(共23张PPT)
4.4 三角形相似的
性质及其应用
（第2课时）
浙教版九年级（上册）
复习提问:
我们已经学习相似三角形的性质有哪些？
1、相似三角形对应角相等.
2、相似三角形对应边成比例.
3、相似三角形的周长之比等于相似比；
4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
5、相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比等于相似比.
校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，
你有什么方法？
把一小镜子放在离树（AB）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m.这时树高多少？你能解决这个问题吗？
A
B
E
D
C
方法一
把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m.这时树高多少？你能解决这个问题吗？ （精确到0.1m）
A
B
C
D
E
F
课内练习：
步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上准星宽度AB为2mm，目标的正面宽度CD为50cm，求眼睛到目标的距离OF.
E
A
B
O
C
D
F
准星
A
B
古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O’B’，比较棒子的影长A’B’与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB. 如果O’B’＝1, A’B’＝2, AB＝274,求金字塔的高度OB.
B
O
C
A
A’
B’
O’
例题.如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2.25m，现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度AC=1.20m，AB在水平位置.求AB的长度（结果保留3个有效数字）.
P
O
Q
A
B
C
解：由题意得，AB∥PO
∴∠ABC=∠OPQ
∵∠CAB=∠POQ=Rt∠
∴△ABC∽△OPQ
∴AB/OP=AC/OQ
∴AB=OP×AC/OQ=5×1.2/2.25≈2.67m
答：AB的长约为2.67m.
1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高 m.
O
B
D
C
A
┏
┛
1m
16m
0.5m
8
给我一个支点我可以撬起整个地球!
---阿基米德
？
反馈与评价
2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高为 .
4米
3.如图:小明在打网球时,要使球恰好能打过网 ,而且落在离网5米的位置上，则拍击球的高度应为（ ） .
5m
10m
0.9m
h
A、2.7米 B、1.8米
C、0.9米 D、 6米
Ａ
如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.
O
（分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB.而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出AB的长度.）
O
解：
∴△AOB∽△COD
∵AB=CD · n = nb
又∵CD=b
且∠AOB=∠COD
∵ OA:OC=OB:OD=n
∵ OA:OC=AB:CD=n
又∵x = ( a - AB )÷2
= ( a - nb )÷2
挑战自我
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
N
M
Q
P
E
D
C
B
A
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC的高AD与PN相交于点E.设正方形PQMN的边长为x毫米.
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC
所以
AE
AD
=
PN
BC
因此 ，得 x=48（毫米）.答：-------.
80-x
80
=
x
120
课堂小结:
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
2 测距(不能直接测量的两点间的距离)
、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决
、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解
解决实际问题时（如测高、测距），
一般有以下步骤：①审题 ②构建图形
③利用相似解决问题
怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度
想一想
怎样测量旗杆的高度呢？
Ａ
Ｂ
Ｏ
Ａ′
Ｂ′
Ｏ′
求旗杆高度的方法:
旗杆的高度和影长组成的三角形
人身高和影长组成的三角形
因为旗杆的高度不能直接测量,我们可以利用
再利用相似三角形对应边成比例来求解.
相似于
B
B
C
A′
B′
C′
１、旗杆的高度是线段 ；旗杆的高度与它的影长组成什么三角形？（ ）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？
温馨提示：
BC
△ABC
6m
2、人的高度与它的影长组成什么三角形？（ ）这个三角形有没有哪条边可以直接测量？
△A′B′C ′
3、 △ABC与△A′B′C ′ 有什么关系 试说明理由.
1.2m
1.6m
A
C
B
D
E
┐
┐
A
C
B
D
E
┐
┐
结束寄语
不经历风雨，怎么见彩虹.,没有人能随随便便成功!
下课了!(共24张PPT)
2、三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否相似？
相似比是多少？
1、相似三角形的定义？
A
B
C
D
E
三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
结论：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
如图在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且DE‖BC，则△ADE与△ABC相似吗？
(1)议一议:这两个三角形的三个内角是否对应相等？
(2)量一量：这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？
(3)平行移动DE的位置再试一试.
