骤
2.你认为在解题时应注意哪些问题(共17张PPT)
2.4 二次函数的应用
（第1课时）
某商场销售一种名牌衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价
多少元
提出问题
(2)问每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多 最多为多少元
提出问题
想一想：如果我们把平均每天盈利与降价的函数关系找出来,
那么所求问题就转化为什么问题
１.发现可以设降价为x元,每天盈利为y元,则y关于x
的函数关系式为y=(40-x)(20+2x),化为
这是一个二次函数.
２.写出自变量x的取值范围,再求出它的最大值.
2、图中所示的二次函数图像的解析式为：
y=2x2+8x+13
-2
0
2
4
6
2
-4
x
y
(2)若－3≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为（ ）、（ ）.
(3)又若0≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为（ ）、（ ）.
求函数的最值问题，
应注意对称轴是否在自变量的取值范围内.
55 5
55 13
(1)该函数有最 值,
小
最小值为
5
探究实践
用长6米铝合金条制成如图形状的矩形窗框，
问长和高各是多少米时，窗户的透光面积
最大？最大面积是多少？
(1)设什么为自变量x
(窗框的长或高)
(2)如果学生设窗框长为x,则高为多少
面积为多少
(3)若设透光面积为y,试写出y关于x的函数解析式
(4)这里自变量x的取值范围是什么 根据什么来确定
ì
í
根据窗框的长、宽都必须大于零，即
得
用长6米铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问长和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
x
解：设窗框长为x,
则它的高为 ,
再设透光面积为y,
由题意得：
答：当长为１米，宽为 米时，窗户的透光面积最大，最大面积是 平方米.
根据窗框的长、宽都必须大于零，即
ì
í
得
最值问题的一般步骤
(1)列出二次函数的解析式.列解析式时,要根据自变量
的实际意义,确定自变量的取值范围.
(2)在自变量的取值范围内,运用公式或配方法求出二次函数的最大值或最小值.
探究与建模
图中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆,下部分是矩形.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为8米,那么如何设计这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大 (结果精确到0.01米)
解:设半圆的半径为r米，如图，矩形的一边长为l米，
根据题意，有：5r+πr+2r+2l=8,
即：l=4-0.5(π+7)r
又因为：l>0且r >0
所以： 4-0.5(π+7)r>0
则：0(0变式与拓展
如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为16米.
⑴求截面积S（米2）关于底部宽x（米）的函数解析式，及自变量x的取值范围？
⑵试问：当底部宽x为几米时，隧道的截面积S最大（结果精确到0.01米）？
解：∵隧道的底部宽为x，周长为16，
答：当隧道的底部宽度为4.48米时，隧道的截面积最大.
x
？
练习题
已知直角三角形的两直角边的和为2. 求斜边长可
能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两
条直角边的长分别为多少？
解:
设其中一条直角边长为x,
则另一条为(2-x),
设斜边长为y,
由勾股定理得,
x
2－x
课堂小结
本节课主要讲了将实际问题转化为数学模型.运
用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，
首先应求出函数解析式和自变量的取值范围，
然后通过配方变形，或利用公式求她的最大值
或最小值．值得注意的是，由此求得的最大值
或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取
值范围内．(共15张PPT)
2.2 二次函数的图象
（第1课时）
回顾知识:
一、正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么？
二、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么？
正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是一条经过原点的直线.
一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象也是一条直线.
三、反比例函数 （k ≠ 0）其图象又是什么？
反比例函数 （k ≠ 0）其图象是双曲线.
二次函数y=ax + bx+c（a ≠ 0）
其图象又是什么呢？
二次函数y=ax2的图象
x
y=x2
y= - x2
...
...
...
...
...
...
0
-2
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
0.5
2
函数图象画法
列表
描点
连线
0
0.25
1
2.25
4
0.25
1
2.25
4
描点法
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
0
-0.25
-1
-2.25
-4
-0.25
-1
-2.25
-4
注意：列表时自变量
取值要均匀和对称.
画出下列函数的图象.
x
y=2x2
...
...
...
...
0
-2
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
0.5
2
0
0.5
2
4.5
8
0.5
2
4.5
8
0
0.5
2
4.5
8
0.5
2
4.5
8
x
...
...
...
...
0
-3
-1.5
-1
1.5
1
-2
2
3
0
1.5
-6
1.5
-6
x
...
...
...
...
0
-4
-3
-2
-1
2
3
1
4
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时
所经过的路线，我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴.
抛物线的顶点位于对称
轴与抛物线的交点处.
抛物线的顶点位于对称
轴与抛物线的交点处.
抛物线的顶点位于对称
轴与抛物线的交点处.
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴.
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴.
抛物线
y=x2
y=-x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
极值
1、观察右图，
并完成填空.
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x=0时，最小值为0.
当x=0时，最大值为0.
二次函数y=ax2的性质
１、顶点坐标与对称轴
２、位置与开口方向
３、增减性与极值
2、练习2
在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线
y= -x2的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内
画函数y=ax2与y=-ax2的图象，怎样画才简便？
在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线
y=-x2的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内
画函数y=ax2与y=-ax2的图象，怎样画才简便？
答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y=-x2 既关于x轴对称，
又关于原点对称.只要画出y=ax2与y=-ax2中的一条抛物线，
另一条可利用关于x轴对称或关于原点对称来画.
例1、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-2,-3). (1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图象的位置.
驶向胜利的彼岸
练习一：已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得
-8=a(-2)2,解出a= -2,
所求函数解析式为 y= -2x2.