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
相似三角形的预备定理
∵DE‖BC
几何语言叙述：
∴⊿ADE∽⊿ABC
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
如图, 已知DE∥BC ,DF∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由.
A
B
C
D
F
E
A'
B'
C'
如图 △ABC 和△ A‘B’C‘中，∠A=∠A’，∠ B=∠B’ . 问△ABC与△ A‘B’C‘是否相似？
A
B
C
A
C
C'
B'
B
A'
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
已知：在△ABC 和△A'B'C'中,
求证:ΔABC∽ △A'B'C'
,
B'
B
A'
A
=
=
在△ABC边AB上, 截取AD=A'B'，过D作DE∥BC交AC于E.则有△ADE∽△ABC
∴△A'B'C'∽△ABC.
证明：
C
B
A
D
E
A'
B'
C'
∵∠ADE=∠B , ∠B=∠B '
∴∠ADE=∠B '
又∵∠A=∠A' , AD=A'B'
∴△ADE≌△A'B'C' (ASA)
在△ABC边AB上, 截取AD=A'B'，在AC边上截取AE=A'C'.则有△ADE≌△A'B'C'
∴△A'B'C'∽△ABC.
证明：
C
B
A
D
E
A'
B'
C'
∴∠ADE=∠B'=∠B
∴
DE∥BC
△ADE∽△ABC
∴
判定定理1:
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
简称:
几何语言叙述:
∵∠A=∠A ，∠B=∠B
∴⊿ABC∽⊿A B C
A
B
C
A'
B'
C'
已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB
试 图中有几对相似三角形.
证明：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，
∴△ABC∽△CDB(两个角对应相等,两三角形相似).
同理可证：△ABC∽△ACD
∴△ABC∽△CBD∽△ACD.
C
A
B
D
已知：如图Rt△ABC中，CD是斜边上的高.
求证：△ABC∽△CBD∽△ACD.
例、
此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.
判定两个三角形相似的方法：
1、相似三角形的定义
2、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原 三角形相似.
3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
简单说成:两个角对应相等,两三角形相似.
4、母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的 两个 直角三角形和原三角形相似.
例 在一次数学活动课上，为了测量河宽AB，张杰采用了如下的方法（如图）：从A处沿与AB垂直的直线方向走40米到达C处，插一根标竿，然后沿同方向继续走15米到达D处，再向右转90度走到E处，使B、C、E三点恰好在一条直线上，量得DE=20米，这样就可以求出河宽AB，请你算出结果（要求写出解题过程）.
A
B
D
C
E
A
B
D
E
O
方法二
方法三
方法一
C
D
F
1、已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是
BC、AC上的高，AD、BE相交于点F.
（2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出 .
（1）求证：ΔAEF∽ΔADC；
A
B
C
D
E
F
A
F
E
D
C
答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF.
2、 如图，在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与 ΔABC相似？
A
E
B
C
D
A
B
C
D
E
看谁答得快！
填 空：
1、直角三角形被 高分成的两个直角
三角形相似，它们和原三角形
2、两个等腰三角形都有一个角是45°，则这两个三角
形
斜边上的
相 似
不一定相 似
两个等腰三角形都有一个角是95° ，则这两个三角
形
一定相 似
选 择
下列结论中，不正确的是（ ）
Ａ、有一个角为90°的两个等腰三角形相似
Ｂ、有一个角为60°的两个等腰三角形相似
Ｃ、有一个角为30°的两个等腰三角形相似
Ｄ、有一个角为100°的两个等腰三角形相似
Ｃ
下列结论中，正确的个数是（ ）
①任意两个等腰三角形都相似
②任意两个等边三角形都相似
③任意两个直角三角形都相似
④任意两个等腰直角三角形都相似
Ａ、１个 Ｂ、２个 Ｃ、３个 Ｄ、４个
选 择
Ｂ
50°
70°
50°
60°
通过这节课的学习，你有什么收获？
结束寄语
不经历风雨，怎么见彩虹.,没有人能随随便便成功!
下课了!(共17张PPT)
4.2 相似三角形
浙教版九年级（上册）
相似三角形
相似三角形的概念
相似三角形的基本性质
相似三角形的预备定理
学习 目标
两幅形状相同大小不等的长城的图片是相似的.
A
B
C
D
E
F
△ ABC与△ DEF
比一比
三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形，叫做相似三角形(similar trianglec)
A
B
C
D
E
F
△ ABC与△ DEF相似，就记作：
△ ABC∽ △DEF
注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！
基本性质：相似三角形的各对应角相等，各对应边对应成比例.
A
B
C
D
E
F
如果△ ABC∽ △DEF，那么
∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F.
如果△ ABC∽ △DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？
以小组为单位，开展竞赛.
如果△ ABC∽ △DEF，那么
∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F.
A
B
C
D
E
F
这个结论在今后学习的过程中作用很大，你可要认真噢！
想一想,做一做
１.两个全等三角形一定相似吗？为什么？
２.两个直角三角形一定相似吗？为什么？两个等腰直角三角形呢？
３.两个等腰三角形一定相似吗？为什么？两个等边三角形呢？
(1)
B
C
D
E
F
A
（3）
B
C
D
E
F
A
30°
45°
(2)
1.相似.因为对应角相等,对应边成比例.
２.两个直角三角形不一定相似.因为对应角不一定相等,对应边也不一定成比例;两个等腰直角三角形相似.因为对应角相等,对应边成比例.
３.两个等腰三角形不一定相似;
两个等边三角形相似.
交流讨论
随堂练习
你注意到没有,相似三角形的各对应角相等，各对应边对应成比例.在解题时的作用了吗
1、在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x 、y 、m 、n 的值.
你准备如何去做
x=32，y=20/3，m=80°，n=55°.
x
20
33
48
22
30
45°
85°
m°
n°
50°
45°
3a
2a
y
10
(1)
(2)
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
A
B
D
E
C
C
B
A
D
E
如图，已知DE ∥ AB
则．．．．．．
知识源于悟
DE ∥ AB则∠DCE=∠BCA, ∠CDE=∠CBA,
∠CED=∠CAB,
若DE ∥ AB 则
∠A=∠D, ∠B=∠E,
∠ACB=∠DCE,
故△CDE∽ △CBA,
若△ABC∽ △DEC,
从上面的解答中，你获得了那些信息？
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
相似三角形的预备定理
A
B
C
D
E
A
B
D
E
C
这是两个极具代表性的
相似三角形基本模型：“A”型和“X” 型
这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你可要认真噢！
看过例题过后，你又有什么收获？
例１、如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长度都是3.5cm.求该草坪其他两边的实际长度.
解: 草坪的实际形状和它在图纸上相应的形状相似.所以实际的三角形与图上的三角形相似,且它们的相似比2000:5= 400:1.
如果设其它两边的实际长度都是xcm,那么
例题欣赏
5cm
3.5cm
3.5cm
x=3.5×400=1400(cm),
1400cm=14m.
所以,草坪其它两边的实际长度都是14m.
例2、如图，已知DE ∥ BC，AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°.
(1)求∠AED和∠ADE的大小；(2)求DE的长.
解: 因为DE ∥ BC ，所以△ADE∽△ABC,
(1)由相似三角形对应角相等，得∠AED=∠C=40°.
在△ADE中，∠ADE=180°-40°-45°=95°.
（2）由相似三角形对应边成比例.得
例题欣赏
A
D
B
E
C
三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec).
△ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF.
注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！
性质：相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.
如果△ ABC∽ △DEF,那么∠A = ∠D,∠B = ∠E,∠C = ∠F.
预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
小结 拓展
想一想,相似比等于1的两个三角形会是什么样的关系？
A
E
D
C
B
A
B
C
D
E
A
B
D
E
C
如图，分别根据下列已知条件和刚学得知识，试写出你能得出的结论.
我思，我进步
（1） DE ∥ BC；
（1）
（2）DE ∥AB；
（3）△ABC∽△ADE，其中∠ADE = ∠B
（2）
（3）
结束寄语
不经历风雨，怎么见彩虹,没有人能随随便便成功!
下课了!(共20张PPT)
4.6 图形的位似
浙教版九年级（上册）
请同学们仔细观察下列两幅图有什么共同特点？
如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心.