（2）因为 ，所以点B（-1 ，-4）
不在此抛物线上.
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
所以纵坐标为-6的点有两个，
它们分别是
y=-2x2
驶向胜利的彼岸
练习二：若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，3）.
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 .
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的 .
抛物线在x轴的 方（除顶点外）.
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线.
2.图象关于y轴对称,顶点是坐标原点.
3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.(共19张PPT)
2.1二次函数
知识回顾
1.一元二次方程的一般形式是？
2.我们已学过哪些函数？
ax2+bx+c=0 (a、b、c是常数，a≠0)
列函数关系
1、圆的半径是x（cm），则它的面积y与半径x之间的函数关系式是 .
2、总长为60的篱笆围成矩形场地，矩形面积y与矩形一边长x之间的关系是
3、王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期.两年后王先生共得本息y元与年存款利率x之间的函数关系式是
y=∏x2
y=(30-x)x
y=2(1+x)2
=-x2+30x
=2x2+4x+2
观察下列函数,说出其特点.
(1) y=∏x2
(2) y=-x2+30x
(3) y=2x2+4x+2
共同特点是:自变量的最高次数都是2
二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数.
概念引入
想一想:函数的自变量x是否可以取任何值呢
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
练一练:
1、下列函数中,哪些是二次函数
是
不是
是
不是
知识运用
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2 +x (6)y=x2-x(1+x)
二次函数y=-x2+30x
二次项系数a= 一次项系数b= 常数项c=
-1
30
0
y=2x(1-x) ？
例如，
1、二次函数 y=-x2+58x-112 的
二次项系数为 ，
一次项系数为 ，
常数项 .
2、二次函数y=πx2的
二次项系数 ,
一次项系数 ，
常数项 .
a=-1
b=58
c=-112
a=π
b=0
c=0
2、写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
练一练:
函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项
二次函数的一般形式
函数y=ax2+bx+c
其中a、b、c是常数
切记：a≠0
右边是一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
二次函数的特殊形式：
当b=0时， y=ax2+c
当c=0时， y=ax2+bx
当b=0，c=0时， y=ax2
想一想:
当m取何值时，函数y= (m+2)x
分别是一次函数？ 反比例函数？
知识运用
m2-2
二次函数？
例1 如图，一张正方形纸板的边长为2 cm，将它剪去4个全等的直角三角形 (图中阴影部分). 设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形 EFGH的面积为y(cm2)，求 :
（1）y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ;
（2）当 x分别为0.25、0.5、1、1.5、1.75时，对应的四边形 EFGH的面积，并列表表示.
A
B
E
F
C
G
D
H
x
x
x
x
2–x
2–x
2–x
2–x
x
用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求：
(1)写出y关于x的函数关系式.
(2)当x=3时,矩形的面积为多少
（2）当x=3时
试一试:
(0例２:已知关于x的二次函数,当x=-1时,函数值为10；当x=1时,函数值为4；当x=2时,函数值为7.求这个二次函数的解析式.
｛
待定系数法
小结 拓展
驶向胜利的彼岸
你认为今天这节课最需要掌握的是 ________________ 。
温馨提示：同桌校对，互相帮助！
知识拓展：
心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力y随时间t的变化规律有如下关系式：
（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？(共18张PPT)
1.用描点法画二次函数图象的步骤有哪些
x … -2 -1 0 1 2 …
… 4 1 0 1 4 …
y=x
2
画函数图象步骤:
1.列表
2.描点
3.连线
2.请说出函数y=x 图象的特征
2
解析式 开口方向 顶点坐标 对称轴
2
y=x
向上
(0,0)
直线x=0
(或y轴)
作二次函数 的图象.
y=x 与y=x
2
2
+1
-1
请观察,这三个函数的图象有哪些异同点
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
-1
0
-2
-1
-3
x
y
A′
A
Ａ″
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
-1
0
-2
-1
-3
x
y
A′
A
向上平移1个单位
顶点A(0,0)
顶点A′(0,1)
向上平移1个单位
B
从动画中看出,抛物线y=x 怎么移会得到函数y=x +1的图象
2
2
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
-1
0
-2
-1
-3
x
y
y=x
抛物线y=x 怎么移会得到函数y=x -1的图象
2
2
2
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
-1
0
-2
-1
-3
x
y
请归纳:二次函数y=x +k(k为常数)图象的特征
2
解析式 开口方向 顶点坐标 对称轴
y=x +k
2
向上
直线x=0
(0,k)
作二次函数 与 的图象.
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
-1
0
-2
-1
-3
x
y
请观察,这三个函数的图象有哪些异同点
A′
A
A″
向左平移1个单位
向右平移1个单位
x
y
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
7
-1
-1
-2
-3
-4
-5
0
-2
函数 的图象,可否由抛物线 经过平移得到？
函数 的图象,可以由抛物线 先向 平移2个单位,再向 平移 个单位得到.
上
右
时，图象将发生怎样的变化？
二次函数y=-x
y =-(x+2)2
y =-(x+2)2 +3
1、顶点坐标
(0,0)
(-2,0)
( -2,3)
2、对称轴
y轴(直线x=0)
直线x=-2
直线x=-2
3、图象如何平移
抛物线y=-x
先向左平移2个单位
抛物线y=-(x+2)2
再向上平移3个单位
抛物线y=-(x+2)2 +3
1
2
3
4
5
思考题：
你能说出抛物线 的开口方向，顶点坐标和对称
轴吗