观察下列位似图形
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？
显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.
练一练1：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；
（2）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO
练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（3）正方形ABCD与正方形A′B′C′D′.
（4）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′
练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（6）曲边三角形ABC与曲边三角形A′B′C′
练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（7）扇形ABC与扇形A′B′C′，
（B、A 、B′在一条直线上，C、A 、C′在一条直线上）
（8）△ABC与△ADE（①DE∥BC； ②∠AED=∠B）
如图，P、E、F分别是AC、AB、AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.
练一练2
位似图形的性质
一般地，位似图形有以下性质：
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
作位似图形
例： 如图，请以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大3倍.
分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心O和的各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的3倍，就得到所求作图形的各个顶点
直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的规律
以坐标原点为位似中心的位似变换有一下性质：
若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
想一想：
1．四边形GCEF与四边形G′C′E′F′具有怎样的对称性？
2．怎样运用像与原像对应点的坐标关系，画出以原点为位似中心的位似图形？
练一练3
1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半.
练一练4
今天你学会了什么？
位似图形的定义，位似图形的性质.(共17张PPT)
4.4三角形相似的性质及其应用
（第1课时）
浙教版九年级（上册）
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？
你能够将上面生活中的问题
转化为数学问题吗？
D
E
30m
18m
B
C
A
算一算：
ΔABC与ΔA’B’C’的相似比
是多少？
ΔABC与ΔA’B’C’的周长比
是多少
面积比是多少？
4×4正方形网格
看一看：
ΔABC与ΔA’B’C’有什么关系？ 为什么？
想一想：
你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比
有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？
（相似）
√2
2
√2
√10
2
√2
1
√5
√2
A
B
C
A’
C’
B’
4×4正方形网格
验一验：
是不是任何相似三角形都有此关系呢？
你能加以验证吗？
想一想：
你发现上面两个相似三角形的
周长比与相似比有什么关系？
面积比与相似比又有什么关系？
周长比等于相似比，
面积比等于相似比的平方
√10
2
√2
1
√5
√2
A
B
C
A’
C’
B’
A
B
C
A’
B’
C’
相似三角形的周长比等于相似比，
面积比等于相似比的平方
已知:ΔABC∽ΔA’ B’ C,’相似比为k.
=k2
k
两个相似三角形的对应高之比等于相似比.
求证:
Δ ABC的周长
Δ A’B’C’的周长
=
s ABC
s A’B’C’
已知：如图，△ABC∽ △A’B’C’, △ABC与 △A’B’C’的相似比是k,AD、A’D’是对应高.
求证：
A
B
C
B’
A’
C’
D
D’
证明：
∵△ABC∽△A’B’C’
∴∠B=∠B’
∴∠ABD=∠A’B’D’=90°
∴ △ABD∽△A’B’D’
两个相似三角形的对应高之比等于相似比.
相似三角形对应中线的比与对应
角平分线的比等于相似比.
你能类比证明吗
已知两个三角形相似，请完成下列表格
相似比
周长比
面积比
注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，
求面积比要平方，而已知面积比，求相似比或
周长比则要开方.
2
4
100
100
10000
1
9
1
3
1
3
2
．．．
．．．
．．．
例1.
如图：是某市部分街道图，比例尺为1：10 000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积.
A
B
C
D
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？
D
E
30m
18m
B
C
A
B
A
C
D
E
解:如图，已知DE//BC,AB=30m,BD=18m,
ΔABC的周长为80m，面积为100m2,
求ΔADE的周长和面积
30m
18m
A
D
E
1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变，则
ΔEFC的面积等于多少？BDEF面积为多少？
2.若设SΔABC=S, SΔADE=S1, SΔEFC=S2.
请猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？
你能加以验证吗？
√S = √S1+ √S2
B
C
F
48m2
36m2
证明：DE//BC
＞
ΔADE∽ΔABC
＞
S1
S
=(
AC
AE
)
2
EF//AB
＞
ΔEFC∽ΔABC
＞
S2
S
=
AC
CE
(
)
2
√S
＞
√S1
=
AC
AE
√S
＞
√S2
AC
CE
=
｝
＞
√S
√S
√S2
√S1
+
=1
√S1
＞
√S2
+
√S
=
16
36
30m
18m
练习
1、如图， △ABC中，DE FG BC，AD=DF=FB，则S△ADE:S四边形DFEG:S四边形FBCG=_________
2.已知:梯形ABCD中，AD∥BC，AD=36，BC=60cm，延长两腰BD、CD交于点O，OF⊥BC，交AD于E，EF=32cm，则OF=_______.
A
B
C
D
E
F
O
练习
3、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且AC=2AD.则ΔACD∽ Δ______.它们的相似比k =_______,
A
B
C
E
D
１.这节课我们学到了哪些知识？
２.我们是用哪些方法获得这些知识的？
３.通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？
你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？(共16张PPT)
浙教版九年级（上册）
表示成
a c
b d
= ，
或 a：b=c：d，
我们把 a、b、c、d 这四个数成比例，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项，
如果两个数的比值与另两个数的比值相等,就说这四个数成比例.
(a、b、c、d均不为零)
比例有如下性质:
知识回顾
１、设线段AB=2cm，AC=4cm,
两条线段的长度比是
记作:
2、设线段AB=200cm，AC=4m,
两条线段的长度比是
200：４＝
200:400=
两条线段单位要统一
两条线段的长度比叫做这两条线段的比
2:4＝
A
B
C
A′
B′
C′
1
1
AB
AC
=
5
2
AB
A′B′
=
2
2
2
=
AC
A′C′
=
5
5
2
=
∴
AB
A′B′
=
AC
A′C′
一般地,如果四条线段a、b、c、d中，a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
请找出左图的3组比例线段，并写出比例式.
A
B
C
A′
B′
1
1
AB
A′B′
=
AC
A′C′
例如, 是比例线段.
例1 已知线段a=10mm , b=6cm,
c=2cm , d=3cm .
问：这四条线段是否成比例？为什么
想一想: 是否还可以写出其他几组成比例的线段.
答：这四条线段成比例.
∵a=10mm=1cm
即线段a、c、d、b成比例.
答:可以.
如:
判断四条线段是否成比例的方法有两种：
(1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等.
(2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积.
1.已知线段a=2cm，b=4.1cm，c=4cm，d=8.2cm，下面哪个选项是正确的？( )
A. d, b, a, c成比例线段 B. a, d, b, c成比例线段
C. a, c, b, d成比例线段 D. a, d, c, b成比例线段
2.下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A.2cm,3cm,4cm,1cm B.1.5cm,2.5cm,6.5cm,4.5cm
C.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cm D.1cm,2cm,2cm,4cm
C
D
练 习
例2 如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高线，请找出一组比例线段，并说明理由.
A
B
C
D
分析：(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否成比例，只要采取什么方法
(2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知识联系起来？
(3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式？ 根据所得的等式可以写出怎样的比例式。
(看其中两条线段的乘积是否等于另两条线段的乘积)
试一试
1.如图在平行四边形ABCD中，
.找出图中的一组比例
线段（用小写字母表示）,并说明理由．
d
c
b
a
Ｆ
Ｅ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ａ
如图是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆市在高雄市的哪个方向？到高雄市的实际距离是多少km？(比例尺1：9000000)
8
注意：求角度时要注意方位.
解：从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm,设实际距离为s，则
35
s
＝
1
9000000
∴S＝35×9000000=315000000(mm)
即S＝315(km)
量得图中∠1=28°.
答：基隆市在高雄市的北偏东28°方向,到高雄市的实际距离约为315km.
北
高雄
台南
台中
台北
基隆
现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？
例4
A
B
C
A′
B′
C ′
比如，量得树AB的影长BC=20m，木杆长A′B′= 1.5m，影长B′C′= 2.5m,
求:树AB的高.
解:在相同时刻的物高与影长成比例
答:树AB的高为12米.
因为
AB
BC
=
A
'
B
'
B
'
C
'
所以
AB
20
=
1.5
2.5
试一试
2 如图，DE是△ABC的中位线，请尽可能多的写出比例线段.
E
D
C
B
A(共13张PPT)
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比接近0.618;
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618.
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比接近0.618;
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618.
其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫做外项，
b、c 叫做内项，
一.定义 :四个实数 a、b、c、d 中，如果 （或a：b=c：d），那么这四个实数a、b、 c 、 d 成比例.
=
a c
b d
分别计算下列比例式的两个内项的积与两个外项的积:
(1) =
0.3 0.6
2 4
(2)
比例的基本性质
外项之积=两内项之积.
ad=bc.
a c
b d
=
∵ad=bc，
a c
b d
=
如果ad=bc，那么 吗？ (b≠0,d≠0)
a c
b d
=
∴两边同除以bd，得：
由此可得结论：
ad=bc
a c
b d
=
比例的基本性质:
ad=bc
a c
b d
=
综上所述,
(a，b，c，d都是不为零的实数)
例1:
根据下列条件,求 的值.
例2:已知 判断下例比例是否成立，并说明理由．
a c
b d
= ，
通过这节课的学习，你有什么收获？
主要内容：
温馨提示：
小 结
2.比例的基本性质
(a:b=c:d ad=bc)
及其应用.
1.成比例的定义.
1.比例式是等式，因而具有等式的各个性质.
2.比例式变形的常用方法:
(1)利用等式的性质;
(2)参数法.
已知 ,求 的值
与例2相比较,你发现了什么规律
在平面直角坐标系中，过点（a,b)和坐标原点的直线是一个怎样的正比例函数？如果a,b,c,d四个数成比例，你认为点(a,b)，点(c,d)和坐标原点在一条直线上吗？请说明理由．(共16张PPT)
相似三角形的周长比等于相似比，
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的对应高之比，对应中线之比，对应角平分线之比也等于相似比.
回顾与思考
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
如图:四边形A1 B1 C 1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的像.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
请分别求出这两个四边形的对应边的长度,并分别量出这两个四边形各个内角的度数,
然后与你的同伴议一议;这两个四边形的对应角之间有什么关系 对应边之间有什么关系
各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形
相似比
对应顶点的字母写在对应的位置上
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
E1
F1
它们形状相同吗？
这两个五边形是相似五边形
对应角
对应边 AB与A1B1，BC与B1C1……
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
E1
F1
试一试： 下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系 对应边呢？
(1) 正三角形ABC与正三角形DEF;
(2) 正方形ABCD与正方形EFGH.
解:(1)由于正三角形每个角等于60°，所以∠A=∠D= 60°, ∠B=∠E=60°, ∠C=∠F= 60° .
由于正三角形三边相等，所以
AB:DE=BC:EF=CA:FD
解：(2)、由于正方形的每个角都是直角，所以
∠A=∠E= 90° ∠B=∠F=90°
∠C=∠G= 90° ∠D=∠H= 90°
由于正方形的四边相等，所以
AB:EF=BC:FG=CD:GH=DA:HE
A
B
E
G
D
C
F
H
议一议
正方形
10
10
菱形
12
12
它们相似吗？
正方形
10
10
矩形
12
8
它们呢？
如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么关系？对应边呢？
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似多边形的性质
相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.
A
B
C
D
E
F
2
例：矩形纸张的长与宽的比为 ,对开后所得的矩形纸张是否与原来的矩形纸相似 请说明理由.
解：对开后所得的矩形纸张和原来的矩形纸张相似，理由如下：设原来的纸张为矩形ABCD，如图：
连接BC与AD的中点F、E，则EF就把矩形ABCD分为全等的两个矩形．
在矩形ABCD中，
矩形ABFE与矩形BCDA的对应角相等，对应边成比例，矩形ABFE与矩形BCDA相似
1、右面两个矩形相似，求它们对应边的比.
2、如图，两个正六边形的边长分别为a和b，它们相似吗？为什么？
及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！
３、如图，矩形的草坪长20m，宽10m，沿草坪四周外围有1m的环行小路，小路的内外边缘所成的矩形相似吗？
2
3
2∶3
相似.理由是：各对应角相等，各对应边成比例.
不相似.因为对应边不成比例.
可以发现，这些叠放起来的矩形的右上顶点同在一直线上，这是因为这些小矩形都是相似的，所以它们的长与宽对应成比例，
（１）
（２）
如果以图（１）最大矩形的左下顶点为原点，宽和长所在直线分别为x轴、y轴，那么这组矩形右上顶点的坐标都满足
把标准纸（长与宽之比为 ）一次又一次对开如右图叠起来，你发现了什么有趣的现象？你能给出数学解释吗？
谈谈收获
今天我们了解了相似图形王国的一个伟大的家族……
相似多边形
相似多边形的性质
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.(共23张PPT)
4.１ 比例线段
（第3课时）
复习旧知
取一张长与宽之比为 的长方形，将它对折，请判断图中两个长方形长与宽这4条线段是否成比例，如果成比例，请写出比例式
a
b
b
c
这个比例式有什么特别之处吗？
一般地，如果三个数a、b、c满足比例式 ，则b就叫a、c的比例中项
著名画家达 芬奇的名画＜蒙娜丽莎＞，画中脸部被围在矩形ABCD中，图中四边形BCEF为正方形，而在线段AB上的点F把线段分成两条线段，其中
A
B
P
如图，如果点P把线段AB分成2条线段AP和BP，使
，那么称线段AB被点P黄金分割，线段AP与AB的比叫黄金比，点P叫线段AB的黄金分割点
AB
BF
BF
AF
=
A
B
C
D
E
F
利用一元二次方程的知识，可以求出黄金比的数值，即 的值
B
P
A
设AB=a, AP=x
B
P
A
著名画家达·芬奇的蒙娜丽莎，拉斐尔笔下温和、俊秀的圣母像，也利用这一黄金分割的比例.1483年左右，达·芬奇画的一幅未完成的油画，包围着圣杰罗姆躯体的黑线，就是一个黄金分割的矩形，当时达·芬奇似乎有意利用这一黄金分割的比值 .“检阅”是法国印象派画家舍勒特的一幅油画，它的画杠结构比例也正是0.618的比值.英国在画家斐拉克曼的名著《希腊的神话和传说》一书中，共绘有96幅美人图.每一幅画上的美人都妩媚无比婀娜多姿.如果仔细量一下她们身体的比例也都与雅典娜相似.
A
B
C
D
F
E
追溯黄金分割的历史文化
早在古希腊，数学家、天文学家欧多克索斯（Eudoxus，约前400——前347）曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题.
而发现黄金分割的是古希腊哲学家毕达哥拉斯.一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密.他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系.回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段.怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定0.618 ：1的比例截断最优美.后来，意大利著名科学家、艺术家达·芬奇给这个比例冠以“黄金”二字的美名.
天文学家开普勒（Johannes Kepler,1571~1630）把这种分割线段的方法称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”. 而历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆（Martin Ohm，1792~1872）.19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来……
她的上半
身和下半身的比值接近
0.618.
世界艺术珍品——维纳斯女神
，她是西元前一
百多年希腊雕塑鼎盛时
期的代表作，
黄金分割原理最初运用于雕塑和建筑
数学美的魅力 1
古埃及胡夫金字塔
古希腊巴特农神庙
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边
长与高这比都接近于0.618.
古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也是按黄金比0.618来建立，他们认为这样的长方形看来是较美观；其大理石柱廓，就是根据黄金分割律分割整个神庙的.
你知道芭蕾舞演员跳舞时为什么要掂起脚尖吗
芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象.
芭蕾舞
观察 欣赏
黄金分割 与生活
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
耐人寻味的0.618
读一读
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右.特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上.这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方.奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等.衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上.
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的宽与长之比也接近0.618； 节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站在舞台的1／3处，站在舞台上侧近于0.618的位置才是最佳的位置； 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于8开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形.
上海东方明珠电视塔高468m,上球体是塔身的黄金分割点,它到塔底部的距离大约是多少米(精确到0.1m)
468m
实际应用
468×0.618≈289.2m
有些植物茎上,相邻两张叶子成137°28′的角，这种角度使植物通风和采光的效果最佳，这一度数与怎样的角的度数成黄金比？
A
B
你们知道如何确定线段AB的黄金分割点所在的位置吗？
例５:
已知线段AB=a，用直尺和圆规作出它的黄金分割点
A
B
a
悟出一个新自己
小结 拓展
什么是黄金分割.
如何去确定黄金分割点或黄金比.
将所学知识网络化.
要用数学美去装点和美化生活.
与同伴谈谈你对黄金分割的收获与体会.
A
B
a
D
1.作顶角为36°的等腰△ABC；量出
底BC与腰AB的长度，计算: ；
2.作∠B的平分线，交AC于点D，量出CD的长度，
再计算: (精确到0.001).
D
C
A
B
E
尝试
0.618
0.618
☆再作∠C的平分线，交BD于E，
△CDE也是黄金三角形……
☆顶角为36°的等腰三角形称为 黄金三角形
☆点D是线段AC的黄金分割点.(共28张PPT)
4.3两个三角形相似的判定
(第2课时)
B
C
A
B
C
A
2006年国际
帆船比赛
在中国青岛
举行
我也有这样一艘三角帆船该多好！
我也有这这样一艘三角帆船该多好！
金山同学是学校航模队的优秀队员，他自己有一艘漂亮的三角帆船模型．
我要自己做！
外婆家有一艘小船
可以利用起来！
关键还要做个三角帆．
扩大到模型的4倍
扩大到模型的4倍
两边对应成比例,且夹角相等的
两个三角形相似.
B
C
A
B
C
A
∠A=∠A ,
=
AB
B
A
CA
A
C
∴△ ABC ∽△ A B C
∵
B
C
A
B
C
A
∵
∴△ ABC ∽△ A B C
CA
A
C
=
BC
C
B
=
AB
B
A
三边对应成比例的两个三角形相似.
如图已知点D、E分别在AB、AC上,
求证:DE‖BC.
D
E
B
C
A
D
E
B
C
A
如图已知点D、E分别在AC、AB上，AE=3，AD=2，DB=4，EC=1.你能找到两个三角形相似吗？说出你的理由.
4
1
3
2
如图已知点D、E分别在AC、AB上，AE=3，AD=2，DB=4，EC=1.你能找到两个三角形相似吗？说出你的理由.
D
E
B
C
A
4
1
3
2
C
A
D
E
2
3
A
B
4
6
D
B
C
A
如图已知点D在AB上,AC2=AD AB
你能说出△ADC∽△ACB的理由吗
判断图中△AEB和△FEC是否相似？
解: ∵∠AEB＝∠FEC（对顶角相等）
又∵ ＝ ＝1.5
＝ ＝1.5
∴ ＝
∴ △AEB∽△FEC
一般像上面的两个三角形结构，可以用
两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似来证明两个三角形相似．
D
E
B
C
A
D
E
B
C
A
4
1
3
2
D
E
B
A
C
54
72
45
A
B
C
30
36
48
F
D
E
如图判断4×4方格中的两个三角形
是否相似,并说明理由.
A
C
F
E
B
D
A
C
D
A
B
C
如图, D为⊿ ABC的边AB上一点若要使
⊿ ACD与⊿ ABC相似,可以添加什么条件 你有几种添加条件的不同方法
D
C
B
A
边角边(SAS);角边角(ASA);
角角边(AAS);边边边(SSS）.
你还记得两个一般三角形全等的判定方法吗
两个三角形相似的判定方法：
3.两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
4.三边对应成比例，两三角形相似.
2.有两个角对应相等的两个三角形相似.
1. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，
所构成的三角形与原三角形相似.
在有平行横线的练习薄上画一条线段AB,
使线段A、B恰好在两条平行线上,线段AB就
被平行线分成了相等的三小段,你能说出
这一事实的数学原理吗 如果只给你圆规
和直尺,你会把任意一条线段AB五等分吗
请试一试,并说明你的画法的依据.
A
B
P2
P1
P4
P3
P5
C
D
E
F
B
C
A
B
C
A
条件： ∠A=∠A ,
BC
C
B
=
AB
B
A
反例：
C
如图，显然
△A B C 与△ABC不相似
再见
